حل فعالیت صفحه 146 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 146 - تمرین 1 سلام دانش‌آموزان عزیز! این تمرین انواع مختلف زوایا نسبت به دایره را معرفی می‌کند. ### رسم انواع زوایا نسبت به دایره | وضعیت | نام زاویه | نحوه رسم | | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **الف) رأس زاویه روی دایره** | **زاویه‌ی محاطی** | رأسی روی محیط دایره انتخاب می‌کنیم. دو ضلع از این رأس خارج شده و دایره را قطع می‌کنند (وتر هستند). | | | **ب) رأس زاویه خارج دایره** | **زاویه‌ی خارجی** | رأسی خارج از دایره انتخاب می‌کنیم. دو ضلع زاویه می‌توانند دایره را قطع کنند (قاطع)، مماس باشند یا از دایره دور شوند. | | | **ج) رأس زاویه در مرکز دایره** | **زاویه‌ی مرکزی** | رأس زاویه را مرکز دایره ($\mathbf{O}$) قرار می‌دهیم. دو ضلع آن دو شعاع هستند. | | | **د) رأس زاویه داخل دایره در نقطه‌ای غیر از مرکز** | **زاویه‌ی داخلی** | رأسی درون دایره (غیر از مرکز) انتخاب می‌کنیم. اضلاع این زاویه، دو وتر در دایره را تشکیل می‌دهند. | | ### پاسخ به سؤالات 1. **در کدام وضعیت زاویه‌ی مرکزی نشان داده شده است؟** * **پاسخ:** در وضعیت **(ج)**، یعنی زمانی که **رأس زاویه در مرکز دایره** قرار دارد، زاویه‌ی مرکزی نشان داده شده است. 2. **تعریف زاویه‌ی محاطی:** * **زاویه‌ی محاطی** به زاویه‌ای گفته می‌شود که **رأس آن روی دایره** است و اضلاعش دایره را قطع می‌کنند (وترهای دایره هستند).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 146 - تمرین 2 این تمرین به مقایسه‌ی اندازه‌ی **زاویه‌ی مرکزی** و **زاویه‌ی محاطی** می‌پردازد که هر دو روبه‌رو به یک کمان ($\overparen{AB}$) هستند. ### الف) اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{AOB}$ بر حسب $\mathbf{x}$ 1. **نوع زاویه:** $\mathbf{\angle AOB}$ یک **زاویه‌ی مرکزی** است (رأس آن $\mathbf{O}$ مرکز دایره است). 2. **کمان روبه‌رو:** این زاویه روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ با اندازه‌ی $\mathbf{x}$ درجه است. 3. **رابطه‌ی زاویه‌ی مرکزی و کمان:** اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی **برابر** با اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. $${ \text{اندازه‌ی } \angle AOB = \text{اندازه‌ی کمان } \overparen{AB} }$$ $${ \mathbf{\angle AOB = x} }$$ ### ب) اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی $\mathbf{ACB}$ بر حسب $\mathbf{x}$ 1. **نوع زاویه:** $\mathbf{\angle ACB}$ یک **زاویه‌ی محاطی** است (رأس آن $\mathbf{C}$ روی دایره است). 2. **کمان روبه‌رو:** این زاویه نیز روبه‌رو به همان کمان $\overparen{AB}$ با اندازه‌ی $\mathbf{x}$ درجه است. 3. **رابطه‌ی زاویه‌ی محاطی و کمان:** اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی **نصف** اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. $${ \text{اندازه‌ی } \angle ACB = \frac{1}{2} \times \text{اندازه‌ی کمان } \overparen{AB} }$$ $${ \mathbf{\angle ACB = \frac{x}{2}} }$$ **نتیجه‌گیری مهم:** اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی ($\mathbf{\angle ACB}$) **نصف** اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی ($\mathbf{\angle AOB}$) است، به شرطی که هر دو روبه‌رو به یک کمان باشند. $${ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB }$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 146 - تمرین 3 این تمرین از خاصیت **زاویه‌ی محاطی** برای جمع دو زاویه‌ی مجاور استفاده می‌کند. ### گام اول: شناسایی زاویه‌های محاطی و کمان‌های روبه‌رو 1. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle DAC}$:** این زاویه روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$ نیست، بلکه روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$ و $\overparen{BC}$ نیست. $\mathbf{\angle DAC}$ از مجموع $\mathbf{\angle DAB}$ و $\mathbf{\angle BAC}$ تشکیل شده است. 2. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle DAB}$:** این زاویه محاطی است و روبه‌رو به کمان $\overparen{DB}$ قرار دارد. $${ \angle DAB = \frac{1}{2} \times \overparen{DB} }$$ 3. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle BAC}$:** این زاویه محاطی است و روبه‌رو به کمان $\overparen{BC}$ قرار دارد. $${ \angle BAC = \frac{1}{2} \times \overparen{BC} }$$ 4. **کمان $\overparen{DC}$:** اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$، زاویه‌ی $\mathbf{\angle DBC}$ (یا $\mathbf{\angle DAC}$) نیست. زاویه‌ی محاطی $\mathbf{\angle DAC}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$ نیست. **توجه:** با توجه به متن و تصویر، در این سوال احتمالا منظور این بوده است که اندازه‌ی کمان $\overparen{DC}$ یا $\overparen{DB}$ یا $\overparen{BC}$ را بر حسب $\mathbf{x}$ در نظر بگیریم و $\mathbf{\angle DAC}$ را محاسبه کنیم. ### تفسیر و تکمیل عبارت داده شده اگر فرض کنیم که منظور از عبارت $\mathbf{\angle DAC}$، زاویه‌ی $\mathbf{\angle DAB}$ است (به دلیل اشتباه تایپی در کتاب درسی)، اما با توجه به ساختار عبارت $$\mathbf{\angle DAB} + \mathbf{\angle BAC}$$، هدف محاسبه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\angle DAC}$ است که مجموع این دو زاویه است. * **زاویه‌ی محاطی $\mathbf{\angle DAC}$:** روبه‌رو به کمان $\overparen{DBC}$ نیست، بلکه روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$ است (با توجه به تصویر). **با فرض اینکه $\mathbf{\angle DAC}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$ است (که با عبارت داده شده ناسازگار است):** $${ \angle DAC = \frac{1}{2} \overparen{DC} }$$ **با فرض پر کردن جاهای خالی بر اساس عبارت جمع داده شده:** $${ \angle DAC = \angle DAB + \angle BAC }$$ * $\mathbf{\angle DAB}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{DB}$ است. $\mathbf{\angle BAC}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{BC}$ است. * جمع این دو زاویه زاویه‌ی $\mathbf{\angle DAC}$ را نمی‌دهد، بلکه $\mathbf{\angle DBC}$ را می‌دهد (اگر $\mathbf{D}$ و $\mathbf{C}$ را وصل کنیم). **تنها راه منطقی برای پر کردن جاهای خالی (با توجه به متن):** این عبارت باید مربوط به زاویه‌ای باشد که کمان روبه‌رو به آن از جمع دو کمان $\overparen{DB}$ و $\overparen{BC}$ (یعنی $\overparen{DC}$) به دست می‌آید. اگر زاویه‌ی $\mathbf{\angle DAC}$ را روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$ در نظر بگیریم، عبارت داده شده باید به این شکل تصحیح شود: $${ \angle DAC = \angle DAB + \angle BAC = \frac{\overparen{DB}}{2} + \frac{\overparen{BC}}{2} = \frac{\overparen{DB} + \overparen{BC}}{2} = \frac{\overparen{DC}}{2} }$$ **پاسخ نهایی با فرض اشتباه بودن $\mathbf{\angle DAB} + \mathbf{\angle BAC}$ و درست بودن $\mathbf{\angle DAC}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{DC}$:** $${ \mathbf{\angle DAC} = \frac{\overparen{DC}}{2} }$$ اگر فرض کنیم سوال می‌خواسته $\mathbf{\angle DBC}$ را محاسبه کند: $${ \angle DBC = \angle DBA + \angle ABC = \frac{\overparen{DA}}{2} + \frac{\overparen{AC}}{2} = \frac{\overparen{DAC}}{2} }$$ **تکمیل جاهای خالی (بر اساس جمع کمان‌ها):** $${ \mathbf{\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC = \frac{\overparen{DB}}{2} + \frac{\overparen{BC}}{2} = \frac{\overparen{DB} + \overparen{BC}}{2}} }$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 146 - تمرین 4 این تمرین از خاصیت **زاویه‌ی محاطی** برای تفریق دو زاویه‌ی مجاور استفاده می‌کند. ### گام اول: شناسایی زاویه‌ها و کمان‌های روبه‌رو 1. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle EAC}$:** زاویه‌ی $\mathbf{\angle EAC}$ از تفاضل دو زاویه‌ی محاطی بزرگ‌تر $\mathbf{\angle BAC}$ و زاویه‌ی کوچک‌تر $\mathbf{\angle BAE}$ به دست می‌آید. $${ \angle EAC = \angle BAC - \angle BAE }$$ 2. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle BAC}$:** این زاویه محاطی است و روبه‌رو به کمان $\overparen{BC}$ قرار دارد. $${ \angle BAC = \frac{1}{2} \times \overparen{BC} }$$ 3. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle BAE}$:** این زاویه محاطی است و روبه‌رو به کمان $\overparen{BE}$ قرار دارد. $${ \angle BAE = \frac{1}{2} \times \overparen{BE} }$$ ### گام دوم: تکمیل عبارت تفاضل اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\angle EAC}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{EC}$ است. پس باید از رابطه‌ی زیر به دست آید: $${ \angle EAC = \frac{1}{2} \times \overparen{EC} }$$ **تکمیل جاهای خالی:** ما می‌دانیم $\overparen{EC} = \overparen{BC} - \overparen{BE}$. $${ \mathbf{\angle EAC} = \mathbf{\angle BAC} - \mathbf{\angle BAE} = \frac{\mathbf{\overparen{BC}}}{2} - \frac{\mathbf{\overparen{BE}}}{2} = \frac{\mathbf{\overparen{BC}} - \mathbf{\overparen{BE}}}{2} }$$ * **پاسخ نهایی بر حسب $\overparen{EC}$:** $${ \angle EAC = \frac{\overparen{EC}}{2} }$$ **تکمیل عبارت:** $${ \mathbf{\angle EAC} = \mathbf{\angle BAC} - \mathbf{\angle BAE} = \frac{\mathbf{\overparen{BC}}}{2} - \frac{\mathbf{\overparen{BE}}}{2} = \frac{\mathbf{\overparen{EC}}}{2} }$$