حل فعالیت صفحه 142 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 142 - فعالیت 1 این فعالیت یک مقدمه‌ی جذاب برای آشنایی با مفهوم **اندازه‌گیری کمان بر حسب درجه** است. ### تحلیل ساعت‌ها * **ساعت سمت راست (ساعت کوچک):** تقریباً **۹ و ۴۵ دقیقه** یا **۱۰ ربع کم** را نشان می‌دهد. * **ساعت سمت چپ (ساعت بزرگ):** تقریباً **۹ و ۴۵ دقیقه** را نشان می‌دهد. ### زمان بعد از پنج دقیقه * **زمان فعلی:** ۹:۴۵ * **پنج دقیقه بعد:** ۹:۵۰ ### محاسبه‌ی حرکت عقربه‌ی دقیقه‌شمار حرکت عقربه‌ی دقیقه‌شمار در ۵ دقیقه را محاسبه می‌کنیم: 1. یک دایره کامل ($\mathbf{60}$ دقیقه) برابر با $\mathbf{360^{\circ}}$ است. 2. حرکت عقربه‌ی دقیقه‌شمار در $\mathbf{1}$ دقیقه: $$\frac{360^{\circ}}{60 \text{ دقیقه}} = 6^{\circ} \text{ بر دقیقه}$$ 3. حرکت عقربه‌ی دقیقه‌شمار در $\mathbf{5}$ دقیقه: $${ 5 \text{ دقیقه} \times 6^{\circ}/\text{دقیقه} = 30^{\circ} }$$ * **پاسخ:** در این مدت، عقربه‌ی دقیقه‌شمار **۳۰ درجه** حرکت کرده است. ### مسیر طی شده (مقایسه‌ی طول کمان) نوک عقربه‌ی دقیقه‌شمار در هر دو ساعت یک **کمان** به اندازه‌ی $\mathbf{30^{\circ}}$ را طی کرده است. * **ساعت سمت چپ (بزرگ‌تر):** عقربه‌ی دقیقه‌شمار **طولانی‌تر** است (شعاع بزرگ‌تر است). * **ساعت سمت راست (کوچک‌تر):** عقربه‌ی دقیقه‌شمار **کوتاه‌تر** است (شعاع کوچک‌تر است). **نتیجه‌ی مهم:** اگرچه **اندازه‌ی کمان** (برحسب درجه) برای هر دو $\mathbf{30^{\circ}}$ است، اما **طول کمان** طی شده توسط نوک عقربه‌ی ساعتی که **عقربه‌ی طولانی‌تری** دارد (ساعت سمت چپ)، **طولانی‌تر** است. (چون شعاع بزرگ‌تر است، محیط دایره‌ای که نوک عقربه طی می‌کند بزرگ‌تر است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 142 - فعالیت 2 این فعالیت مفاهیم پایه‌ای **کمان** و **زاویه‌ی مرکزی** در دایره را معرفی می‌کند. ### الف) تقسیم دایره به دو کمان مساوی * **پاسخ:** بله، ممکن است دو نقطه، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم کنند. * **توضیح:** برای اینکه دو کمان مساوی باشند، طول یا اندازه‌ی آن‌ها باید برابر باشد. اگر مجموع دو کمان $\mathbf{360^{\circ}}$ است، هر کمان باید $360^{\circ} \div 2 = \mathbf{180^{\circ}}$ باشد. * کمان $\mathbf{180^{\circ}}$ **نیم‌دایره** نام دارد. * این اتفاق زمانی رخ می‌دهد که پاره‌خط $\mathbf{AB}$ یک **قطر** دایره باشد؛ یعنی $\mathbf{AB}$ از مرکز $\mathbf{O}$ بگذرد. ### ب) تعریف زاویه‌ی مرکزی این بخش تعریف رسمی **زاویه‌ی مرکزی** است: * **زاویه‌ی مرکزی:** زاویه‌ای است که **رأس** آن در **مرکز دایره** ($\mathbf{O}$) قرار دارد و دو ضلع آن، دو **شعاع** دایره ($\mathbf{OA}$ و $\mathbf{OB}$) هستند. * زاویه‌ی $\mathbf{AOB}$ روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ است. **نکته‌ی مهم:** اندازه‌ی هر **کمان** در دایره (برحسب درجه) **برابر** با اندازه‌ی **زاویه‌ی مرکزی** روبه‌رو به آن کمان است. $${ \text{اندازه کمان } \overparen{AB} = \text{اندازه } \angle AOB }$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 142 - فعالیت 3 این فعالیت به خوبی تفاوت بین **اندازه‌ی کمان (درجه)** و **طول کمان (سانتی‌متر یا متر)** را توضیح می‌دهد. 1. **محاسبه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$:** * چون کل دایره به $\mathbf{6}$ قسمت مساوی تقسیم شده است، هر قسمت کسری از $360^{\circ}$ است. * کسر زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$ از $\mathbf{360^{\circ}}$: $${ \frac{1}{6} }$$ * اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$: $${ \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} }$$ 2. **کسر کمان در دایره‌ی $\mathbf{c}_{۱}$:** * چون اندازه‌ی کمان (برحسب درجه) برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی ($\mathbf{O}_{۱}$) است، و زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$ کسری $\mathbf{1/6}$ از $360^{\circ}$ است. * کمان روبه‌رو به $\mathbf{O}_{۱}$ در دایره‌ی $\mathbf{c}_{۱}$ نیز کسری $\mathbf{1/6}$ از کل دایره‌ی $\mathbf{c}_{۱}$ است. 3. **کسر کمان در دایره‌ی $\mathbf{c}_{۲}$:** * به همان دلیل بالا، کمان روبه‌رو به $\mathbf{O}_{۱}$ در دایره‌ی $\mathbf{c}_{۲}$ نیز کسری $\mathbf{1/6}$ از کل دایره‌ی $\mathbf{c}_{۲}$ است. 4. **مقایسه‌ی کسرها:** * **آیا این دو کسر با هم مساوی‌اند؟** بله، هر دو کسر $\mathbf{\frac{1}{6}}$ هستند. این نشان می‌دهد که **اندازه‌ی کمان** (برحسب درجه) مستقل از شعاع دایره است. 5. **مقایسه‌ی طول کمان‌ها:** * **آیا طول این دو کمان مساوی است؟** خیر. * طول کمان رابطه‌ی مستقیمی با شعاع دایره دارد. چون شعاع دایره‌ی $\mathbf{c}_{۲}$ بزرگ‌تر از شعاع دایره‌ی $\mathbf{c}_{۱}$ است، بنابراین محیط دایره‌ی $\mathbf{c}_{۲}$ بزرگ‌تر است. * طول $\mathbf{1/6}$ از محیط بزرگ‌تر ($\mathbf{c}_{۲}$) قطعاً بزرگ‌تر از طول $\mathbf{1/6}$ از محیط کوچک‌تر ($\mathbf{c}_{۱}$) خواهد بود. **نتیجه‌گیری:** **اندازه‌ی کمان (درجه)** مستقل از شعاع است، اما **طول کمان** وابسته به شعاع است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 142 - فعالیت 4 این سوال یک مرور بر مفاهیم فعالیت‌های قبلی است. ### دلیل تساوی اندازه‌ی کمان‌ها دلیل اینکه اندازه‌ی کمان روبه‌رو به $\mathbf{O}_{۱}$ در هر دو دایره‌ی $\mathbf{c}_{۱}$ و $\mathbf{c}_{۲}$ برابر $\mathbf{60^{\circ}}$ است، دو بخش دارد: 1. **زاویه‌ی مرکزی:** در فعالیت ۳ دیدیم که زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$ (زاویه‌ی مرکزی) که کل دایره را به شش قسمت مساوی تقسیم کرده، برابر است با: $${ \angle O_{۱} = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} }$$ 2. **رابطه‌ی کمان و زاویه‌ی مرکزی:** در هندسه‌ی دایره، **اندازه‌ی هر کمان** (برحسب درجه) با اندازه‌ی **زاویه‌ی مرکزی** روبه‌رو به آن کمان **برابر** است. $${ \text{اندازه کمان} = \text{اندازه زاویه‌ی مرکزی} }$$ 3. **نتیجه:** چون زاویه‌ی مرکزی ($\mathbf{O}_{۱}$) برای هر دو کمان در دایره‌های $\mathbf{c}_{۱}$ و $\mathbf{c}_{۲}$ مشترک و برابر $\mathbf{60^{\circ}}$ است، بنابراین اندازه‌ی هر دو کمان نیز $\mathbf{60^{\circ}}$ خواهد بود. **نکته‌ی مهم:** اندازه‌ی کمان (درجه) تنها به زاویه‌ی مرکزی بستگی دارد و **وابسته به شعاع دایره نیست.**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 142 - فعالیت 5 این فعالیت رابطه‌ی بین اندازه‌ی کمان (درجه) و طول کمان (کسری از محیط) را با استفاده از تناسب نشان می‌دهد. ### الف) اندازه‌ی کمان $\overparen{AB}$ 1. **زاویه‌ی مرکزی:** زاویه‌ی $\mathbf{xOy}$ همان زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{AOB}$ است که روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ قرار دارد. 2. **قانون زاویه‌ی مرکزی:** اندازه‌ی کمان (برحسب درجه) برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی است. $${ \text{اندازه کمان } \overparen{AB} = \angle AOB = 36^{\circ} }$$ * **پاسخ:** کمان $\overparen{AB}$ برابر **۳۶ درجه** است. ### ب) طول کمان $\overparen{AB}$ چه کسری از دایره است؟ کسر مربوط به طول کمان (بخشی از محیط) با کسری که اندازه‌ی کمان از $\mathbf{360^{\circ}}$ است، برابر می‌باشد. از تناسب داده شده کمک می‌گیریم: $${ \frac{\text{اندازه کمان } \overparen{AB}}{360^{\circ}} = \frac{\text{طول کمان } \overparen{AB}}{\text{محیط دایره}} }$$ اندازه‌ی کمان را جایگذاری می‌کنیم: $${ \frac{36^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{\text{طول کمان } \overparen{AB}}{\text{محیط دایره}} }$$ کسر را ساده می‌کنیم: $${ \frac{36}{360} = \frac{1}{10} }$$ * **پاسخ:** طول کمان $\overparen{AB}$ برابر با **$\mathbf{\frac{1}{10}}$ (یک‌دهم)** کل دایره (محیط) است. **نتیجه‌گیری:** اگر زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{36^{\circ}}$ باشد، این زاویه $\mathbf{1/10}$ کل دایره است، پس کمان روبروی آن نیز $\mathbf{1/10}$ از محیط دایره را شامل می‌شود.