|
ریاضی نهم صفحه 89 - تمرین 1
۱ـ حاصل عبارتهای زیر را با استفاده از اتحادها به دست آورید.
الف) $$(\frac{1}{4} - x)(\frac{1}{4} + x)$$
ب) $$(5x+4)(5x+3)$$
ج) $$(z - \sqrt{3})(z + \sqrt{3})$$
د) $$(3x + y - z)(3x + y + z)$$
هـ) $$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$$
و) $$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 3)$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 89 - تمرین 1
بیایید با استفاده از اتحادهای مزدوج و جمله مشترک این عبارتها را حل کنیم:
* **الف) $$(\frac{1}{4} - x)(\frac{1}{4} + x)$$**: این یک **اتحاد مزدوج** است. حاصل میشود مربع اولی منهای مربع دومی:
$$(\frac{1}{4})^2 - x^2 = \frac{1}{16} - x^2$$
* **ب) $$(5x+4)(5x+3)$$**: این **اتحاد جمله مشترک** است ($$5x$$ مشترک است).
$$(5x)^2 + (4+3)(5x) + (4 \cdot 3) = 25x^2 + 35x + 12$$
* **ج) $$(z - \sqrt{3})(z + \sqrt{3})$$**: باز هم **اتحاد مزدوج**:
$$z^2 - (\sqrt{3})^2 = z^2 - 3$$
* **د) $$(3x + y - z)(3x + y + z)$$**: اگر $$(3x+y)$$ را یک جمله در نظر بگیریم، این هم **اتحاد مزدوج** است:
$$(3x + y)^2 - z^2 = 9x^2 + 6xy + y^2 - z^2$$
* **هـ) $$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$$**: ابتدا دو پرانتز اول (مزدوج) را حل میکنیم:
$$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$$
* **و) $$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 3)$$**: ابتدا مزدوج را حل میکنیم:
$$(x^2 - 4)(x^2 + 3)$$
حالا این یک **اتحاد جمله مشترک** است ($$x^2$$ مشترک است):
$$(x^2)^2 + (-4+3)x^2 + (-4 \cdot 3) = x^4 - x^2 - 12$$
ریاضی نهم صفحه 89 - تمرین 2
۲ـ در قسمتهای جای خالی، با استفاده از اتحادها، عبارتهای مناسب بگذارید.
الف) $$(xy - z)(xy + z) = \underline{\quad} - z^2$$
ب) $$(\underline{\quad} + \sqrt{5})(\underline{\quad} - \sqrt{5}) = \frac{1}{4}y^2 - \underline{\quad}$$
ج) $$(x+a)(x-b) = x^2 + \underline{\quad} - \underline{\quad}$$
د) $$(x^2 + \underline{\quad})(x^2 - 5) = x^4 + 2x^2 - \underline{\quad}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 89 - تمرین 2
در این تمرین باید ساختار اتحادها را تشخیص دهیم و جاهای خالی را پر کنیم:
* **الف)** اتحاد مزدوج است. مربع جمله اول باید در جای خالی قرار بگیرد:
$$(xy)^2 = x^2y^2 \Rightarrow (xy - z)(xy + z) = \mathbf{x^2y^2} - z^2$$
* **ب)** جواب $$\frac{1}{4}y^2$$ است، پس جمله اول باید جذر آن یعنی $$\frac{1}{2}y$$ باشد. جمله دوم هم مربع $$\sqrt{5}$$ یعنی $$5$$ است:
$$(\mathbf{\frac{1}{2}y} + \sqrt{5})(\mathbf{\frac{1}{2}y} - \sqrt{5}) = \frac{1}{4}y^2 - \mathbf{5}$$
* **ج)** اتحاد جمله مشترک است. ضریب $$x$$ مجموع جملات غیرمشترک و عدد آخر حاصلضرب آنهاست:
$$(x+a)(x-b) = x^2 + \mathbf{(a-b)x} - \mathbf{ab}$$
* **د)** جمله مشترک $$x^2$$ است. عدد وسط (ضریب $$x^2$$) شده است $$+2$$. پس $$?-5 = 2 \Rightarrow ?=7$$. عدد آخر هم ضرب $$7 \cdot (-5)$$ است:
$$(x^2 + \mathbf{7})(x^2 - 5) = x^4 + 2x^2 - \mathbf{35}$$
ریاضی نهم صفحه 89 - تمرین 3
۳ـ عبارتهای زیر را به کمک اتحادها، تجزیه کنید.
الف) $$a^2 - 8a + 15$$
ب) $$x^2 + x + \frac{1}{4}$$
ج) $$x^2 + 10x + 24$$
د) $$x^2 - 2x - 8$$
هـ) $$4ax^2 - a$$
و) $$x^2 - 13x + 36$$
ز) $$x^2 - 12x + 36$$
ح) $$(x+y)^2 - 9$$
ط) $$bx^2 - 5bx - 50b$$
ی) $$x^4 - 5x^2 + 4$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 89 - تمرین 3
تجزیه یعنی تبدیل عبارت به حاصلضرب. بیایید از اتحادها برای این کار استفاده کنیم:
* **الف) $$a^2 - 8a + 15$$**: دو عدد که ضربشان $$15$$ و جمعشان $$-8$$ باشد: $$-3$$ و $$-5$$.
حاصل: $$(a-3)(a-5)$$
* **ب) $$x^2 + x + \frac{1}{4}$$**: این **اتحاد مربع دو جملهای** است. جذر اولی و آخری را میگیریم:
حاصل: $$(x + \frac{1}{2})^2$$
* **ج) $$x^2 + 10x + 24$$**: ضرب $$24$$ و جمع $$10$$: اعداد $$4$$ و $$6$$.
حاصل: $$(x+4)(x+6)$$
* **د) $$x^2 - 2x - 8$$**: ضرب $$-8$$ و جمع $$-2$$: اعداد $$-4$$ و $$2$$.
حاصل: $$(x-4)(x+2)$$
* **هـ) $$4ax^2 - a$$**: ابتدا از $$a$$ فاکتور میگیریم: $$a(4x^2 - 1)$$. حالا اتحاد مزدوج است:
حاصل: $$a(2x-1)(2x+1)$$
* **و) $$x^2 - 13x + 36$$**: ضرب $$36$$ و جمع $$-13$$: اعداد $$-4$$ و $$-9$$.
حاصل: $$(x-4)(x-9)$$
* **ز) $$x^2 - 12x + 36$$**: اتحاد مربع دو جملهای است:
حاصل: $$(x-6)^2$$
* **ح) $$(x+y)^2 - 9$$**: اتحاد مزدوج است. جمله اول $$(x+y)$$ و جمله دوم $$3$$:
حاصل: $$(x+y-3)(x+y+3)$$
* **ط) $$bx^2 - 5bx - 50b$$**: ابتدا از $$b$$ فاکتور میگیریم: $$b(x^2 - 5x - 50)$$. حالا ضرب $$-50$$ و جمع $$-5$$: $$-10$$ و $$5$$.
حاصل: $$b(x-10)(x+5)$$
* **ی) $$x^4 - 5x^2 + 4$$**: با فرض اینکه $$x^2$$ جمله مشترک است، ضرب $$4$$ و جمع $$-5$$ میشود $$-1$$ و $$-4$$:
$$(x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$
ریاضی نهم صفحه 89 - فعالیت 4
۴ـ در اتحاد جمله مشترک اگر $$a=b$$ باشد، چه اتحادی به دست میآید؟ اگر $$a$$ و $$b$$ قرینه باشند، کدام اتحاد به دست میآید؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 89 - فعالیت 4
سلام دانشآموزان عزیز! در این فعالیت میخواهیم بررسی کنیم که چطور اتحاد جمله مشترک میتواند به اتحادهای دیگری که قبلاً یاد گرفتهایم تبدیل شود.
**اتحاد جمله مشترک** به صورت کلی اینگونه است:
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$
1. **اگر $$a = b$$ باشد:**
در این حالت هر دو پرانتز یکسان میشوند، یعنی $$(x+a)(x+a)$$ که همان $$(x+a)^2$$ است.
در فرمول اصلی هم اگر جای $$b$$ مقدار $$a$$ را بگذاریم:
$$x^2 + (a+a)x + (a \cdot a) = x^2 + 2ax + a^2$$
پس نتیجه میگیریم که اگر جملات غیرمشترک برابر باشند، اتحاد جمله مشترک به **اتحاد مربع دو جملهای** تبدیل میشود.
2. **اگر $$a$$ و $$b$$ قرینه باشند ($$b = -a$$):**
در این حالت مجموع دو عدد برابر صفر میشود ($$a + b = 0$$).
فرمول به این شکل در میآید:
$$(x+a)(x-a) = x^2 + (0)x + (a \cdot -a) = x^2 - a^2$$
بنابراین اگر جملات غیرمشترک قرینه هم باشند، این اتحاد به **اتحاد مزدوج** تبدیل میشود.
ریاضی نهم صفحه 89 - فعالیت 5
۵ـ به کمک مساحتها در شکل روبهرو، اتحاد جمله مشترک را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 89 - فعالیت 5
در این فعالیت از هندسه برای اثبات یک رابطه جبری استفاده میکنیم.
شکل ما یک مستطیل بزرگ است که طول آن $$(x+a)$$ و عرض آن $$(x+b)$$ میباشد.
مساحت کل مستطیل برابر است با حاصلضرب طول در عرض:
$$S_{total} = (x+a)(x+b)$$
حالا مساحت این مستطیل بزرگ را از طریق جمع مساحت ۴ بخش داخلی آن حساب میکنیم:
* **مربع نارنجی**: مساحت آن $$x \cdot x = x^2$$ است.
* **مستطیل صورتی**: مساحت آن $$a \cdot x = ax$$ است.
* **مستطیل آبی**: مساحت آن $$b \cdot x = bx$$ است.
* **مستطیل سبز**: مساحت آن $$a \cdot b = ab$$ است.
با جمع کردن این ۴ مساحت داریم:
$$x^2 + ax + bx + ab$$
اگر از $$x$$ در دو جمله وسط فاکتور بگیریم:
$$x^2 + (a+b)x + ab$$
بنابراین ثابت کردیم که:
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$
