حل کاردرکلاس صفحه 143 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 143 - کار در کلاس 1 برای پیدا کردن اندازه‌ی کمان‌ها، از خاصیت **زاویه‌ی مرکزی** استفاده می‌کنیم: **اندازه‌ی هر کمان برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به آن است.** همچنین، مجموع دو کمان تشکیل‌دهنده‌ی یک دایره کامل، $360^{\circ}$ است. ### الف) شکل سمت چپ (قطر $\mathbf{AB}$) 1. **مشخصه:** پاره‌خط $\mathbf{\overline{AB}}$ از مرکز $\mathbf{O}$ گذشته و **قطر** دایره است. 2. **زاویه‌ی مرکزی:** زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به هر کمان $\mathbf{180^{\circ}}$ است (زاویه‌ی خط راست). 3. **اندازه کمان‌ها:** قطر دایره را به دو کمان مساوی ($\mathbf{نیم‌دایره}$) تقسیم می‌کند. * اندازه‌ی کمان بالایی $\overparen{AB}$: $${ \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ} }$$ * اندازه‌ی کمان پایینی $\overparen{AB}$ (یا $\overparen{BA}$): $${ 180^{\circ} }$$ ### ب) شکل سمت راست (زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{60^{\circ}}$) 1. **زاویه‌ی مرکزی معلوم:** زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به کمان $\overparen{CD}$ برابر $\mathbf{60^{\circ}}$ است: $${ \angle COD = 60^{\circ} }$$ 2. **اندازه کمان کوچک‌تر:** اندازه‌ی کمان $\overparen{CD}$ برابر با زاویه‌ی مرکزی آن است. $${ \text{اندازه‌ی کمان } \overparen{CD} = 60^{\circ} }$$ 3. **اندازه کمان بزرگ‌تر:** اندازه‌ی کمان دیگر (کمان بزرگ‌تر $\overparen{CD}$) از کم کردن کمان کوچک‌تر از $360^{\circ}$ به دست می‌آید. $${ \text{اندازه‌ی کمان بزرگ‌تر } \overparen{CD} = 360^{\circ} - 60^{\circ} }$$ $${ 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ} }$$ **پاسخ نهایی:** * **شکل چپ:** هر دو کمان $\mathbf{180^{\circ}}$ هستند. * **شکل راست:** کمان کوچک‌تر $\mathbf{60^{\circ}}$ و کمان بزرگ‌تر $\mathbf{300^{\circ}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 143 - کار در کلاس 2 این تمرین به کاربرد خواص **زاویه‌ی مرکزی**، **زاویه‌ی محاطی** و **مماس بر دایره** می‌پردازد. ### الف) شکل سمت راست **تفسیر شکل:** با توجه به زوایای $\mathbf{29^{\circ}}$ و $\mathbf{x}$، به نظر می‌رسد این تمرین ترکیبی از دو قسمت است: 1. **کمان:** اندازه‌ی کمان $\overparen{AC}$ برابر با زاویه‌ی مرکزی $\angle AOC = 29^{\circ}$ است. (اگر $\mathbf{C}$ روی دایره باشد) 2. **مثلث قائم‌الزاویه:** اگر $\mathbf{AB}$ مماس بر دایره در نقطه‌ی $\mathbf{A}$ باشد، آنگاه $\mathbf{\triangle OAB}$ قائم‌الزاویه در $\mathbf{A}$ است ($\mathbf{\hat{A} = 90^{\circ}}$). **محاسبات:** * **محاسبه‌ی $\mathbf{x}$ (زاویه مرکزی):** زاویه‌ی $\mathbf{x}$ ($\angle AOC$) در شکل داده شده $\mathbf{29^{\circ}}$ است. $${ \mathbf{x = 29^{\circ}} }$$ * **اندازه‌ی کمان $\overparen{AC}$:** $${ \overparen{AC} = x = 29^{\circ} }$$ * **محاسبه‌ی $\mathbf{y}$ (زاویه $\angle ABO$):** در مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\mathbf{OAB}$، مجموع زوایای حاده $90^{\circ}$ است ($\mathbf{y + \angle AOB = 90^{\circ}}$). * زاویه‌ی $\mathbf{\angle AOB}$ (مرکزی) از روی شکل به نظر می‌رسد $\mathbf{29^{\circ}}$ نیست و باید زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{\angle AOD}$ (یا $\mathbf{\angle AOB}$) داده شده باشد. * **فرض تصحیح شده:** اگر $\mathbf{\angle AOB = 29^{\circ}}$ باشد: $${ y + 29^{\circ} = 90^{\circ} }$$ $${ y = 90^{\circ} - 29^{\circ} }$$ $${ \mathbf{y = 61^{\circ}} }$$ * **با توجه به علامت $\mathbf{29^{\circ}}$ در شکل،** اگر این زاویه مربوط به کمان $\overparen{AD}$ باشد، نمی‌توان $y$ را مستقیماً محاسبه کرد. **اما معمولاً در چنین تمرین‌هایی، زاویه‌ی $\mathbf{x}$ یا $\mathbf{y}$ به سادگی قابل محاسبه است.** **پاسخ بر اساس رایج‌ترین تفسیر ($\mathbf{\angle AOB = 29^{\circ}}$):** $\mathbf{y = 61^{\circ}}$ و $\overparen{AB} = 29^{\circ}$. (اگر $\mathbf{AB}$ مماس باشد.) ### ب) شکل سمت چپ **اطلاعات:** * زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{\angle BOC = 140^{\circ}}$. * زاویه‌ی $\mathbf{\angle OCA = 10^{\circ}}$. 1. **محاسبه‌ی $\mathbf{x}$ (زاویه‌ی $\mathbf{\angle BAC}$):** * $\mathbf{\angle BAC}$ یک **زاویه‌ی محاطی** روبه‌رو به کمان $\overparen{BC}$ است. * اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی نصف اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. * اندازه‌ی کمان $\overparen{BC}$ برابر با زاویه‌ی مرکزی $\angle BOC$ است: $${ \overparen{BC} = 140^{\circ} }$$ * محاسبه $\mathbf{x}$: $${ x = \angle BAC = \frac{1}{2} \times \overparen{BC} = \frac{140^{\circ}}{2} }$$ $${ \mathbf{x = 70^{\circ}} }$$ 2. **محاسبه‌ی $\mathbf{z}$ (زاویه‌ی $\mathbf{\angle ABO}$):** * **مثلث متساوی‌الساقین $\mathbf{AOC}$:** $\mathbf{\overline{OA} = \overline{OC}}$ (شعاع). * $\mathbf{\angle OAC = \angle OCA = 10^{\circ}}$ * **مثلث متساوی‌الساقین $\mathbf{AOB}$:** $\mathbf{\overline{OA} = \overline{OB}}$ (شعاع). * $\mathbf{\angle OBA = \angle OAB}$ (زاویه‌ی $\mathbf{z}$) * **زاویه‌ی $\mathbf{\angle AOB}$ (مرکزی):** $${ \angle AOB = 180^{\circ} - (10^{\circ} + 10^{\circ}) = 160^{\circ} }$$ * **محاسبه $\mathbf{z}$ در $\mathbf{\triangle AOB}$:** $${ z + z + 160^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ 2z = 180^{\circ} - 160^{\circ} }$$ $${ 2z = 20^{\circ} }$$ $${ \mathbf{z = 10^{\circ}} }$$ **پاسخ نهایی برای (ب):** $\mathbf{x = 70^{\circ}}$ و $\mathbf{z = 10^{\circ}}$. (اندازه‌ی کمان $\overparen{BC}$ برابر $140^{\circ}$ و اندازه‌ی کمان $\overparen{AC}$ برابر $20^{\circ}$ است).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 143 - فعالیت 3 این فعالیت یک خاصیت بسیار مهم مثلث‌های محاط در دایره را معرفی می‌کند. ### گام اول: شناسایی نوع مثلث‌ها 1. **قطر:** $\mathbf{\overline{AB}}$ قطر دایره است و از مرکز $\mathbf{O}$ می‌گذرد. 2. **مثلث $\mathbf{ABC}$:** این یک مثلث **محاط در دایره** است که یک ضلع آن ($\mathbf{\overline{AB}}$) قطر است. یک خاصیت مهم این است که **زاویه‌ی $\mathbf{\hat{C}}$ (زاویه‌ی محاطی روبه‌رو به قطر) همیشه $90^{\circ}$ است.** 3. **مثلث‌های داخلی:** مثلث $\mathbf{OAC}$ و $\mathbf{OBC}$ هر دو **متساوی‌الساقین** هستند، زیرا $\mathbf{\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}}$ (همه شعاع هستند). ### گام دوم: محاسبه‌ی زوایای داخلی 1. **زاویه‌ی $\mathbf{\hat{OAC}}$:** در شکل داده شده است: $${ \angle OAC = 5^{\circ} }$$ 2. **زوایای مثلث $\mathbf{OAC}$:** چون $\mathbf{\triangle OAC}$ متساوی‌الساقین است ($\mathbf{\overline{OA} = \overline{OC}}$)، زوایای قاعده‌ی آن برابرند: $${ \angle OCA = \angle OAC = 5^{\circ} }$$ 3. **زاویه‌ی $\mathbf{\angle ACB}$:** زاویه‌ی $\mathbf{\hat{C}}$ (محاطی روبه‌رو به قطر) برابر $90^{\circ}$ است. این زاویه از دو بخش $\mathbf{\angle OCA}$ و $\mathbf{\angle OCB}$ تشکیل شده است: $${ \angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = 90^{\circ} }$$ $${ 90^{\circ} = 5^{\circ} + \angle OCB }$$ $${ \angle OCB = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ} }$$ 4. **محاسبه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{B}}$:** مثلث $\mathbf{OBC}$ نیز متساوی‌الساقین است ($\mathbf{\overline{OB} = \overline{OC}}$)، پس زوایای قاعده‌ی آن برابرند: $${ \angle OBC = \angle OCB }$$ $${ \angle OBC = 85^{\circ} }$$ ### گام سوم: پاسخ نهایی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{B}}$ در مثلث $\mathbf{ABC}$ همان زاویه‌ی $\mathbf{\angle OBC}$ است. * **پاسخ:** زاویه‌ی $\mathbf{\hat{B}}$ برابر **۸۵ درجه** است. **بررسی نهایی (مجموع زوایای $\mathbf{\triangle ABC}$):** $${ \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 5^{\circ} + 85^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} }$$ پاسخ صحیح است.