حل تمرین صفحه 63 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: * **الف) $۳^{-۲}$ پاسخ درست: $ \frac{۱}{۹} $** * **دلیل:** قانون توان منفی $a^{-n} = \frac{۱}{a^n}$ است. پس $۳^{-۲} = \frac{۱}{۳^۲} = \frac{۱}{۹}$. پاسخ دیگر ($ -۶ $) از اشتباه ضرب کردن پایه در توان به دست آمده است. * **ب) $۳^{-۱}$ پاسخ درست: $ \frac{۱}{۳} $** * **دلیل:** طبق قانون توان منفی، $۳^{-۱} = \frac{۱}{۳^۱} = \frac{۱}{۳}$. توان منفی عدد را قرینه نمی‌کند، بلکه آن را معکوس می‌کند. * **ج) $۳^{-۱} \times ۴^{-۱}$ پاسخ درست: $۱۲^{-۱}$** * **دلیل:** طبق قانون ضرب توان‌های با توان یکسان $a^n \times b^n = (ab)^n$، داریم: $۳^{-۱} \times ۴^{-۱} = (۳ \times ۴)^{-۱} = ۱۲^{-۱}$. * **د) $۳^{-۱} + ۴^{-۱}$ پاسخ درست: $\frac{۱}{۳} + \frac{۱}{۴}$** * **دلیل:** هیچ قانونی برای جمع کردن پایه‌ی توان‌ها وجود ندارد. باید هر عبارت را جداگانه محاسبه و سپس جمع کرد: $۳^{-۱} + ۴^{-۱} = \frac{۱}{۳} + \frac{۱}{۴}$. * **ه) $۵^{-۲}$ پاسخ درست: $\frac{۱}{۲۵}$** * **دلیل:** $۵^{-۲} = \frac{۱}{۵^۲} = \frac{۱}{۲۵}$. * **و) $(-۲)^۳$ پاسخ درست: $-۸$** * **دلیل:** $(-۲)^۳ = (-۲) \times (-۲) \times (-۲) = -۸$. پاسخ دیگر کاملاً بی‌ارتباط است.

پاسخ تشریحی: برای مقایسه، ابتدا باید واحدهای جرم را یکسان کنیم. هر دو را به گرم تبدیل می‌کنیم. * **جرم اتم هیدروژن:** $۱۰^{-۲۴}$ گرم * **جرم وزنه:** ۱۰۰ کیلوگرم **مرحله ۱: تبدیل کیلوگرم به گرم** می‌دانیم که هر کیلوگرم برابر ۱۰۰۰ (یعنی $۱۰^۳$) گرم است. $ ۱۰۰ \text{ کیلوگرم} = ۱۰۰ \times ۱۰۰۰ \text{ گرم} = ۱۰^۲ \times ۱۰^۳ \text{ گرم} = ۱۰^{۲+۳} = ۱۰^۵ \text{ گرم} $ **مرحله ۲: محاسبه‌ی نسبت (چند برابر بودن)** برای یافتن اینکه جرم وزنه چند برابر جرم اتم است، جرم وزنه را بر جرم اتم تقسیم می‌کنیم: $ \frac{\text{جرم وزنه}}{\text{جرم اتم}} = \frac{۱۰^۵}{۱۰^{-۲۴}} $ با استفاده از قانون تقسیم توان‌ها ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $): $ ۱۰^{۵ - (-۲۴)} = ۱۰^{۵ + ۲۴} = ۱۰^{۲۹} $ **نتیجه:** جرم وزنه ۱۰۰ کیلوگرمی، $۱۰^{۲۹}$ برابر جرم یک اتم هیدروژن است.

پاسخ تشریحی: برای مقایسه‌ی این اعداد، بهترین روش این است که همه‌ی آنها را بر اساس یک **پایه‌ی مشترک** بنویسیم. چون ۱۶ و ۸ هر دو از توان‌های عدد ۲ هستند، پایه‌ی مشترک را ۲ انتخاب می‌کنیم. * **تبدیل $۱۶^۲$:** $ ۱۶ = ۲^۴ \Rightarrow ۱۶^۲ = (۲^۴)^۲ = ۲^{۴ \times ۲} = ۲^۸ $ * **تبدیل $۸^۴$:** $ ۸ = ۲^۳ \Rightarrow ۸^۴ = (۲^۳)^۴ = ۲^{۳ \times ۴} = ۲^{۱۲} $ * **عدد سوم:** $ ۲^{۱۱} $ حالا سه عدد $ ۲^۸, ۲^{۱۲}, ۲^{۱۱} $ را با هم مقایسه می‌کنیم. چون پایه‌ها (۲) بزرگتر از ۱ هستند، هر عددی که توان بزرگتری داشته باشد، بزرگتر است. با مقایسه‌ی توان‌ها: $ ۸ < ۱۱ < ۱۲ $ بنابراین، ترتیب اعداد به صورت زیر است: $ ۲^۸ < ۲^{۱۱} < ۲^{۱۲} $ و با جایگذاری اعداد اصلی: $ ۱۶^۲ < ۲^{۱۱} < ۸^۴ $

پاسخ تشریحی: * **الف) $۳^{-۱} > ۳^{-۲}$** * $۳^{-۱} = \frac{۱}{۳}$ و $۳^{-۲} = \frac{۱}{۹}$. چون $ \frac{۱}{۳} > \frac{۱}{۹} $ است. * **ب) $۲^۰ > ۲^{-۵}$** * $۲^۰=۱$ و $۲^{-۵} = \frac{۱}{۳۲}$. چون $۱ > \frac{۱}{۳۲}$ است. * **ج) $(۰/۵)^{-۲} > (۰/۶)^{-۲}$** * $(۰.۵)^{-۲} = (\frac{۱}{۲})^{-۲} = ۲^۲ = ۴$. و $(۰.۶)^{-۲} = (\frac{۶}{۱۰})^{-۲} = (\frac{۱۰}{۶})^۲ = \frac{۱۰۰}{۳۶} \approx ۲.۷۷$. چون $۴ > ۲.۷۷$ است. * **د) $۵^{-۱} > ۰$** * $۵^{-۱} = \frac{۱}{۵}$ که عددی مثبت و بزرگتر از صفر است. * **ه) $(\frac{-۸}{۱۵})^۰ = ۱$** * هر عدد غیرصفر به توان صفر برابر با ۱ است. * **و) $-۵^{-۲} < (-۵)^{-۲}$** * $-۵^{-۲} = -(\frac{۱}{۵^۲}) = -\frac{۱}{۲۵}$ (یک عدد منفی). * $(-۵)^{-۲} = \frac{۱}{(-۵)^۲} = \frac{۱}{۲۵}$ (یک عدد مثبت). یک عدد منفی همیشه از یک عدد مثبت کوچکتر است.

پاسخ تشریحی: **الف) $۵^x \times ۵^{-۳} = ۵^۴$** * **قانون ضرب توان‌ها:** پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را جمع می‌کنیم. $ ۵^{x + (-۳)} = ۵^۴ \Rightarrow ۵^{x-۳} = ۵^۴ $ * چون پایه‌ها برابرند، توان‌ها نیز باید برابر باشند: $ x - ۳ = ۴ \Rightarrow x = ۷ $ **ب) $۵^x \div ۵^{-۳} = ۵^۴$** * **قانون تقسیم توان‌ها:** پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را از هم کم می‌کنیم. $ ۵^{x - (-۳)} = ۵^۴ \Rightarrow ۵^{x+۳} = ۵^۴ $ * چون پایه‌ها برابرند، توان‌ها نیز باید برابر باشند: $ x + ۳ = ۴ \Rightarrow x = ۱ $

پاسخ تشریحی: * **الف) $a^۴ \times a^۵ = a^{۲۰}$ (نادرست)**. قانون صحیح: $a^۴ \times a^۵ = a^{۴+۵} = a^۹$. * **ب) $a^۴ \times a^۵ = a^۹$ (درست)**. طبق قانون ضرب توان‌ها، توان‌ها جمع می‌شوند. * **ج) $(a^m)^n = (a^n)^m$ (درست)**. هر دو طرف برابر با $a^{mn}$ هستند. * **د) $۳^{-۲} = -۹$ (نادرست)**. مقدار صحیح: $۳^{-۲} = \frac{۱}{۳^۲} = \frac{۱}{۹}$. * **ه) $(-۳)^۰ + (۳^{-۱})^{-۱} = ۴$ (درست)**. $(-۳)^۰ = ۱$ و $(۳^{-۱})^{-۱} = ۳^{(-۱)(-۱)} = ۳^۱=۳$. حاصل جمع $۱+۳=۴$ است. * **و) $۳^{-۱} \times ۴^{-۱} = ۱۲^{-۲}$ (نادرست)**. مقدار صحیح: $۳^{-۱} \times ۴^{-۱} = (۳ \times ۴)^{-۱} = ۱۲^{-۱}$. * **ز) $۶^{-۲} = -\frac{۲}{۶}$ (نادرست)**. مقدار صحیح: $۶^{-۲} = \frac{۱}{۶^۲} = \frac{۱}{۳۶}$. * **ح) $۳^{-۱۰} < ۳^{-۱}$ (درست)**. $۳^{-۱۰} = \frac{۱}{۳^{۱۰}}$ و $۳^{-۱} = \frac{۱}{۳}$. چون $۳^{۱۰}$ بسیار بزرگتر از ۳ است، معکوس آن بسیار کوچکتر است.

پاسخ تشریحی: * **الف) $(\frac{۱}{۳})^{-۱۰} \times ۲۷^{-۳}$** پایه‌ها را به ۳ تبدیل می‌کنیم: $ (۳^{-۱})^{-۱۰} \times (۳^۳)^{-۳} = ۳^{۱۰} \times ۳^{-۹} = ۳^{۱۰-۹} = ۳^۱ = ۳ $ * **ب) $(۰/۲)^{-۴} \times ۲۵^{-۲}$** پایه‌ها را به ۵ تبدیل می‌کنیم: $ (\frac{۱}{۵})^{-۴} \times (۵^۲)^{-۲} = (۵^{-۱})^{-۴} \times ۵^{-۴} = ۵^۴ \times ۵^{-۴} = ۵^{۴-۴} = ۵^۰ = ۱ $ * **ج) $(\frac{۱۵}{۱۴})^{-۴} \times (\frac{۴۵}{۲۸})^۴$** از قوانین توان استفاده می‌کنیم: $ (\frac{۱۴}{۱۵})^۴ \times (\frac{۴۵}{۲۸})^۴ = (\frac{۱۴}{۱۵} \times \frac{۴۵}{۲۸})^۴ = (\frac{۱۴}{۲۸} \times \frac{۴۵}{۱۵})^۴ = (\frac{۱}{۲} \times ۳)^۴ = (\frac{۳}{۲})^۴ = \frac{۸۱}{۱۶} $ * **د) $(-۵^{-۲})^{-۱}$** ابتدا داخل پرانتز: $ -۵^{-۲} = -\frac{۱}{۵^۲} = -\frac{۱}{۲۵} $. سپس: $ (-\frac{۱}{۲۵})^{-۱} = (-\frac{۲۵}{۱})^۱ = -۲۵ $

پاسخ تشریحی: ابتدا مقدار هر یک از اعداد را محاسبه می‌کنیم: * $ -۳^{-۴} = -\frac{۱}{۳^۴} = -\frac{۱}{۸۱} $ * $ ۱^{-۹۰} = ۱ $ * $ (-۱)^{۲۱} = -۱ $ (چون توان فرد است) * $ (-۷)^۲ = ۴۹ $ * $ (-\frac{۱}{۲})^{-۲} = (-۲)^۲ = ۴ $ * $ ۳^۲ = ۹ $ * $ ۵^{-۳} = \frac{۱}{۵^۳} = \frac{۱}{۱۲۵} $ * $ ۲^{-۳} = \frac{۱}{۲^۳} = \frac{۱}{۸} $ حالا مقادیر عددی را مرتب می‌کنیم: $ -۱ < -\frac{۱}{۸۱} < \frac{۱}{۱۲۵} < \frac{۱}{۸} < ۱ < ۴ < ۹ < ۴۹ $ و در نهایت، اعداد اصلی را به همان ترتیب می‌نویسیم: $ (-۱)^{۲۱} < -۳^{-۴} < ۵^{-۳} < ۲^{-۳} < ۱^{-۹۰} < (-\frac{۱}{۲})^{-۲} < ۳^۲ < (-۷)^۲ $

پاسخ تشریحی: **الف) $ \frac{(\frac{۲}{۳})^۳ \times (\frac{۸}{۳})^{-۳}}{-۲۵ \times ۲^{-۸}} $** * **ساده‌سازی صورت:** $ (\frac{۲}{۳})^۳ \times (\frac{۳}{۸})^۳ = (\frac{۲}{۳} \times \frac{۳}{۸})^۳ = (\frac{۱}{۴})^۳ = \frac{۱}{۶۴} $ * **ساده‌سازی مخرج:** $ -۲۵ \times ۲^{-۸} = -۲۵ \times \frac{۱}{۲^۸} = -\frac{۲۵}{۲۵۶} $ * **تقسیم نهایی:** $ \frac{\frac{۱}{۶۴}}{-\frac{۲۵}{۲۵۶}} = \frac{۱}{۶۴} \times \frac{-۲۵۶}{۲۵} = \frac{-۴}{۲۵} $ **ب) $-[-(\frac{۴}{۳})^{-۲}]^{-۱}$** * **داخلی‌ترین توان:** $ (\frac{۴}{۳})^{-۲} = (\frac{۳}{۴})^۲ = \frac{۹}{۱۶} $ * **داخل کروشه:** $ -(\frac{۹}{۱۶}) = -\frac{۹}{۱۶} $ * **توان $ -۱ $:** $ [-\frac{۹}{۱۶}]^{-۱} = -\frac{۱۶}{۹} $ * **منفی بیرونی:** $ -(-\frac{۱۶}{۹}) = \frac{۱۶}{۹} $