حل تمرین صفحه 123 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۱ سلام به دانش‌آموزان عزیز! برای حل تمرینات ضرب و تقسیم عبارت‌های گویا، مهم‌ترین کار **تجزیه** کردن صورت و مخرج کسرها با استفاده از اتحادها و فاکتورگیری است تا بتوانیم عوامل مشترک را با هم ساده کنیم. **الف)** ابتدا صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم: - صورت کسر اول (اتحاد مزدوج): $$(a-4)(a+4)$$ - مخرج کسر دوم (اتحاد مربع دوجمله‌ای): $$(a-4)^2 = (a-4)(a-4)$$ حالا عبارت را بازنویسی و ساده می‌کنیم: $$\frac{(a-4)(a+4)}{a+4} \times \frac{a+2}{(a-4)(a-4)} = \frac{a+2}{a-4}$$ **ب)** ابتدا تقسیم را به ضرب تبدیل کرده (معکوس کردن کسر دوم) و سپس تجزیه می‌کنیم: - صورت کسر اول (اتحاد مزدوج): $$(m-7)(m+7)$$ - مخرج کسر دوم معکوس شده: $$(m-1)(m+1)$$ - صورت کسر دوم معکوس شده: $$(7-m)$$ که قرینه‌ی $$(m-7)$$ است، پس حاصل ساده شدن آن‌ها $$-1$$ می‌شود. $$\frac{(m-7)(m+7)}{m+1} \times \frac{(m-1)(m+1)}{7-m} = -(m+7)(m-1)$$ **ج)** کسر دوم را معکوس کرده و همه بخش‌ها را تجزیه می‌کنیم: - صورت اول: $$(x-2)^2$$ - مخرج اول (فاکتورگیری): $$4xy(x-2)$$ - صورت دوم معکوس شده: $$6(x+3)$$ - مخرج دوم معکوس شده: $$(x+3)(x-2)$$ پس از ساده کردن عوامل مشترک $$(x-2)$$، $$(x+3)$$ و اعداد: $$\frac{(x-2)^2}{4xy(x-2)} \times \frac{6(x+3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{6}{4xy} = \frac{3}{2xy}$$ **د)** تجزیه و ساده‌سازی: - صورت اول: $$(1-c)(1+c)$$ - مخرج دوم: $$(1-c)^2 = (1-c)(1-c)$$ - ساده کردن توان‌های $b$ در صورت و مخرج: $$\frac{(1-c)(1+c)}{b^3} \times \frac{b^2}{(1-c)(1-c)} = \frac{1+c}{b(1-c)}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۲ در جمع و تفریق عبارت‌های گویا، هدف اصلی ما رسیدن به **مخرج مشترک** است. **الف)** مخرج کسر دوم $$(x^4 - y^4)$$ با اتحاد مزدوج به $$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$$ تجزیه می‌شود. پس مخرج مشترک همین است. کسر اول را در $$(x^2 - y^2)$$ ضرب می‌کنیم: $$\frac{x(x^2 - y^2) - y(x - y)^2}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)} = \dots = \frac{x^3 - xy^2 - y(x^2 - 2xy + y^2)}{x^4 - y^4} = \frac{x^3 - xy^2 - x^2y + 2xy^2 - y^3}{x^4 - y^4} = \frac{x^3 - x^2y + xy^2 - y^3}{x^4 - y^4}$$ **ب)** ابتدا مخرج‌ها را با فاکتورگیری مرتب می‌کنیم: - مخرج اول: $$x(a-b)$$ - مخرج دوم: $$y(b-a) = -y(a-b)$$ مخرج مشترک $$xy(a-b)$$ است: $$\frac{y(x+7) - x(y+9)}{xy(a-b)} = \frac{xy + 7y - xy - 9x}{xy(a-b)} = \frac{7y - 9x}{xy(a-b)}$$ **ج)** اول هر کسر را ساده می‌کنیم: - کسر اول: $$\frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a + b$$ - کسر دوم: $$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$$ حالا مخرج مشترک $$(a+b)$$ می‌گیریم: $$\frac{(a+b)^2 - (a^2+ab+b^2)}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-ab-b^2}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$$ **د)** مخرج مشترک $$(2+x)$$ می‌گیریم: $$\frac{4 + x^2 - 2x - (2+x)(2+x)}{2+x} = \frac{4 + x^2 - 2x - (4 + 4x + x^2)}{2+x} = \frac{4 + x^2 - 2x - 4 - 4x - x^2}{2+x} = \frac{-6x}{2+x}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۳ یادآوری مهم: ما نمی‌توانیم جملاتی که با هم جمع یا تفریق شده‌اند را مستقیماً از صورت و مخرج خط بزنیم. ساده کردن فقط زمانی مجاز است که در صورت و مخرج **رابطه ضرب** برقرار باشد (عامل باشند). - سه عبارت اول به هیچ وجه ساده نمی‌شوند چون در صورت آن‌ها عمل جمع وجود دارد و مخرج عامل کل صورت نیست. - عبارت چهارم $$\frac{a^2 - 5a}{a}$$ قابل ساده شدن است، چون می‌توانیم در صورت از $$a$$ فاکتور بگیریم: $$\frac{a(a - 5)}{a}$$ حالا که $$a$$ در کل پرانتز ضرب شده، می‌توانیم آن را با مخرج ساده کنیم. **حاصل نهایی:** $$a - 5$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۴ در این تمرین می‌خواهیم ببینیم چه عملیاتی روی کسر، مقدار آن را تغییر نمی‌دهد. طبق قوانین کسرها، فقط **ضرب یا تقسیم** صورت و مخرج در یک عدد غیر صفر، کسر مساوی تولید می‌کند. - **الف و ب)** نادرست هستند. اضافه کردن یا کم کردن یک عدد به صورت و مخرج، نسبت کسر را تغییر می‌دهد. - **ج)** **درست** است. صورت و مخرج در عدد ۳ ضرب شده‌اند که با ساده کردن ۳، همان $$\frac{x}{y}$$ به دست می‌آید. - **د)** نادرست است. به توان رساندن کسر، مقدار آن را تغییر می‌دهد (مگر اینکه کسر ۱ یا ۰ باشد). - **ه)** **درست** است. صورت و مخرج در عبارت $$a^3$$ ضرب شده‌اند. با خط زدن $$a^3$$ از بالا و پایین، کسر $$\frac{x}{y}$$ باقی می‌ماند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۵ برای پیدا کردن کسر مساوی، باید دقت کنیم که علامت منفی چگونه در صورت کسر اثر می‌کند. عبارت صورت ما $$-x + 3$$ است که اگر از یک منفی فاکتور بگیریم، می‌شود: $$-(x - 3)$$. بنابراین عبارت اصلی را می‌توان به این شکل نوشت: $$\frac{-(x - 3)}{x + 5} = -\frac{x - 3}{x + 5}$$ با نگاه به گزینه‌ها، می‌بینیم که **گزینه (ب)** دقیقاً با این عبارت برابر است. **نکته:** گزینه (د) را هم بررسی کنید؛ $$3-x$$ خودش با $$-x+3$$ برابر است، پس اگر یک منفی هم پشت کسر باشد، علامت‌ها دوباره عوض می‌شوند و با صورت اصلی فرق خواهد داشت.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۶ این یک اشتباه رایج در آزمون‌هاست! بیایید با هم بررسی کنیم: - در هر دو مورد، مخرج به درستی به کمک اتحاد مزدوج تجزیه شده است: $$(a+5)(a-5)$$. - عامل مشترک $$(a+5)$$ باید از صورت و مخرج خط بخورد. **تفاوت اصلی:** وقتی در صورت کسر چیزی باقی نمی‌ماند، در واقع عدد **۱** (عنصر بی‌اثر در ضرب) باقی مانده است، نه اینکه صورت غیب شود یا به یکباره کسر از بین برود! - در مورد (الف)، کسر به اشتباه به یک عبارت غیراصلی تبدیل شده است. - در مورد **(ب)**، عدد ۱ در صورت حفظ شده و مخرج نیز سر جای خود باقی مانده است. **نتیجه:** عبارت **(ب)** به درستی ساده شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۷ بیایید مرحله به مرحله پیش برویم. ابتدا صورت کسر یعنی $$A^2 - B^2$$ را با استفاده از اتحاد مزدوج ساده می‌کنیم: $$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$ حالا مقادیر $$A$$ و $$B$$ را جایگذاری می‌کنیم: 1. $$A + B = (a^2 - b^2) + (a^2 + b^2) = 2a^2$$ 2. $$A - B = (a^2 - b^2) - (a^2 + b^2) = a^2 - b^2 - a^2 - b^2 = -2b^2$$ پس حاصل ضرب صورت می‌شود: $$(2a^2)(-2b^2) = -4a^2b^2$$ حالا مخرج را محاسبه می‌کنیم: $$C^2 = (2ab)^2 = 4a^2b^2$$ در نهایت کل کسر را می‌نویسیم: $$\frac{-4a^2b^2}{4a^2b^2}$$ تمام عوامل صورت و مخرج با هم ساده می‌شوند و فقط علامت منفی باقی می‌ماند. **حاصل نهایی:** $$-1$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۳ - تمرین ۸ بیایید با دقت این تساوی‌ها را که چالش‌های همیشگی امتحان هستند، بررسی کنیم: - **الف) نادرست:** در مخرج مشترک‌گیری، صورت کسر اول باید در $a$ و صورت کسر دوم در $b$ ضرب شود. اصلاح شده: $$\frac{a^2 - b^2}{ab}$$. - **ب) نادرست:** در تقسیم توان‌های پایه برابر، توان مخرج از صورت کم می‌شود. چون ۲۰ بزرگتر است، جواب در مخرج می‌ماند. اصلاح شده: $$\frac{1}{x^7}$$. - **ج) نادرست:** علامت منفی پشت کسر دوم باید در تمام جملات صورت پخش شود. اصلاح شده: $$\frac{a - 7 + b}{5}$$. - **د) نادرست:** صورت و مخرج قرینه هم هستند، پس حاصل تقسیم آن‌ها منفی یک است. اصلاح شده: $$-1$$. - **ه) نادرست:** علامت منفی فقط جهت تفریق را عوض می‌کند ($$b-a$$)، نه اینکه علامت جمع بسازد. اصلاح شده: $$\frac{-1}{b - a}$$. - **و) درست:** صورت با اتحاد مزدوج تجزیه شده و با مخرج ساده می‌شود. - **ز) نادرست:** در مخرج از $$c$$ فاکتور بگیریم می‌شود $$c(1+d)$$. پس از ساده کردن $$c$$، عدد ۱ در مخرج باقی می‌ماند. اصلاح شده: $$\frac{a + b}{1 + d}$$. - **ح) درست:** طبق قانون دور در دور، نزدیک در نزدیک: $$\frac{a \times c}{b \times a}$$ که با ساده کردن $a$ به $$\frac{c}{b}$$ می‌رسیم.