جواب کاردرکلاس صفحه 119 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 119 - تمرین 1 **احتمال وقوع یک پیشامد** (Event) در ریاضی با یک کسر بیان می‌شود. این کسر با فرمول زیر تعریف می‌شود: $$ \text{احتمال} = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}} $$ * **مخرج کسر:** همیشه **تعداد کل حالت‌های ممکن و هم‌شانس** است. * **صورت کسر:** همیشه **تعداد حالت‌هایی که پیشامد مورد نظر ما را برآورده می‌کنند (حالت‌های مطلوب)** است. ### 🎲 تحلیل حالت‌های تاس: * **تعداد کل حالت‌های ممکن:** $$1, 2, 3, 4, 5, 6$$ (۶ حالت) **الف) تاس می‌اندازیم، عددی زوج بیاید.** * **حالت‌های مطلوب (زوج):** $$2, 4, 6$$ (۳ حالت) * **احتمال:** $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ **ب) تاس می‌اندازیم، عددی بخش‌پذیر بر ۳ بیاید.** * **حالت‌های مطلوب (بخش‌پذیر بر ۳):** $$3, 6$$ (۲ حالت) * **احتمال:** $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ ### 🎯 تحلیل حالت‌های چرخاننده: * **تعداد کل حالت‌های ممکن:** دایره به ۴ قسمت **مساوی** تقسیم شده است (۴ حالت) **ج) عقربه چرخانده مقابل روی سبز قرار بگیرد.** * **حالت‌های مطلوب (سبز):** ۱ بخش سبز (۱ حالت) * **احتمال:** $$\frac{1}{4}$$ **د) عقربه چرخانده مقابل روی قرمز قرار بگیرد.** * **حالت‌های مطلوب (قرمز):** ۲ بخش قرمز (۲ حالت) * **احتمال:** $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ **توضیح صورت و مخرج:** در تمام موارد، **مخرج کسر** برابر با **تعداد کل قسمت‌های مساوی** یا **تعداد کل نتایج ممکن** است (در تاس ۶ و در چرخاننده ۴). **صورت کسر** برابر با **تعداد قسمت‌ها یا نتایجی** است که شرایط خواسته شده در سؤال را دارند (مثلاً ۳ برای زوج بودن یا ۲ برای قرمز بودن).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 119 - تمرین 2 این سؤال به شما کمک می‌کند تا مفهوم **بُرد احتمال** (Range of Probability) را درک کنید. احتمال یک پیشامد همیشه بین $$0$$ و $$1$$ است (یا $$0\%$$ تا $$100\%$$). ### 📝 دلیل محدود بودن احتمال بین ۰ و ۱: همانطور که می‌دانیم، احتمال از فرمول زیر محاسبه می‌شود: $$ \text{احتمال} = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های ممکن}} $$ 1. **چرا احتمال نمی‌تواند منفی باشد؟** * **تعداد حالت‌های مطلوب** و **تعداد کل حالت‌های ممکن** هر دو **عدد طبیعی یا صفر** هستند (تعداد هیچ‌گاه منفی نیست). بنابراین، حاصل تقسیم دو عدد مثبت (یا صفر) نمی‌تواند منفی باشد. 2. **چرا احتمال نمی‌تواند بیشتر از ۱ باشد؟** * **تعداد حالت‌های مطلوب** همیشه **کوچک‌تر یا مساوی** **تعداد کل حالت‌های ممکن** است. نمی‌شود تعداد حالت‌هایی که ما می‌خواهیم، از کل حالت‌های موجود بیشتر باشد! * بنابراین، **صورت کسر** همواره **کوچک‌تر یا مساوی مخرج کسر** است، و در نتیجه حاصل تقسیم، حداکثر $$1$$ خواهد بود. ### 🎯 حالت‌های حدی: * **وقتی احتمال برابر با ۰ است (غیرممکن):** * این یعنی **صورت کسر صفر است**. **تعداد حالت‌های مطلوب صفر** است (یعنی پیشامد هرگز اتفاق نمی‌افتد). مثال: انداختن تاس و آمدن عدد بزرگتر از ۶. * **وقتی احتمال برابر با ۱ است (حتمی):** * این یعنی **صورت کسر با مخرج برابر است**. **تعداد حالت‌های مطلوب برابر با تعداد کل حالت‌های ممکن** است (یعنی پیشامد حتماً رخ می‌دهد). مثال: انداختن تاس و آمدن عددی کوچکتر از ۷. * **وقتی احتمال بین ۰ و ۱ است (ممکن):** * این یعنی **تعداد حالت‌های مطلوب، عددی بین صفر و کل حالات است** (پیشامد ممکن است رخ دهد یا ندهد).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 119 - تمرین 3 این تمرین به شما کمک می‌کند تا دو مفهوم نهایی در احتمال، یعنی **پیشامد غیرممکن** و **پیشامد حتمی** را به صورت دقیق تعریف کنید. ### الف) صفر بودن احتمال به چه معناست؟ * **معنا:** صفر بودن احتمال یعنی آن پیشامد **غیرممکن** (Impossible) است. * **توضیح:** این بدان معناست که در مجموعه **کل حالت‌های ممکن** برای آن آزمایش، **هیچ حالتی** وجود ندارد که پیشامد مورد نظر ما را برآورده کند. به عبارت ریاضی، **تعداد حالت‌های مطلوب، صفر است**. * **مثال:** احتمال اینکه در پرتاب یک تاس معمولی، عدد ۸ بیاید، برابر با صفر است ($$\frac{0}{6} = 0$$). ### ب) یک بودن احتمال به چه معناست؟ * **معنا:** یک بودن احتمال (یا ۱۰۰%) یعنی آن پیشامد **حتمی** (Certain) است. * **توضیح:** این بدان معناست که **همه حالت‌های ممکن** برای آن آزمایش، پیشامد مورد نظر ما را برآورده می‌کنند. به عبارت ریاضی، **تعداد حالت‌های مطلوب با تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است**. * **مثال:** احتمال اینکه در پرتاب یک تاس معمولی، عددی کوچک‌تر از ۱۰ بیاید، برابر با یک است ($$\frac{6}{6} = 1$$).