حل کاردر کلاس صفحه 139 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 139 - کار در کلاس 1 سلام دانش‌آموزان باهوش! این تمرین برای تثبیت مفهوم **خط مماس** است. یادتان باشد: **خط مماس** خطی است که دایره را فقط و فقط در **یک نقطه** قطع کند (نقطه‌ی تماس). همچنین، شعاع رسم شده به نقطه‌ی تماس، بر خط مماس **عمود** است (زاویه‌ی $90^{\circ}$ می‌سازد). ### شکل سمت راست (دایره‌ی مرکز $\mathbf{O}$ با پاره‌خط $\mathbf{CE}$) * پاره‌خط $\mathbf{CE}$ دایره را در دو نقطه $\mathbf{C}$ و $\mathbf{E}$ قطع کرده است، پس $\mathbf{CE}$ یک **وتر** است (یا بخشی از یک خط قاطع). * پاره‌خط $\mathbf{OD}$ عمود بر $\mathbf{CE}$ است و فاصله‌ی مرکز تا وتر را نشان می‌دهد. **نتیجه برای شکل راست:** پاره‌خط مماس بر دایره وجود **ندارد**. ### شکل سمت چپ (دایره‌ی مرکز $\mathbf{O}$ با پاره‌خط‌های $\mathbf{MN}$ و $\mathbf{QA}$) * **پاره‌خط $\mathbf{MN}$:** این پاره‌خط دایره را در دو نقطه $\mathbf{M}$ و $\mathbf{N}$ قطع کرده، پس $\mathbf{MN}$ یک **وتر** است. * **خط شامل $\mathbf{QA}$:** این خط دایره را دقیقاً در یک نقطه (نقطه‌ی $\mathbf{B}$) قطع کرده است. علاوه بر این، شعاع $\mathbf{OB}$ بر خط $\mathbf{QA}$ عمود است (علامت $90^{\circ}$ در نقطه‌ی $\mathbf{B}$ مشاهده می‌شود). **نتیجه برای شکل چپ:** **خط $\mathbf{QA}$** (یا پاره‌خط شامل $\mathbf{AB}$ یا $\mathbf{QB}$) بر دایره مماس است. **پاسخ نهایی:** در شکل سمت چپ، پاره‌خط $\mathbf{QA}$ (یا خط شامل آن) بر دایره مماس است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 139 - کار در کلاس 2 این سوال بر اساس یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های خط مماس طرح شده است. **ویژگی خط مماس:** * اگر خطی بر دایره مماس باشد (مانند خط $\mathbf{d}$)، شعاعی که از مرکز دایره ($\mathbf{O}$) به نقطه‌ی تماس ($\mathbf{Q}$) رسم می‌شود (یعنی پاره‌خط $\mathbf{OQ}$)، بر آن خط **عمود** است. **تحلیل شکل:** * خط $\mathbf{d}$ بر دایره مماس است و $\mathbf{Q}$ نقطه‌ی تماس است. * پاره‌خط $\mathbf{OQ}$ شعاع دایره است. * پس، شعاع $\mathbf{OQ}$ بر خط $\mathbf{d}$ در نقطه‌ی $\mathbf{Q}$ عمود است. * زاویه‌ی $\hat{Q}_{۱}$ (که بین شعاع $\mathbf{OQ}$ و خط مماس $\mathbf{d}$ قرار دارد) یک زاویه‌ی $\mathbf{90^{\circ}}$ است. **نتیجه:** * زاویه‌ی $\hat{Q}_{۱}$ یک **زاویه‌ی قائمه** است. $${ \hat{Q}_{۱} = 90^{\circ} }$$ **نکته آموزشی:** این ویژگی به ما اجازه می‌دهد در مسائل بعدی، بدون داشتن درجه، زاویه‌ی بین شعاع و خط مماس را **همیشه $90^{\circ}$** در نظر بگیریم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 139 - کار در کلاس 3 این تمرین‌ها ترکیبی از خاصیت **خط مماس** و خاصیت **مجموع زوایای داخلی مثلث** است. **قاعده‌ی کلیدی:** اگر خط $\mathbf{PQ}$ بر دایره مماس باشد، پس شعاع $\mathbf{OQ}$ (که به نقطه‌ی تماس $\mathbf{Q}$ وصل شده) بر $\mathbf{PQ}$ عمود است. بنابراین $\mathbf{\hat{Q} = 90^{\circ}}$. --- ### شکل سمت چپ 1. **شناسایی مثلث:** مثلث $\mathbf{OPQ}$ یک مثلث قائم‌الزاویه است. 2. **زاویه‌ی مماس:** چون $\mathbf{PQ}$ مماس است، زاویه‌ی $\mathbf{\hat{Q}}$ برابر $90^{\circ}$ است. 3. **زاویه‌ی $\mathbf{O}$:** اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{O}}$ داده شده است: $\mathbf{63^{\circ}}$. 4. **محاسبه $\mathbf{x}$:** مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است. ($ \hat{P} + \hat{Q} + \hat{O} = 180^{\circ} $) $${ x + 90^{\circ} + 63^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ x + 153^{\circ} = 180^{\circ} }$$ $${ x = 180^{\circ} - 153^{\circ} }$$ $${ \mathbf{x = 27^{\circ}} }$$ --- ### شکل وسط 1. **شناسایی مثلث:** مثلث $\mathbf{OPQ}$ یک مثلث قائم‌الزاویه است. 2. **زاویه‌ی مماس:** چون $\mathbf{QP}$ مماس است، زاویه‌ی $\mathbf{\hat{P}}$ برابر $90^{\circ}$ است. 3. **زاویه‌ی $\mathbf{Q}$:** اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{Q}}$ داده شده است: $\mathbf{23^{\circ}}$. 4. **محاسبه $\mathbf{x}$:** مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است. ($ \hat{P} + \hat{Q} + \hat{O} = 180^{\circ} $) $${ 90^{\circ} + 23^{\circ} + x = 180^{\circ} }$$ $${ 113^{\circ} + x = 180^{\circ} }$$ $${ x = 180^{\circ} - 113^{\circ} }$$ $${ \mathbf{x = 67^{\circ}} }$$ --- ### شکل سمت راست 1. **شناسایی مثلث:** مثلث $\mathbf{OPQ}$ یک مثلث قائم‌الزاویه است. 2. **زاویه‌ی مماس:** چون $\mathbf{PQ}$ مماس است، زاویه‌ی $\mathbf{\hat{Q}}$ برابر $90^{\circ}$ است. 3. **زاویه‌ی $\mathbf{P}$:** اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{P}}$ داده شده است: $\mathbf{47^{\circ}}$. 4. **محاسبه $\mathbf{x}$:** مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است. ($ \hat{P} + \hat{Q} + \hat{O} = 180^{\circ} $) $${ 47^{\circ} + 90^{\circ} + x = 180^{\circ} }$$ $${ 137^{\circ} + x = 180^{\circ} }$$ $${ x = 180^{\circ} - 137^{\circ} }$$ $${ \mathbf{x = 43^{\circ}} }$$