حل فعالیت صفحه 81 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 81 - فعالیت 1 سلام دانش‌آموزان عزیز! در این فعالیت می‌خواهیم مفهوم **اتحاد** را با هم کشف کنیم. بیایید مرحله به مرحله پیش برویم: **گام اول: تکمیل جدول** * به ازای $$x = 0$$: * $$x^2 = 0^2 = 0$$ * $$6x = 6(0) = 0$$ * $$x^2+6x+9 = 0+0+9 = 9$$ * $$(x+3)^2 = (0+3)^2 = 3^2 = 9$$ * به ازای $$x = 5$$: * $$x^2 = 5^2 = 25$$ * $$6x = 6(5) = 30$$ * $$x^2+6x+9 = 25+30+9 = 64$$ * $$(x+3)^2 = (5+3)^2 = 8^2 = 64$$ * به ازای $$x = \frac{3}{2}$$: * $$x^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$$ * $$6x = 6(\frac{3}{2}) = 9$$ * $$x^2+6x+9 = \frac{9}{4}+9+9 = \frac{9}{4}+18 = \frac{9+72}{4} = \frac{81}{4}$$ * $$(x+3)^2 = (\frac{3}{2}+3)^2 = (\frac{3+6}{2})^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}$$ **گام دوم: مقایسه و نتیجه‌گیری** با نگاه به دو ستون آخر می‌بینیم که در تمام موارد، حاصل هر دو ستون کاملاً **یکسان** است. پس نتیجه می‌گیریم که این دو عبارت همواره با هم برابرند. **گام سوم: اثبات جبری** برای اثبات این موضوع، عبارت سمت چپ را با استفاده از ضرب دو پرانتز باز می‌کنیم: $$(x+3)^2 = (x+3)(x+3) = x(x) + x(3) + 3(x) + 3(3)$$ $$= x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$$ همان‌طور که دیدید، با ضرب پرانتزها دقیقاً به همان عبارت رسیدیم. این برابری که برای تمام مقادیر $$x$$ درست است، یک **اتحاد** نامیده می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 81 - فعالیت 2 در این بخش، می‌خواهیم یاد بگیریم چطور توان دوم یک مجموع دو جمله‌ای را بدون نیاز به کشیدن جدول و فقط با ضرب مستقیم محاسبه کنیم. **حل قسمت ب:** $$(5x+2)^2 = (5x+2)(5x+2)$$ حالا ضرب را انجام می‌دهیم: $$(5x)(5x) + (5x)(2) + (2)(5x) + (2)(2)$$ $$= 25x^2 + 10x + 10x + 4$$ با ساده کردن جملات متشابه داریم: $$= 25x^2 + 20x + 4$$ **حل قسمت ج (فرمول کلی اتحاد مربع دو جمله‌ای):** $$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$$ $$= a(a) + a(b) + b(a) + b(b)$$ $$= a^2 + ab + ba + b^2$$ از آنجا که در ضرب جابجایی داریم، $$ab$$ و $$ba$$ با هم برابرند: $$= a^2 + 2ab + b^2$$ **نکته آموزشی:** این فرمول به ما می‌گوید: **مربع جمله اول** ($$a^2$$) + **دو برابر حاصل‌ضرب جمله اول در دوم** ($$2ab$$) + **مربع جمله دوم** ($$b^2$$).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 81 - فعالیت 3 در این تمرین می‌خواهیم اجزای حاصل یک اتحاد را کالبدشکافی کنیم تا قانون آن را بهتر درک کنیم. به عبارت $$(5x+2)^2 = 25x^2+20x+4$$ دقت کنید: * **رابطه $$25x^2$$ با $$5x$$:** عبارت $$25x^2$$ در واقع **مربع (توان دوم)** جمله اول یعنی $$5x$$ است. به زبان ریاضی: $$(5x)^2 = 5^2 \cdot x^2 = 25x^2$$. * **رابطه $$20x$$ با $$2$$ و $$5x$$:** عبارت $$20x$$ حاصل **دو برابرِ ضربِ** جمله اول در جمله دوم است. به زبان ریاضی: $$2 \cdot (5x) \cdot (2) = 20x$$. * **رابطه $$4$$ با $$2$$:** عبارت $$4$$ در واقع **مربع (توان دوم)** جمله دوم یعنی $$2$$ است. به زبان ریاضی: $$2^2 = 4$$. **نتیجه‌گیری مهم:** در هر اتحاد مربع دو جمله‌ای، جواب همیشه شامل سه بخش است: توان دوم اولی، دو برابر اولی در دومی، و توان دوم دومی.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 81 - فعالیت 4 در این بخش، تفاوت وجود علامت منفی بین دو جمله را بررسی می‌کنیم. **حل الف:** $$(5x-2)^2 = (5x-2)(5x-2) = (5x)(5x) + (5x)(-2) + (-2)(5x) + (-2)(-2)$$ $$= 25x^2 - 10x - 10x + 4 = 25x^2 - 20x + 4$$ **حل ب:** $$(3-5x)^2 = (3-5x)(3-5x) = 3(3) + 3(-5x) + (-5x)(3) + (-5x)(-5x)$$ $$= 9 - 15x - 15x + 25x^2 = 25x^2 - 30x + 9$$ **حل ج (فرمول اتحاد مربع تفاضل):** $$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ **ارتباط جملات:** مشاهده می‌کنیم که وقتی بین دو جمله علامت منفی باشد، جمله وسط در جواب (یعنی دو برابر اولی در دومی) دارای علامت **منفی** می‌شود، اما مربع جملات اول و دوم همچنان **مثبت** باقی می‌مانند. این به خاطر این است که توان دوم هر عددی (چه مثبت چه منفی) همیشه مثبت است.