حل تمرین صفحه 134 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 134 - تمرین 1 این تمرین از **اصل شمارش** برای یافتن تعداد کل حالت‌های ممکن و سپس محاسبه **احتمال** یک پیشامد خاص استفاده می‌کند. ### الف) تعداد انواع دوچرخه ما باید تعداد انتخاب‌های ممکن برای هر ویژگی دوچرخه را در هم ضرب کنیم: * **مدل:** ۲ مدل (جاده، کوهستان) * **رنگ:** ۳ رنگ (زرد، قرمز، آبی) * **اندازه:** ۲ اندازه (۲۴، ۲۶) $$تعداد \ انواع \ دوچرخه = (تعداد \ مدل) \times (تعداد \ رنگ) \times (تعداد \ اندازه)$$ $$تعداد \ انواع \ دوچرخه = 2 \times 3 \times 2 = 12$$ **۱2 نوع دوچرخه مختلف در این کارخانه تولید می‌شود.** --- ### ب) احتمال مشاهده دوچرخه کوهستان آبی ۲۶ 1. **تعداد کل حالت‌های هم شانس:** $n(S) = 12$ (از قسمت الف) 2. **حالت مطلوب (A):** دوچرخه **کوهستان** و **آبی رنگ** و **اندازه ۲۶**. * مدل: کوهستان (۱ حالت) * رنگ: آبی (۱ حالت) * اندازه: ۲۶ (۱ حالت) $$n(A) = 1 \times 1 \times 1 = 1 \text{ حالت}$$ 3. **احتمال:** $$P(A) = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌ها}} = \frac{1}{12}$$ **احتمال اینکه در این صفحه دوچرخه کوهستان آبی رنگ اندازه ۲۶ دیده شود، $\frac{1}{12}$ است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 134 - تمرین 3 این تمرین به مقایسه احتمال حدس زدن یک رمز در دو حالت با تعداد ارقام مختلف می‌پردازد و مفهوم **فضای نمونه** در رمزگذاری را نشان می‌دهد. ### الف) رمز یک رقمی 1. **تعداد کل حالت‌ها (فضای نمونه):** رمز می‌تواند هر عددی از $0$ تا $9$ باشد. $$n(S) = 10 \text{ حالت}$$ 2. **حالت مطلوب:** فقط یک رمز صحیح وجود دارد. $$n(A) = 1$$ 3. **احتمال:** $$P(\text{یک حدس درست}) = \frac{\text{تعداد رمزهای صحیح}}{\text{تعداد کل حالت‌ها}} = \frac{1}{10}$$ **احتمال اینکه با یک حدس رمز قفل را پیدا کنیم، $\frac{1}{10}$ است.** --- ### ب) رمز دو رقمی 1. **تعداد کل حالت‌ها (فضای نمونه):** رمز دارای دو رقم است. هر رقم می‌تواند $0$ تا $9$ باشد. * رقم اول: ۱۰ حالت ممکن * رقم دوم: ۱۰ حالت ممکن $$n(S_{\text{جدید}}) = 10 \times 10 = 100 \text{ حالت}$$ 2. **حالت مطلوب:** یک رمز صحیح وجود دارد. $$n(A_{\text{جدید}}) = 1$$ 3. **احتمال:** $$P(\text{یک حدس درست}) = \frac{1}{100}$$ **احتمال چه تغییری می‌کند؟** احتمال از $\frac{1}{10}$ (ده درصد) به $\frac{1}{100}$ (یک درصد) **کاهش** می‌یابد. **دلیل:** با اضافه شدن یک رقم، تعداد حالت‌های ممکن ۱۰ برابر می‌شود، بنابراین شانس حدس درست با یک بار تلاش، ۱۰ برابر کمتر می‌شود. این نشان می‌دهد که افزایش تعداد ارقام رمز، **امنیت** را افزایش می‌دهد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 134 - تمرین 4 این تمرین به بررسی **فضای نمونه** برای پرتاب دو تاس و مقایسه احتمالات پیشامدهای مختلف می‌پردازد. ### الف) رسم جدول $36$ حالت ممکن (فضای نمونه) تعداد کل حالت‌های ممکن (فضای نمونه) $n(S)$ برابر است با $6 \times 6 = 36$ حالت هم شانس. | تاس اول \ تاس دوم | **۱** | **۲** | **۳** | **۴** | **۵** | **۶** | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | (۱, ۱) | (۱, ۲) | (۱, ۳) | (۱, ۴) | **(۱, ۵)** | (۱, ۶) | | **۲** | (۲, ۱) | (۲, ۲) | (۲, ۳) | (۲, ۴) | **(۲, ۵)** | (۲, ۶) | | **۳** | (۳, ۱) | (۳, ۲) | (۳, ۳) | (۳, ۴) | **(۳, ۵)** | (۳, ۶) | | **۴** | (۴, ۱) | (۴, ۲) | (۴, ۳) | (۴, ۴) | **(۴, ۵)** | (۴, ۶) | | **۵** | **(۵, ۱)** | **(۵, ۲)** | **(۵, ۳)** | **(۵, ۴)** | **(۵, ۵)** | **(۵, ۶)** | | **۶** | (۶, ۱) | (۶, ۲) | (۶, ۳) | (۶, ۴) | **(۶, ۵)** | (۶, ۶) | --- ### ب) احتمال اینکه یکی از تاس‌ها ۳ و دیگری ۵ بیاید **پیشامد $B$:** یکی از تاس‌ها $3$ و دیگری $5$ باشد. ترتیب مهم نیست، اما چون تاس‌ها متمایز هستند (تاس اول و دوم)، دو حالت هم شانس وجود دارد: $$B = \{(3, 5), (5, 3)\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(B) = 2$ * **احتمال:** $$P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$ --- ### ج) احتمال اینکه هر دو تاس ۵ بیاید **پیشامد $C$:** هر دو تاس $5$ باشند. $$C = \{(5, 5)\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(C) = 1$ * **احتمال:** $$P(C) = \frac{1}{36}$$ --- ### د) مقایسه پاسخ قسمت‌های ب و ج و دلیل تفاوت * **مقایسه:** $P(\text{یکی } 3 \text{ و دیگری } 5) = \frac{2}{36}$ **بزرگتر** از $P(\text{هر دو } 5) = \frac{1}{36}$ است. * **دلیل تفاوت:** 1. پیشامد **"هر دو تاس ۵ باشد"** تنها شامل **یک حالت هم شانس** (۵, ۵) است. 2. پیشامد **"یکی ۳ و دیگری ۵ باشد"** شامل **دو حالت هم شانس** (۳, ۵) و (۵, ۳) است، زیرا تاس‌ها متمایز هستند (حالت‌های ممکن: تاس اول ۳، تاس دوم ۵؛ یا تاس اول ۵، تاس دوم ۳). چون حالت‌های مطلوب در قسمت (ب) دو برابر قسمت (ج) است، احتمال آن نیز دو برابر بزرگتر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 134 - تمرین 5 این تمرین به محاسبه احتمال برای پیشامد **دست کم (حداقل)** یکی رو، با استفاده از روش مستقیم و روش متمم می‌پردازد. ### گام اول: شناسایی فضای نمونه **فضای نمونه** ($S$) برای پرتاب دو سکه ($R$: رو، $P$: پشت): $$S = \{(R, R), (R, P), (P, R), (P, P)\}$$ **تعداد کل حالت‌های هم شانس:** $n(S) = 4$ --- ### روش اول: محاسبه مستقیم (پیشامد $A$) **پیشامد $A$:** **دست کم** یکی از سکه‌ها رو بیاید (یعنی یک رو، یا دو رو). $$A = \{(R, R), (R, P), (P, R)\}$$ * **تعداد حالت‌های مطلوب:** $n(A) = 3$ * **احتمال:** $$P(A) = \frac{3}{4}$$ --- ### روش دوم: استفاده از پیشامد متمم (پیشامد $A'$) **پیشامد متمم ($A'$):** پیشامد مقابل **"دست کم یکی رو"**، یعنی **"هیچ کدام رو نباشند"** (هر دو پشت باشند). $$A' = \{(\text{پشت}, \text{پشت})\}$$ * **احتمال متمم:** $P(A') = \frac{1}{4}$ * **احتمال پیشامد اصلی:** $$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ **احتمال اینکه دست کم یکی از آنها رو بیاید، $\frac{3}{4}$ است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 134 - تمرین 6 این تمرین مربوط به **اصل شمارش** و مفهوم **توان** است، جایی که در هر مرحله تعداد خروجی‌ها دو برابر می‌شود (تقسیم به دو شاخه). ### گام اول: تحلیل تعداد خروجی‌ها در هر مرحله * **شروع (قسمت ۰):** ۱ ورودی * **پس از طی ۱ قسمت:** $1 \times 2 = 2$ خروجی * **پس از طی ۲ قسمت:** $2 \times 2 = 4$ خروجی * **پس از طی ۳ قسمت:** $4 \times 2 = 8$ خروجی به طور کلی، در هر مرحله، تعداد خروجی‌ها در عدد ۲ ضرب می‌شود. --- ### گام دوم: محاسبه تعداد خروجی‌ها پس از ۵ قسمت پس از طی کردن $n$ قسمت که هر کدام دوشاخه می‌شوند، تعداد کل خروجی‌ها برابر با **$2^n$** است. * تعداد قسمت‌ها: $n = 5$ * تعداد خروجی‌ها: $2^5$ $$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$$ **تعداد خروجی‌ها پس از طی ۵ قسمت، $32$ خروجی است.** **نمایش با عدد توان دار:** $2^5$