|
ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 1
۱ـ عبارتهای جبری زیر را ساده کنید.
الف) $$(-5m)^2(-2m)^3 - (\frac{1}{2}m)^2(-2m)^3 =$$
ب) $$7a^3 - 4b^3 + 5c^3 - (a^3 - 9b^3 - 11c^3) =$$
ج) $$(x^m - 1)(x^m - 1) =$$
د) $$x - [(y - x) - (y - 1)] =$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 1
برای حل این تمرینات، باید با دقت اولویت عملیات (توان، ضرب و سپس جمع و تفریق) را رعایت کنیم.
* **الف)** ابتدا توانها را محاسبه میکنیم:
* $$(-5m)^2 = 25m^2$$
* $$(-2m)^3 = -8m^3$$
* $$(\frac{1}{2}m)^2 = \frac{1}{4}m^2$$
حالا عبارت را جایگذاری میکنیم: $$(25m^2)(-8m^3) - (\frac{1}{4}m^2)(-8m^3) = -200m^5 - (-2m^5) = -200m^5 + 2m^5 = -198m^5$$
* **ب)** علامت منفی را در پرانتز دوم اثر میدهیم و جملات متشابه را با هم جمع میکنیم:
$$7a^3 - 4b^3 + 5c^3 - a^3 + 9b^3 + 11c^3 = (7-1)a^3 + (-4+9)b^3 + (5+11)c^3 = 6a^3 + 5b^3 + 16c^3$$
* **ج)** این عبارت در واقع همان $$(x^m - 1)^2$$ است که یک **اتحاد مربع دو جملهای** است:
$$(x^m)^2 - 2(x^m)(1) + (1)^2 = x^{2m} - 2x^m + 1$$
* **د)** از داخلیترین پرانتز شروع میکنیم:
$$x - [y - x - y + 1] = x - [-x + 1] = x + x - 1 = 2x - 1$$
ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 2
۲ـ محیط و مساحت هر شکل را بیابید.
الف) یک چندضلعی با اضلاع $$3m^2n$$، $$2m^2n$$، $$3m^2n$$، $$5m^2n$$، $$3m^2n$$ و $$2m^2n$$.
ب) یک شکل ترکیبی شامل یک مستطیل و یک مثلث قائمالزاویه با ابعاد داده شده ($$3xy$$، $$4xy$$ و $$5xy$$).
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 2
در این تمرین از مفاهیم هندسی در دنیای جبر استفاده میکنیم.
* **شکل الف (محیط):** محیط یعنی مجموع طول تمام اضلاع دور شکل.
$$P = 3m^2n + 2m^2n + 3m^2n + 5m^2n + 3m^2n + 2m^2n = 18m^2n$$
* **شکل ب (محیط و مساحت):**
* **محیط:** مجموع اضلاع بیرونی را حساب میکنیم. ابتدا باید ضلع پایینی مثلث را پیدا کنیم. با توجه به اعداد $$3xy$$ و $$5xy$$ و رابطه فیثاغورس در مثلث قائمالزاویه، ضلع پایینی مثلث برابر با $$4xy$$ است.
$$P = 3xy + 4xy + 5xy + (4xy + 4xy) = 20xy$$
* **مسااحت:** مساحت مستطیل + مساحت مثلث.
$$S_{rectangle} = (4xy)(3xy) = 12x^2y^2$$
$$S_{triangle} = \frac{(4xy)(3xy)}{2} = 6x^2y^2$$
$$S_{total} = 12x^2y^2 + 6x^2y^2 = 18x^2y^2$$
ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 3
۳ـ طرف دیگر عبارتهای زیر را با استفاده از اتحادها به دست آورید.
الف) $$(5y - 3x)^2 =$$
ب) $$(-3a^2 - a)^2 =$$
ج) $$(8x - \frac{1}{3})^2 =$$
د) $$(2/7)^2 + 2(2/7)(3/3) + (3/3)^2 =$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 85 - تمرین 3
در این بخش از **اتحاد مربع دو جملهای** استفاده میکنیم: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.
* **الف)** $$(5y)^2 - 2(5y)(3x) + (3x)^2 = 25y^2 - 30xy + 9x^2$$
* **ب)** در اینجا چون هر دو جمله منفی هستند، توان دوم آنها را مثبت میکند (مثل $$(3a^2 + a)^2$$):
$$(-3a^2)^2 - 2(-3a^2)(a) + (-a)^2 = 9a^4 + 6a^3 + a^2$$
* **ج)** $$(8x)^2 - 2(8x)(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3})^2 = 64x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{1}{9}$$
* **د)** این عبارت در واقع باز شدهی اتحاد $$(a+b)^2$$ است:
$$(2.7 + 3.3)^2 = (6)^2 = 36$$
ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 4
۴ـ به کمک اتحاد مربع دو جملهای، درستی تساویهای زیر را ثابت کنید.
الف) $$(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$$
ب) $$a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 \quad (a \neq 0)$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 85 - تمرین 4
اثبات در ریاضی یعنی نشان دهیم سمت چپ با سمت راست برابر است.
* **الف)** سمت چپ را باز میکنیم:
$$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2$$
با حذف جملات مشابه $$x^2$$ و $$y^2$$، باقی میماند: $$2xy + 2xy = 4xy$$ که همان سمت راست است.
* **ب)** سمت راست را باز میکنیم:
$$(a + \frac{1}{a})^2 - 2 = (a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + (\frac{1}{a})^2) - 2$$
$$= a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} - 2 = a^2 + \frac{1}{a^2}$$
که دقیقاً با سمت چپ برابر شد.
ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 5
۵ـ عبارتهای جبری زیر را تجزیه کنید.
الف) $$2x^3 + 8x^2 + 8x$$
ب) $$3a^2b - 12ab^2 + a^3b^3$$
ج) $$a(x+1) + b(x+1)^2$$
د) $$a^3 - 2a^2 + a$$
هـ) $$x^2y^2 - 4xy + 4$$
و) $$25x^4 + 30x^3 + 9x^2$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 5
**تجزیه** یعنی تبدیل یک عبارت به حاصلضرب چند عبارت سادهتر.
* **الف)** ابتدا از $$2x$$ فاکتور میگیریم: $$2x(x^2 + 4x + 4)$$. حالا داخل پرانتز یک اتحاد مربع است: $$2x(x+2)^2$$.
* **ب)** از عامل مشترک $$ab$$ فاکتور میگیریم: $$ab(3a - 12b + a^2b^2)$$.
* **ج)** عامل مشترک $$(x+1)$$ است: $$(x+1)a + b = (x+1)(a + bx + b)$$.
* **د)** ابتدا فاکتورگیری از $$a$$: $$a(a^2 - 2a + 1)$$. سپس اتحاد مربع: $$a(a-1)^2$$.
* **هـ)** این یک اتحاد مربع مستقیم است: جذر اولی $$xy$$، جذر آخری $$2$$: $$(xy - 2)^2$$.
* **و)** ابتدا از $$x^2$$ فاکتور میگیریم: $$x^2(25x^2 + 30x + 9)$$. سپس اتحاد مربع: $$x^2(5x+3)^2$$.
ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 6
۶ـ با تبدیل $$b$$ به $$-b$$ در اتحاد $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$، طرف دوم تساوی زیر را کامل کنید.
$$(a + (-b))^2 = (a - b)^2 = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 85 - تمرین 6
این تمرین به ما نشان میدهد که چطور اتحاد مربع تفاضل از دل اتحاد مربع مجموع بیرون میآید.
اگر در فرمول اصلی هر جا $$b$$ دیدیم، آن را با $$(-b)$$ عوض کنیم:
$$(a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2$$
حالا ساده میکنیم:
1. $$2a \times (-b)$$ میشود $$-2ab$$.
2. $$(-b)^2$$ چون توان زوج است، مثبت میشود و میشود $$b^2$$.
پس نتیجه نهایی: $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$.
