حل تمرین صفحه 108 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 1 برای تبدیل یک عدد به صورت توان‌دار، باید آن را به **عوامل اول** تجزیه کنیم و ببینیم چند بار در خودش ضرب شده است. ### ۱. اعداد مثبت: * **$81$:** $81 = 9 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 \times 3$. * **جواب: $3^4$** (یا $9^2$) * **$1024$:** این عدد از توان‌های عدد ۲ است. * $1024 = 2 \times 512 = 2 \times 2 \times 256 = ...$ * **جواب: $2^{10}$** * **$\frac{1}{512}$:** ابتدا ۵۱۲ را به صورت توان‌دار می‌نویسیم: $512 = 8 \times 64 = 2^3 \times 2^6 = 2^9$. * حالا کسر را به صورت توان منفی یا کسری می‌نویسیم. * **جواب: $2^{-9}$** (یا $(\frac{1}{2})^9$) ### ۲. اعداد منفی: * **$-8$:** عدد ۸ از $2^3$ به دست می‌آید. چون توان (۳) فرد است، علامت منفی باید در پایه باشد. * **جواب: $(-2)^3$** * **$-\frac{125}{729}$:** هر دو عدد را به توان تبدیل می‌کنیم: * $125 = 5^3$ * $729 = 9 \times 81 = 9 \times 9^2 = (3^2)^3 = 3^6$ یا $9^3 = (3^2)^3 = 3^6$. * نکته: $729 = 9^3$ و $125 = 5^3$. * $-\frac{125}{729} = -\frac{5^3}{9^3} = -(\frac{5}{9})^3$. * چون توان ۳ فرد است، می‌توان منفی را به داخل پرانتز برد. * **جواب: $(-\frac{5}{9})^3$** * **$-\frac{1}{32}$:** $32 = 2^5$. * $-\frac{1}{32} = -\frac{1}{2^5} = -(\frac{1}{2})^5$. * چون توان ۵ فرد است، می‌توان منفی را به داخل پرانتز برد. * **جواب: $(-\frac{1}{2})^5$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 2 برای تعیین درستی یا نادرستی هر تساوی، از قوانین توان‌ها استفاده می‌کنیم: --- 1. **$(\frac{-5}{2})^2 = -\frac{25}{4}$** * **نادرست.** * **توضیح:** توان ۲ (زوج) باعث می‌شود علامت منفی از بین برود. $(\frac{-5}{2})^2 = (\frac{-5}{2}) \times (\frac{-5}{2}) = +\frac{25}{4}$. سمت راست منفی است. 2. **$(\frac{5}{11})^0 = 0$** * **نادرست.** * **توضیح:** طبق قانون **توان صفر**، هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر **۱** است. $(\frac{5}{11})^0 = 1$. 3. **$[ (\frac{2}{3})^5 ]^3 = (\frac{2}{3})^8$** * **نادرست.** * **توضیح:** طبق قانون **توانِ توان**، توان‌ها باید در هم ضرب شوند: $5 \times 3 = 15$. پس حاصل $[ (\frac{2}{3})^5 ]^3 = (\frac{2}{3})^{15}$ است، نه $(\frac{2}{3})^8$. 4. **$(-\frac{2}{7})^4 \times (\frac{3}{5})^0 = (-\frac{2}{7})^4$** * **درست.** * **توضیح:** ابتدا $(\frac{3}{5})^0 = 1$. سپس $(-\frac{2}{7})^4 \times 1 = (-\frac{2}{7})^4$. 5. **$10^3 \times 10^9 = 10^{12}$** * **درست.** * **توضیح:** طبق قانون **ضرب با پایه‌های مساوی**، توان‌ها جمع می‌شوند: $3 + 9 = 12$. 6. **$(-2)^3 \times (-2) = 16$** * **نادرست.** * **توضیح:** ابتدا توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم: $(-2)^3 \times (-2)^1 = (-2)^{3+1} = (-2)^4$. * حاصل $(-2)^4 = 16$. پس تساوی عددی برقرار است. * **اگر منظور سوال، تساوی $16$ بود، درست است. اما اگر منظور این بود که $(-2)^3 \times (-2)$ را به صورت توان‌دار بنویسیم و با $16$ مقایسه کنیم، از نظر شکل نوشتاری کمی ابهام دارد. با توجه به محاسبه $16 = 16$، تساوی درست است.** (فرض بر درستی محاسبه است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 3 این تمرین شامل استفاده از قوانین توان صفر، ضرب و تقسیم عبارت‌های توان‌دار است. --- 1. **$(\frac{1}{3})^4 \times 3^0$** * قانون توان صفر: $3^0 = 1$. * $(\frac{1}{3})^4 \times 1 = (\frac{1}{3})^4$ * همچنین می‌توان نوشت: $(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. * **جواب: $(\frac{1}{3})^4$** (یا $3^{-4}$) 2. **$$\frac{5^6 \times 6^3}{5^4 \times 6^5} =$$** * عبارت‌ها را بر اساس پایه جداگانه ساده می‌کنیم (قانون تقسیم با پایه‌های مساوی: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): * **پایه‌های ۵:** $\frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2$ * **پایه‌های ۶:** $\frac{6^3}{6^5} = 6^{3-5} = 6^{-2}$ (یا $\frac{1}{6^{5-3}} = \frac{1}{6^2}$) * **جواب: $5^2 \times 6^{-2}$** (یا $\frac{5^2}{6^2} = (\frac{5}{6})^2$) 3. **$$\frac{x^7 y^4}{x^5 x y^2} =$$** * ابتدا مخرج را ساده می‌کنیم: $x^5 \times x \times y^2 = (x^{5+1}) y^2 = x^6 y^2$. * $$\frac{x^7 y^4}{x^6 y^2}$$ * عبارت‌ها را بر اساس پایه جداگانه ساده می‌کنیم: * **پایه‌های $x$:** $\frac{x^7}{x^6} = x^{7-6} = x^1 = x$ * **پایه‌های $y$:** $\frac{y^4}{y^2} = y^{4-2} = y^2$ * **جواب: $x y^2$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 4 این تمرین تبدیل پایه و استفاده از **قانون توانِ توان** است. ### گام ۱: تبدیل پایه ۹ به پایه ۳ چون $9 = 3^2$، جای خالی اول را پر می‌کنیم: $$9^5 = (3^{\mathbf{2}})^5$$ * **جواب جای خالی اول: $2$** ### گام ۲: استفاده از قانون توانِ توان توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $2 \times 5 = 10$. $$(3^2)^5 = 3^{\mathbf{10}}$$ * **جواب جای خالی دوم: $10$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 5 برای مرتب کردن این اعداد، ابتدا باید مقدار عددی هر یک را محاسبه کنیم: --- 1. **$6^2$:** $6 \times 6 = 36$ 2. **$1^3$:** $1 \times 1 \times 1 = 1$ 3. **$4^3$:** $4 \times 4 \times 4 = 64$ 4. **$(-1)^5$:** توان فرد برای پایه منفی، حاصل منفی است: $(-1)^5 = -1$ 5. **$(\frac{1}{2})^0$:** هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر ۱ است: $(\frac{1}{2})^0 = 1$ 6. **$(\frac{1}{2})^5$:** $\frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$ (یک کسر کوچک مثبت) ### لیست مقادیر: $$36, 1, 64, -1, 1, \frac{1}{32}$$ ### مقایسه و مرتب‌سازی از کوچک‌ترین به بزرگ‌ترین: 1. **$-1$** (کوچک‌ترین، تنها عدد منفی) 2. **$\frac{1}{32}$** (تنها کسر مثبت کوچکتر از ۱) 3. **$1$** (دو بار تکرار شده) 4. **$36$** 5. **$64$** (بزرگ‌ترین) ### ترتیب نهایی (از چپ به راست): $$\mathbf{(-1)^5, (\frac{1}{2})^5, 1^3, (\frac{1}{2})^0, 6^2, 4^3}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 6 این تمرین مربوط به مفهوم **ریشه‌یابی و توان** است. یادت باشد که **ریشه دوم (جذر) و توان دوم، عملیات معکوس یکدیگر هستند**. --- 1. **$(\sqrt{5})^2 = 25$** * **نادرست.** * **توضیح:** توان ۲ عمل ریشه‌گیری را خنثی می‌کند. $(\sqrt{5})^2 = 5$. 2. **$(\sqrt{5})^2 = 5$** * **درست.** * **توضیح:** به طور کلی، $(\sqrt{a})^2 = a$ (به شرطی که $a \ge 0$ باشد). 3. **$(\sqrt{5})^2 = (-\sqrt{5})^2$** * **درست.** * **توضیح:** هر دو طرف تساوی برابر ۵ هستند: $(\sqrt{5})^2 = 5$ و $(-\sqrt{5})^2 = (-\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = +\sqrt{5 \times 5} = 5$. 4. **$+\sqrt{5} = -\sqrt{5}$** * **نادرست.** * **توضیح:** $\sqrt{5}$ یک عدد مثبت است (تقریباً ۲/۲۳) و $-\sqrt{5}$ یک عدد منفی است. تنها حالتی که این دو مساوی باشند، زمانی است که $\sqrt{a} = 0$ باشد. $\sqrt{5} \ne -\sqrt{5}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 109 - تمرین 8 برای حل این سوال باید از مفهوم **تقسیم** و تبدیل پایه‌ها به **کوچکترین عامل اول** استفاده کنیم. ### الف) نصف $2^9$ "نصف" به معنی تقسیم بر ۲ (یا ضرب در $\frac{1}{2}$) است. $2 = 2^1$. $$\text{نصف } 2^9 = \frac{2^9}{2} = \frac{2^9}{2^1}$$ * قانون تقسیم با پایه‌های مساوی: $2^{9-1} = 2^8$. **جواب: $2^8$** ### ب) ربع $4^7$ "ربع" به معنی تقسیم بر ۴ (یا ضرب در $\frac{1}{4}$) است. $4 = 2^2$. $$\text{ربع } 4^7 = \frac{4^7}{4} = \frac{4^7}{4^1}$$ * قانون تقسیم با پایه‌های مساوی: $4^{7-1} = 4^6$. * حالا باید پایه ۴ را به پایه ۲ تبدیل کنیم، چون $4 = 2^2$: $$4^6 = (2^2)^6$$ * قانون توانِ توان: $2^{2 \times 6} = 2^{12}$. **جواب: $4^6$ یا $2^{12}$**