حل تمرین صفحه 120 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 120 - تمرین 1 این تمرین به شما کمک می‌کند تا مفهوم سه حالت اصلی احتمال (غیرممکن، مساوی، حتمی) را با مثال‌های مشخص درک کنید. ### الف) اتفاقی که احتمال رخ دادن آن صفر باشد ($$P = 0$$): * **توضیح:** این پیشامد، یک **پیشامد غیرممکن** است؛ یعنی هیچ حالت مطلوبی وجود ندارد که شرایط خواسته شده را برآورده کند. * **مثال:** * انداختن یک تاس و آمدن **عدد ۷** (یا عددی بزرگتر از ۶). * انداختن یک سکه و آمدن **لبه**. * بیرون آوردن مهره **قرمز** از کیسه‌ای که **فقط مهره‌های سبز** دارد. ### ب) اتفاقی که احتمال رخ دادن آن $\frac{1}{2}$ باشد ($$P = \frac{1}{2}$$): * **توضیح:** این پیشامد، یک **پیشامد مساوی** است؛ یعنی تعداد حالت‌های مطلوب دقیقاً نصف تعداد کل حالت‌های ممکن است. * **مثال:** * انداختن یک سکه و آمدن **رو** (یا پشت). * انداختن یک تاس و آمدن **عدد زوج** (۳ حالت مطلوب از ۶ حالت کل). $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ * چرخاندن عقربه‌ای که به **دو قسمت مساوی** (مثل سبز و آبی) تقسیم شده و ایستادن روی **یک رنگ خاص**. ### ج) اتفاقی که احتمال رخ دادن آن یک باشد ($$P = 1$$): * **توضیح:** این پیشامد، یک **پیشامد حتمی** است؛ یعنی تمام حالت‌های ممکن، پیشامد مطلوب ما را شامل می‌شوند. * **مثال:** * انداختن یک تاس و آمدن **عددی طبیعی**. * انداختن یک تاس و آمدن **عددی کوچک‌تر از ۱۰**. * بیرون آوردن مهره **سبز** از کیسه‌ای که **فقط مهره‌های سبز** دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 120 - تمرین 2 برای مشخص کردن احتمال روی پاره‌خط، ابتدا باید **احتمال هر پیشامد** را به صورت کسر و سپس اعشاری محاسبه کنیم. پاره‌خط احتمال از $$0$$ (غیرممکن) تا $$1$$ (حتمی) درجه‌بندی شده است. ### 🎲 تحلیل حالت‌های تاس: * **تعداد کل حالت‌های ممکن:** ۶ حالت ($$1, 2, 3, 4, 5, 6$$). **الف) تاس می‌اندازیم، عدد ۹ بیاید.** * **حالت‌های مطلوب:** ۰ حالت (عدد ۹ در تاس معمولی وجود ندارد). * **احتمال:** $$\frac{0}{6} = 0$$ * **محل روی پاره‌خط:** نقطه روی **$$0$$**. **ب) تاس می‌اندازیم، عدد ۶ بیاید.** * **حالت‌های مطلوب:** ۱ حالت (فقط عدد ۶). * **احتمال:** $$\frac{1}{6}$$ * **محل روی پاره‌خط:** یک ششم پاره‌خط (نقطه نزدیک به $$0$$). **ج) تاس می‌اندازیم، عدد زوج بیاید.** * **حالت‌های مطلوب:** ۳ حالت ($$2, 4, 6$$). * **احتمال:** $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ (یا $$0/5$$) * **محل روی پاره‌خط:** دقیقاً در **وسط** پاره‌خط ($$0/5$$). **د) تاس می‌اندازیم، عددی کوچک‌تر از ۷ بیاید.** * **حالت‌های مطلوب:** ۶ حالت ($$1, 2, 3, 4, 5, 6$$). * **احتمال:** $$\frac{6}{6} = 1$$ * **محل روی پاره‌خط:** نقطه روی **$$1$$**. **توجه:** پاره‌خط‌ها به طور معمول به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده‌اند. بنابراین: $\frac{1}{6} \approx 0/16$ (کمی بعد از اولین خط کوچک).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 120 - تمرین 3 برای محاسبه احتمال، باید ابتدا کل حالت‌های ممکن (کل سطح دایره) و سپس تعداد حالت‌های مطلوب (مساحت بخش قرمز) را در نظر بگیریم. ### 🎯 تحلیل اجزای چرخاننده: 1. **کل حالت‌های ممکن:** دایره کامل، که برابر با $$1$$ است (یا $$100\%$$). 2. **بخش‌های مساوی:** فرض می‌کنیم هر ۴ رنگ اصلی در مجموع مساحت کل دایره را تشکیل داده‌اند. از روی شکل: * بخش **آبی** نیمی از دایره است (احتمال: $$\frac{1}{2}$$). * نیمه دیگر به سه بخش تقسیم شده است: **قرمز**، **نارنجی** و بخش **خالی/نامشخص** (سفید در تصویر). ### 📏 محاسبه احتمالات: از روی تصویر، به نظر می‌رسد: * مساحت **آبی**: $$\frac{1}{2}$$ دایره. * مساحت **بخش‌های باقی مانده**: $$\frac{1}{2}$$ دایره. اگر نیمه باقیمانده (بخش $$\frac{1}{2}$$) به سه قسمت مساوی (قرمز، نارنجی و سفید) تقسیم شده باشد، احتمال هر یک از آن‌ها برابر است با: $$\frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$$ * **حالت مطلوب (قرمز):** مساحت بخش قرمز $$\frac{1}{6}$$ کل مساحت دایره است. * **احتمال ایستادن روی قرمز:** $$\frac{1}{6}$$ **پاسخ:** احتمال ایستادن عقربه روی رنگ قرمز برابر است با **$$\frac{1}{6}$$** (با فرض اینکه بخش آبی $$\frac{1}{2}$$ و سه بخش دیگر مجموعاً $$\frac{1}{2}$$ و با هم مساوی هستند).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 120 - تمرین 4 این تمرین به مقایسه احتمال وقوع یک پیشامد در فضای نمونه‌های (تعداد کل حالت‌های ممکن) مختلف می‌پردازد. ### ⚖️ محاسبه احتمال برای هر کیسه: در هر سه کیسه، **تعداد حالت‌های مطلوب** (مهره سیاه) برابر با **۱** است. * **کیسه اول (۱۰ مهره):** * تعداد کل مهره‌ها: $$10$$ * احتمال بیرون آمدن سیاه: $$\frac{1}{10}$$ ($$0/1$$) * **کیسه دوم (۱۰۰ مهره):** * تعداد کل مهره‌ها: $$100$$ * احتمال بیرون آمدن سیاه: $$\frac{1}{100}$$ ($$0/01$$) * **کیسه سوم (۱۰۰۰ مهره):** * تعداد کل مهره‌ها: $$1000$$ * احتمال بیرون آمدن سیاه: $$\frac{1}{1000}$$ ($$0/001$$) ### 🔍 مقایسه احتمال‌ها: $$\frac{1}{10} > \frac{1}{100} > \frac{1}{1000}$$ **پاسخ:** احتمال بیرون آمدن مهره سیاه از **کیسه اول (با ۱۰ مهره)** بیشتر است. **چرا؟** * **احتمال** با **کوچک شدن مخرج کسر** افزایش می‌یابد. از آنجایی که تعداد مهره سیاه در هر سه کیسه یکسان (۱) است، هرچه **تعداد کل مهره‌ها (مخرج کسر)** **کمتر** باشد، شانس ما برای بیرون آوردن مهره سیاه **بیشتر** خواهد بود. * در کیسه اول، مهره سیاه از هر ۱۰ مهره یکی است، اما در کیسه سوم از هر ۱۰۰۰ مهره یکی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 120 - تمرین 5 برای مقایسه احتمال وقوع دو پیشامد، باید احتمال هر یک را به صورت کسر $$\frac{\text{تعداد مطلوب}}{\text{تعداد کل}}$$ محاسبه کنیم و سپس کسرها را مقایسه کنیم. کل حالت‌های ممکن در انداختن تاس، ۶ است. ### الف) تاس ۱ یا ۲ بیاید **◯** تاس ۳ بیاید: * **پیشامد اول (۱ یا ۲):** * حالت‌های مطلوب: $$1, 2$$ (۲ حالت) * احتمال: $$\frac{2}{6}$$ * **پیشامد دوم (۳):** * حالت‌های مطلوب: $$3$$ (۱ حالت) * احتمال: $$\frac{1}{6}$$ * **مقایسه:** $$\frac{2}{6} \quad \gt \quad \frac{1}{6}$$ **پاسخ:** تاس ۱ یا ۲ بیاید **$$\gt$$** تاس ۳ بیاید. ### ب) تاس عددی کمتر از ۴ بیاید **◯** تاس ۴ یا ۵ بیاید: * **پیشامد اول (کمتر از ۴):** * حالت‌های مطلوب: $$1, 2, 3$$ (۳ حالت) * احتمال: $$\frac{3}{6}$$ * **پیشامد دوم (۴ یا ۵):** * حالت‌های مطلوب: $$4, 5$$ (۲ حالت) * احتمال: $$\frac{2}{6}$$ * **مقایسه:** $$\frac{3}{6} \quad \gt \quad \frac{2}{6}$$ **پاسخ:** تاس عددی کمتر از ۴ بیاید **$$\gt$$** تاس ۴ یا ۵ بیاید.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 120 - تمرین 6 این تمرین به مفهوم احتمال در مورد **مساحت (احتمال هندسی)** می‌پردازد. از آنجایی که پرتاب تیر **بدون هدف‌گیری** است، احتمال خوردن تیر به یک رنگ خاص برابر است با نسبت مساحت آن رنگ به مساحت کل هدف. ### 🎯 تحلیل هدف‌ها: هر دو هدف (دایره‌ها) به **چهار قسمت مساوی** تقسیم شده‌اند: 1. **هدف سمت چپ:** مساحت بخش‌های قرمز و آبی برابر است. * قرمز: ۲ قسمت * آبی: ۲ قسمت * کل قسمت‌ها: ۴ قسمت * احتمال خوردن به قرمز: $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 2. **هدف سمت راست:** مساحت بخش‌های قرمز و آبی برابر است. * قرمز: ۲ قسمت * آبی: ۲ قسمت * کل قسمت‌ها: ۴ قسمت * احتمال خوردن به قرمز: $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ ### ⚖️ مقایسه احتمال‌ها: $$ \text{احتمال هدف چپ} (\frac{1}{2}) \quad = \quad \text{احتمال هدف راست} (\frac{1}{2}) $$ **پاسخ:** احتمال خوردن تیر به رنگ قرمز در **هیچ‌کدام** از هدف‌ها بیشتر نیست؛ بلکه **احتمال در هر دو هدف برابر است**. **چرا؟** * در هر دو هدف، مساحت کلی به **چهار قسمت مساوی** تقسیم شده است. * در هر دو هدف، **مسـاحت قسمت‌های قرمز** دقیقاً **نصف** مساحت کل دایره است (دو قسمت از چهار قسمت). * از آنجایی که شانس خوردن به هر قسمت کوچک مساوی است، احتمال خوردن به قرمز در هر دو مورد برابر با **$$\frac{1}{2}$$** است.