ریاضی هشتم صفحه 103 - فعالیت 3
حاصل عبارت $2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3$ را به دو روش زیر میتوان نشان داد.
$2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12}$
$2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3 = (2^3)^4$
با مقایسه تساویهای بالا، آیا میتوان نتیجه گرفت: $(2^3)^4 = 2^{12}$
اکنون، درستی تساویهای زیر را به هر روشی که میتوانید بررسی کنید.
$(7^2)^5 = 7^{10}$
$[ (\frac{1}{2})^4 ]^3 = (\frac{1}{2})^{12}$
$[ (-2)^7 ]^3 = (-2)^{21}$
$(a^n)^m = a^{\text{$\bigcirc$}}$
آنچه را فراگرفتهاید به صورت قانون کلی بیان کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 103 - فعالیت 3
سلام دوست خوبم! این فعالیت به کشف یکی از **مهمترین قوانین توانها** یعنی **قانون توانِ توان** اختصاص دارد.
### ۱. مقایسه تساویهای اولیه
* **روش اول:** ضرب با پایههای مساوی: $2^3 \times 2^3 \times 2^3 \times 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12}$
* **روش دوم:** نمایش تکرار ضرب به صورت توان: $(2^3)^4$
بله، با مقایسه این دو نتیجه، میتوان نتیجه گرفت که:
$$\mathbf{(2^3)^4 = 2^{12}}$$
### ۲. بررسی درستی تساویهای دیگر
* **$(7^2)^5 = 7^{10}$**
* **بررسی:** $(7^2)^5$ یعنی $7^2$ پنج بار در خودش ضرب شده است: $7^2 \times 7^2 \times 7^2 \times 7^2 \times 7^2$.
* با استفاده از قانون ضرب با پایههای مساوی، توانها را جمع میکنیم: $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$.
* پس: **$7^{10}$**. تساوی **درست** است.
* **$[ (\frac{1}{2})^4 ]^3 = (\frac{1}{2})^{12}$**
* **بررسی:** $[ (\frac{1}{2})^4 ]^3$ یعنی $(\frac{1}{2})^4$ سه بار در خودش ضرب شده است.
* توانها را جمع میکنیم: $4 + 4 + 4 = 12$.
* پس: **$(\frac{1}{2})^{12}$**. تساوی **درست** است.
* **$[ (-2)^7 ]^3 = (-2)^{21}$**
* **بررسی:** $[ (-2)^7 ]^3$ یعنی $(-2)^7$ سه بار در خودش ضرب شده است.
* توانها را جمع میکنیم: $7 + 7 + 7 = 21$.
* پس: **$(-2)^{21}$**. تساوی **درست** است.
### ۳. قانون کلی و پر کردن جای خالی
همانطور که دیدی، در هر حالت، برای محاسبه **توانِ یک عدد تواندار**، کافی است **توانها را در هم ضرب کنیم**.
* **$(a^n)^m = a^{\text{$\bigcirc$}}$**
* **جواب جای خالی: $\mathbf{n \times m}$ یا $\mathbf{nm}$**
### بیان قانون کلی
**قانون توانِ توان:**
برای به دست آوردن حاصل **توان یک عدد تواندار**، پایه را ثابت نگه داشته و **توانهای بیرونی و درونی** را در یکدیگر ضرب میکنیم.
به زبان ریاضی، اگر $a$ یک عدد حقیقی، و $m$ و $n$ اعداد طبیعی باشند، آنگاه:
$$\mathbf{(a^n)^m = a^{n \times m} = a^{nm}}$$
