حل کاردر کلاس صفحه 141 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 141 - سوال 1 این تمرین‌ها ترکیبی از خاصیت‌های **خط مماس**، **وتر** و **مجموع زوایای داخلی مثلث** است. ### الف) شکل سمت راست 1. **خاصیت مماس:** چون $\mathbf{RQ}$ مماس است و $\mathbf{OT}$ شعاع، $\mathbf{OT}$ بر $\mathbf{RQ}$ در نقطه‌ی $\mathbf{T}$ عمود نیست (زیرا $\mathbf{T}$ نقطه‌ی تماس نیست). نقطه‌ی تماس $\mathbf{Q}$ یا $\mathbf{R}$ نیست و $\mathbf{RQ}$ یک پاره‌خط خارجی است که از دو نقطه $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ به دایره مماس شده است. * **فرض اولیه:** اگر فرض کنیم $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ نقاطی خارج از دایره هستند که دو مماس از آن‌ها به دایره رسم شده (که با متن سوال تناقض دارد، زیرا $\mathbf{RQ}$ پاره‌خط است). * **تفسیر منطقی‌تر با توجه به تصویر:** $\mathbf{RQ}$ پاره‌خطی است که $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ را به هم وصل کرده و $\mathbf{T}$ نقطه‌ی تماس آن نیست. با توجه به شکل، مثلث $\mathbf{ROQ}$ در نظر گرفته شده است. * **تصحیح فرض:** با توجه به درس‌های قبلی، اگر $\mathbf{RQ}$ مماس است، باید نقطه‌ی تماس را مشخص کند. چون $\mathbf{T}$ روی دایره است و $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ خارج آن هستند، به نظر می‌رسد $\mathbf{RQ}$ پاره‌خطی است که $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ را وصل می‌کند و $\mathbf{T}$ روی دایره است. **با در نظر گرفتن مماس بودن در نقطه‌ی $\mathbf{T}$ (که منطقی نیست چون $\mathbf{RQ}$ دو سر دارد):** اگر فرض کنیم خط شامل $\mathbf{RT}$ مماس است، $\mathbf{\hat{T}=90^{\circ}}$ می‌شد که با زوایای داده شده جور در نمی‌آید. **با در نظر گرفتن اینکه $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ نقاط خارجی هستند و $\mathbf{RQ}$ وصل‌کننده‌ی آن‌هاست:** 1. مثلث $\mathbf{ROQ}$ داریم. 2. مجموع زوایای داخلی مثلث $\mathbf{RTO}$ و $\mathbf{QTO}$ و $\mathbf{ROQ}$ باید $180^{\circ}$ باشد. * **محاسبه $\mathbf{x}$ در مثلث $\mathbf{ROQ}$ (اشکال در نامگذاری نقاط):** با توجه به نامگذاری و زوایای داده شده، منطقی است که فرض کنیم $\mathbf{RQ}$ یک خط است و مثلث $\mathbf{R O Q}$ را در نظر بگیریم. ($\mathbf{\hat{R} = 35^{\circ}}$, $\mathbf{\hat{Q} = 29^{\circ}}$) $${ \hat{R} + \hat{Q} + \angle ROQ = 180^{\circ} }$$ $${ 35^{\circ} + 29^{\circ} + (x + \angle QOT) = 180^{\circ} }$$ **تفسیر با فرض $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ نقاط تماس:** اگر $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ نقاط تماس باشند (که با شکل جور در نمی‌آید)، آنگاه $\mathbf{\hat{R}}$ و $\mathbf{\hat{Q}}$ هر دو $90^{\circ}$ می‌شدند. **تفسیر نهایی (بر اساس رایج‌ترین نوع سوال در این فصل):** فرض می‌کنیم مثلث $\mathbf{ROQ}$ یک مثلث است و $\mathbf{\angle ROQ}$ برابر $\mathbf{x}$ است و نقاط $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ دو نقطه‌ی خارجی هستند (اگرچه $\mathbf{RQ}$ پاره‌خط است و نه مماس). اما در شکل، $\mathbf{T}$ روی دایره نیست و $\mathbf{R}$ و $\mathbf{Q}$ روی دایره نیستند. با این تفاسیر، $\mathbf{x}$ زاویه‌ی $\mathbf{\angle ROQ}$ است. $${ x = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 29^{\circ}) }$$ $${ x = 180^{\circ} - 64^{\circ} }$$ $${ \mathbf{x = 116^{\circ}} }$$ ### ب) شکل سمت چپ 1. **خاصیت مماس:** فرض می‌کنیم $\mathbf{Q}$ نقطه‌ی تماس است. پس شعاع $\mathbf{\overline{OQ}}$ بر خط مماس $\mathbf{RTQ}$ عمود است، یعنی $\mathbf{\angle OQR = 90^{\circ}}$. 2. **محاسبه زاویه $\mathbf{\angle OQR}$:** این زاویه از دو بخش تشکیل شده است: $\mathbf{\angle OQT}$ و $\mathbf{\angle TQR}$. * $\mathbf{\angle OQT = 32^{\circ}}$ * بنابراین $\mathbf{\angle TQR}$ (زاویه‌ی $\mathbf{\hat{Q}}$ در مثلث $\mathbf{OQR}$) برابر $90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ}$. **تصحیح بر اساس اطلاعات شکل:** در این شکل، $\mathbf{T}$ نقطه‌ی تماس است. پس شعاع $\mathbf{\overline{OT}}$ بر $\mathbf{RQ}$ عمود است، یعنی $\mathbf{\angle OTR = 90^{\circ}}$. 3. **شناسایی مثلث قائم‌الزاویه:** مثلث $\mathbf{OTR}$ قائم‌الزاویه در $\mathbf{T}$ است. 4. **زاویه‌های معلوم:** $\mathbf{\angle TOQ = 69^{\circ}}$ و $\mathbf{\angle OQT = 32^{\circ}}$. (این زوایا مربوط به مثلث $\mathbf{OQT}$ هستند). * **محاسبه $\mathbf{\angle OTQ}$:** مجموع زوایای داخلی مثلث $\mathbf{OQT}$: $${ \angle OTQ + 32^{\circ} + 69^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ \angle OTQ + 101^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ \angle OTQ = 79^{\circ} }$$ 5. **محاسبه $\mathbf{x}$ در مثلث $\mathbf{OTR}$ (قائم‌الزاویه):** * $\mathbf{\angle OTR = 90^{\circ}}$ (چون $\mathbf{T}$ نقطه‌ی تماس و $\mathbf{OT}$ شعاع است). * $\mathbf{x}$ همان $\mathbf{\angle ORT}$ است. * $\mathbf{\angle TOR = x'}$ (زاویه داخلی مثلث $\mathbf{OTR}$) * $\mathbf{\angle TOQ}$ داده شده $\mathbf{69^{\circ}}$. * با توجه به نامگذاری، $\mathbf{\angle TOQ}$ باید $\mathbf{\angle ROT}$ باشد. **با فرض $\mathbf{\angle ROT = 69^{\circ}}$:** $${ \angle ORT + \angle ROT + \angle OTR = 180^{\circ} }$$ $${ x + 69^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ x + 159^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ x = 180^{\circ} - 159^{\circ} }$$ $${ \mathbf{x = 21^{\circ}} }$$ (توجه: زاویه‌ی $\mathbf{\angle OQT = 32^{\circ}}$ در این محاسبه بلااستفاده ماند که نشان می‌دهد در طرح سوال و شکل اشتباه یا اطلاعات اضافی وجود دارد. ما بر اساس خاصیت مماس بودن $\mathbf{RQ}$ در $\mathbf{T}$ (که $\mathbf{\angle OTR = 90^{\circ}}$) پاسخ را محاسبه کردیم.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 141 - تمرین 2 این تمرین نیز از خاصیت **خط مماس** و **رابطه‌ی فیثاغورس** استفاده می‌کند. در هر دو شکل، مثلث $\mathbf{OSR}$ یک مثلث **قائم‌الزاویه** است، زیرا شعاع $\mathbf{\overline{OS}}$ بر مماس $\mathbf{\overline{SR}}$ در نقطه‌ی تماس $\mathbf{S}$ عمود است ($\mathbf{\hat{S} = 90^{\circ}}$). رابطه‌ی فیثاغورس در مثلث $\mathbf{OSR}$: $${ \overline{OR}^2 = \overline{OS}^2 + \overline{SR}^2 }$$ ### الف) شکل سمت چپ 1. **اطلاعات:** * شعاع (ضلع): $\mathbf{\overline{OS} = 3}$ * مماس (ضلع): $\mathbf{\overline{SR} = 8}$ * فاصله‌ی مرکز تا نقطه (وتر): $\mathbf{\overline{OR} = a}$ (مقدار مجهول) 2. **محاسبه $\mathbf{a}$ (وتر):** $${ a^2 = 3^2 + 8^2 }$$ $${ a^2 = 9 + 64 }$$ $${ a^2 = 73 }$$ $${ \mathbf{a = \sqrt{73}} }$$ ### ب) شکل سمت راست 1. **اطلاعات:** * فاصله‌ی مرکز تا نقطه (وتر): $\mathbf{\overline{OR} = 15}$ * مماس (ضلع): $\mathbf{\overline{SR} = 12}$ * شعاع (ضلع): $\mathbf{\overline{OS} = a}$ (مقدار مجهول) 2. **محاسبه $\mathbf{a}$ (ضلع):** $${ \overline{OR}^2 = \overline{OS}^2 + \overline{SR}^2 }$$ $${ 15^2 = a^2 + 12^2 }$$ $${ 225 = a^2 + 144 }$$ $${ a^2 = 225 - 144 }$$ $${ a^2 = 81 }$$ $${ a = \sqrt{81} }$$ $${ \mathbf{a = 9} }$$ **پاسخ نهایی:** مقدار $\mathbf{a}$ در شکل سمت چپ $\mathbf{\sqrt{73}}$ و در شکل سمت راست $\mathbf{9}$ است.