حل تمرین صفحه 106 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - فعالیت ۱ سلام به شما دانش‌آموزان کوشا! در این تمرین می‌خواهیم با دو نوع خاص از خطوط در صفحه مختصات آشنا شویم: ۱. **خط $y=3$**: این خط شامل تمام نقاطی است که عرض آن‌ها برابر ۳ است. این خط **موازی محور طول‌ها ($x$)** است و محور عرض‌ها را در نقطه ۳ قطع می‌کند. ۲. **خط $x=-2$**: این خط شامل تمام نقاطی است که طول آن‌ها برابر ۲- است. این خط **موازی محور عرض‌ها ($y$)** است و محور طول‌ها را در نقطه ۲- قطع می‌کند. **محل برخورد:** از آنجایی که در نقطه برخورد، طول باید ۲- و عرض باید ۳ باشد، مختصات محل برخورد برابر است با: $$\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ **زاویه بین دو خط:** چون یکی از خطوط کاملاً افقی و دیگری کاملاً عمودی است، این دو خط بر هم **عمود** هستند. بنابراین، زاویه بین آن‌ها **۹۰ درجه** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - فعالیت ۲ بیایید محورهای مختصات را به عنوان دو خط ویژه بررسی کنیم: * **محور طول‌ها (محور $x$):** روی این محور، عرض تمامی نقاط برابر با صفر است. بنابراین معادله آن عبارت است از: $$y = 0$$ * **محور عرض‌ها (محور $y$):** روی این محور، طول تمامی نقاط برابر با صفر است. بنابراین معادله آن عبارت است از: $$x = 0$$ **محل برخورد:** محل برخورد این دو محور، همان **مبدأ مختصات** است که مختصات آن برابر است با: $$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - تمرین ۳ برای پیدا کردن شیب و عرض از مبدأ، بهتر است معادله را به صورت استاندارد یعنی $y = ax + b$ مرتب کنیم که در آن **$a$ شیب** و **$b$ عرض از مبدأ** است. ۱. **معادله $3y - 2x = 6$:** * ابتدا $y$ را تنها می‌کنیم: $3y = 2x + 6$ * طرفین را بر ۳ تقسیم می‌کنیم: $y = \frac{2}{3}x + 2$ * **شیب:** $\frac{2}{3}$ * **عرض از مبدأ:** $2$ ۲. **معادله $4x - 2y = 8$:** * مرتب‌سازی: $-2y = -4x + 8$ * تقسیم بر ۲-: $y = 2x - 4$ * **شیب:** $2$ * **عرض از مبدأ:** $-4$ ۳. **معادله $2x - y = 3$:** * مرتب‌سازی: $-y = -2x + 3$ * ضرب در منفی: $y = 2x - 3$ * **شیب:** $2$ * **عرض از مبدأ:** $-3$ نکته جالب: چون شیب دو خط آخر با هم برابر (عدد ۲) است، این دو خط با هم **موازی** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - تمرین ۵ برای نوشتن معادله هر خط از روی نمودار، باید **شیب ($a$)** و **عرض از مبدأ ($b$)** را تشخیص دهیم. * **خط سمت راست (قرمز):** * محل برخورد با محور عرض‌ها در ۲- است، پس $b = -2$. * با حرکت ۱ واحد به راست، ۲ واحد به بالا می‌رود، پس شیب $a = 2$. * **معادله:** $y = 2x - 2$ * **خط وسط (نارنجی):** * محل برخورد با محور عرض‌ها در ۱- است، پس $b = -1$. * با حرکت ۱ واحد به راست، ۱ واحد به بالا می‌رود، پس شیب $a = 1$. * **معادله:** $y = x - 1$ * **خط سمت چپ (آبی):** * محل برخورد با محور عرض‌ها در ۱ است، پس $b = 1$. * خط رو به پایین است. با حرکت ۱ واحد به راست، ۲ واحد پایین می‌رود، پس شیب $a = -2$. * **معادله:** $y = -2x + 1$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - تمرین ۶ دو خط زمانی **موازی** هستند که **شیب‌های برابر** داشته باشند. **گام ۱: پیدا کردن شیب خط داده شده** معادله $2y - 4x = 5$ را مرتب می‌کنیم: $2y = 4x + 5 \Rightarrow y = 2x + 2.5$ پس شیب خط مطلوب ما باید $a = 2$ باشد. **گام ۲: پیدا کردن عرض از مبدأ ($b$)** معادله ما به فرم $y = 2x + b$ است. مختصات نقطه داده شده را در آن جایگذاری می‌کنیم: $-1 = 2(1) + b$ $-1 = 2 + b \Rightarrow b = -3$ **گام ۳: نوشتن معادله نهایی** $$y = 2x - 3$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - تمرین ۷ در ریاضیات، **شیب خط** به معنای نسبت تغییرات عمودی (عرض) به تغییرات افقی (طول) بین دو نقطه دلخواه از خط است. ۱. طبق تصویر، دو نقطه $A = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}$ و $B = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}$ را روی خط داریم. ۲. میزان جابجایی عمودی بین این دو نقطه برابر است با تفاضل عرض‌ها: $y_2 - y_1$ ۳. میزان جابجایی افقی بین این دو نقطه برابر است با تفاضل طول‌ها: $x_2 - x_1$ ۴. از آنجا که تعریف شیب نسبت این دو مقدار است، فرمول زیر به دست می‌آید: $$\text{Slope (a)} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ این فرمول به ما اجازه می‌دهد بدون داشتن نمودار و فقط با داشتن مختصات دو نقطه، شیب خط را به سادگی محاسبه کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۶ - تمرین ۸ **گام ۱: محاسبه شیب ($a$)** با استفاده از فرمولی که در تمرین قبل یاد گرفتیم: $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 2}{4 - 3} = \frac{-3}{1} = -3$$ **گام ۲: پیدا کردن عرض از مبدأ ($b$)** معادله به فرم $y = -3x + b$ است. یکی از نقاط (مثلاً نقطه اول) را در آن قرار می‌دهیم: $2 = -3(3) + b$ $2 = -9 + b \Rightarrow b = 11$ **گام ۳: نوشتن معادله خط** $$y = -3x + 11$$