ریاضی هشتم صفحه 149 - تمرین 3
۳- در شکل روبهرو، اندازهی زاویهی محاطی $\hat{C}$ را تعیین کنید. دو دانشآموز به این سوال جواب دادهاند. راهحلهای آنها را توضیح دهید.
فاطمه:
$\hat{O} = 80^{\circ} \longrightarrow \overparen{AD} = 80^{\circ}$
$\hat{C} = \frac{\overparen{AD}}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$
زهرا:
$\hat{O}_{1} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$
$\hat{A} + \hat{C} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
$\hat{A} = \hat{C} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 149 - تمرین 3
هدف این تمرین، محاسبهی اندازهی زاویهی محاطی $\mathbf{\hat{C}}$ (احتمالاً $\mathbf{\angle ACB}$) با استفاده از دو روش مختلف است. با توجه به شکل، $\mathbf{O}$ مرکز دایره است و $\mathbf{\angle AOB = 80^{\circ}}$ (زاویه مرکزی روبهرو به کمان $\overparen{AB}$).
**توجه:** با وجود ناسازگاریهای احتمالی در نامگذاری نقاط در راهحلهای داده شده (مانند استفاده از $\overparen{AD}$ یا $\hat{O}_{۱}$ و $\hat{A}$ و $\hat{C}$ در یک مثلث)، فرض بر این است که زاویهی $\mathbf{\hat{C}}$ مورد نظر، زاویهی محاطی روبهرو به کمان $\overparen{AB}$ است.
### راهحل فاطمه (استفاده از زاویهی مرکزی و محاطی)
1. **محاسبهی کمان:** فاطمه زاویهی مرکزی $\mathbf{\angle AOB = 80^{\circ}}$ را به کمان $\overparen{AD}$ نسبت داده است (که با فرض $\overparen{AB} = 80^{\circ}$ سازگارتر است).
$${\overparen{AB} = \angle AOB = 80^{\circ} }$$
2. **محاسبهی زاویهی محاطی:** $\mathbf{\hat{C}}$ ($\mathbf{\angle ACB}$) یک زاویهی محاطی است که روبهرو به کمان $\overparen{AB}$ قرار دارد.
$${ \hat{C} = \frac{\overparen{AB}}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} }$$
$${ \mathbf{\hat{C} = 40^{\circ}} }$$
**توضیح راهحل فاطمه:** فاطمه با استفاده از این **اصل** که اندازهی زاویهی محاطی نصف اندازهی کمان روبهرو به آن است، زاویهی $\mathbf{\hat{C}}$ را مستقیماً محاسبه کرده است. این روش، **روش هندسی صحیح** برای حل این مسئله است.
### راهحل زهرا (استفاده از مثلث متساویالساقین)
1. **محاسبهی زاویهی مجاور مرکزی ($\mathbf{\hat{O}_{1}}$):** زهرا زاویهی مجاور $\mathbf{\angle AOB}$ (که روی یک خط راست قرار دارند) را $\mathbf{180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}}$ محاسبه کرده است.
* **تفسیر هندسی:** این زاویه $\mathbf{\angle BOC}$ است، اگر $\mathbf{AC}$ قطر باشد.
2. **محاسبه زوایای قاعدهی مثلث:** زهرا مثلث $\mathbf{\triangle BOC}$ (اگر $\mathbf{O}$ مرکز باشد و $\mathbf{B}$ و $\mathbf{C}$ روی دایره باشند) را در نظر گرفته است. این مثلث **متساویالساقین** است (زیرا $\mathbf{\overline{OB} = \overline{OC}}$ شعاع هستند).
* مجموع زوایای داخلی: $${ \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} }$$
* چون $\mathbf{\hat{B}}$ و $\mathbf{\hat{C}}$ (منظور $\mathbf{\angle OCB}$) زاویههای قاعدهاند و مساوی، پس: $${ \hat{A} = \hat{C} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} }$$
**توضیح راهحل زهرا:** زهرا با فرض اینکه $\mathbf{A}$ و $\mathbf{C}$ زوایای قاعدهی یک مثلث متساویالساقین (مثلاً $\mathbf{\triangle OAC}$) هستند که زاویهی رأس آن $\mathbf{100^{\circ}}$ است، زاویهی $\mathbf{\hat{C}}$ را محاسبه کرده است. اگرچه این روش هم به پاسخ $40^{\circ}$ میرسد، اما به دلیل نیاز به فرض اضافی (مانند قطر بودن $\mathbf{AD}$ و استفاده از مکمل زاویهی $\mathbf{\angle AOB}$) و نامگذاری نامناسب، **پیچیدهتر** از روش فاطمه است.
