جواب تمرین صفحه 67 ریاضی هشتم

برای حل این معادلات که شامل کسر هستند، از روش ضرب طرفین در کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م) مخرج‌ها استفاده می‌کنیم تا مخرج‌ها را از بین ببریم. - $ \frac{۵}{۱۲}x - \frac{۷}{۱۸} = ۲ $ (ک.م.م ۱۲ و ۱۸ برابر با ۳۶ است) $ ۳۶(\frac{۵}{۱۲}x) - ۳۶(\frac{۷}{۱۸}) = ۳۶(۲) \implies ۱۵x - ۱۴ = ۷۲ \implies ۱۵x = ۸۶ \implies x = \frac{۸۶}{۱۵} $ - $ -\frac{۳}{۸}x + ۵ = \frac{۱}{۶} $ (ک.م.م ۸ و ۶ برابر با ۲۴ است) $ ۲۴(-\frac{۳}{۸}x) + ۲۴(۵) = ۲۴(\frac{۱}{۶}) \implies -۹x + ۱۲۰ = ۴ \implies -۹x = -۱۱۶ \implies x = \frac{۱۱۶}{۹} $ - $ ۲x - \frac{۲}{۳} = ۵x + ۳ $ $ ۲x - ۵x = ۳ + \frac{۲}{۳} \implies -۳x = \frac{۹}{۳} + \frac{۲}{۳} \implies -۳x = \frac{۱۱}{۳} \implies x = -\frac{۱۱}{۹} $ - $ ۴x + \frac{۲}{۷} = \frac{۳}{۲}x $ $ ۴x - \frac{۳}{۲}x = -\frac{۲}{۷} \implies \frac{۸x-۳x}{۲} = -\frac{۲}{۷} \implies \frac{۵}{۲}x = -\frac{۲}{۷} \implies x = -\frac{۴}{۳۵} $ - $ \frac{۱}{۲} - \frac{۲x-۱}{۴} = \frac{۳}{۴} $ (ک.م.م ۴ است) $ ۴(\frac{۱}{۲}) - ۴(\frac{۲x-۱}{۴}) = ۴(\frac{۳}{۴}) \implies ۲ - (۲x-۱) = ۳ \implies ۲ - ۲x + ۱ = ۳ \implies ۳ - ۲x = ۳ \implies -۲x = ۰ \implies x=۰ $ - $ ۱ - \frac{x+۱}{۲} = \frac{۱}{۳} $ (ک.م.م ۶ است) $ ۶(۱) - ۶(\frac{x+۱}{۲}) = ۶(\frac{۱}{۳}) \implies ۶ - ۳(x+۱) = ۲ \implies ۶ - ۳x - ۳ = ۲ \implies ۳ - ۳x = ۲ \implies -۳x = -۱ \implies x = \frac{۱}{۳} $

برای حل این مسئله، از فرمول محیط مستطیل استفاده می‌کنیم. ۱. **فرمول محیط:** $ P = ۲(l+w) $ که در آن $P$ محیط، $l$ طول و $w$ عرض است. ۲. **مقادیر معلوم:** $ P=۲۴ $ سانتی‌متر و $ w=۵ $ سانتی‌متر. ۳. **تشکیل معادله:** مقادیر را در فرمول جای‌گذاری می‌کنیم: $ ۲۴ = ۲(l+۵) $ ۴. **حل معادله:** $ ۱۲ = l+۵ $ (دو طرف را بر ۲ تقسیم می‌کنیم) $ l = ۱۲ - ۵ = ۷ $ طول این مستطیل **۷ سانتی‌متر** است.

برای حل این مسئله، عبارت کلامی را به یک معادله جبری تبدیل می‌کنیم. ۱. **تعریف متغیر:** فرض کنیم عدد مورد نظر $x$ باشد. ۲. **تبدیل به معادله:** - «هفت برابر عددی»: $۷x$ - «به اضافۀ ۴»: $۷x+۴$ - «مساوی ۵۸ است»: $۷x+۴ = ۵۸$ ۳. **حل معادله:** $ ۷x = ۵۸ - ۴ $ $ ۷x = ۵۴ $ $ x = \frac{۵۴}{۷} $ آن عدد برابر با **$ \frac{۵۴}{۷} $** است.

برای حل این مسئله، اعداد متوالی را با استفاده از یک متغیر تعریف کرده و معادله تشکیل می‌دهیم. ۱. **تعریف متغیرها:** - کوچک‌ترین عدد: $x$ - عدد دوم: $x+۱$ - عدد سوم: $x+۲$ ۲. **تشکیل معادله:** مجموع این سه عدد برابر با ۲۷ است. $ x + (x+۱) + (x+۲) = ۲۷ $ ۳. **حل معادله:** $ ۳x + ۳ = ۲۷ $ $ ۳x = ۲۷ - ۳ = ۲۴ $ $ x = \frac{۲۴}{۳} = ۸ $ کوچک‌ترین عدد **۸** است. (اعداد عبارتند از ۸، ۹ و ۱۰)

این مسئله را با تبدیل عبارت کلامی به معادله جبری حل می‌کنیم. ۱. **تعریف متغیر:** عدد مورد نظر را $x$ می‌نامیم. ۲. **تبدیل به معادله:** - «پنج برابر عددی»: $۵x$ - «۳ تا کم کردیم»: $۵x-۳$ - «عدد ۱۷ به دست آمد»: $۵x-۳ = ۱۷$ ۳. **حل معادله:** $ ۵x = ۱۷ + ۳ $ $ ۵x = ۲۰ $ $ x = \frac{۲۰}{۵} = ۴ $ آن عدد **۴** است.

برای یافتن پاسخ، ابتدا مسئله را به یک معادله جبری تبدیل می‌کنیم. ۱. **تشکیل معادله:** فرض کنیم عدد مورد نظر $x$ باشد. $ x^۲ + x = ۴۲ $ ۲. **بررسی گزینه‌ها:** حالا هر یک از گزینه‌ها را در معادله امتحان می‌کنیم تا ببینیم کدام یک تساوی را برقرار می‌کند. - الف) $x=۴۲ \implies (۴۲)^۲ + ۴۲ \neq ۴۲$ - ب) $x=۱۴ \implies (۱۴)^۲ + ۱۴ \neq ۴۲$ - **ج) $x=۶ \implies (۶)^۲ + ۶ = ۳۶ + ۶ = ۴۲$ (صحیح است)** - **د) $x=-۷ \implies (-۷)^۲ + (-۷) = ۴۹ - ۷ = ۴۲$ (صحیح است)** - ه) $x=-۵ \implies (-۵)^۲ + (-۵) = ۲۵ - ۵ = ۲۰ \neq ۴۲$ دو گزینه **ج ($۶$)** و **د ($-۷$)** هر دو پاسخ‌های صحیح این معادله هستند.

این مسئله را با تشکیل یک معادله جبری حل می‌کنیم. ۱. **تعریف متغیر:** فرض کنیم تعداد سال‌های مورد نظر $x$ باشد. ۲. **نوشتن سن‌ها پس از $x$ سال:** - سن پدر: $۴۵+x$ - سن فرزند اول: $۹+x$ - سن فرزند دوم: $۱۴+x$ - مجموع سن فرزندان: $(۹+x) + (۱۴+x) = ۲۳+۲x$ ۳. **تشکیل معادله:** سن پدر را با مجموع سن فرزندان برابر قرار می‌دهیم. $ ۴۵+x = ۲۳+۲x $ ۴. **حل معادله:** $ ۴۵ - ۲۳ = ۲x - x $ $ ۲۲ = x $ پس از **۲۲ سال** سن پدر با مجموع سن فرزندانش برابر می‌شود.

برای حل این مسئله، از فرمول فیزیکی داده شده استفاده می‌کنیم. ۱. **فرمول:** $ W = F \times d $ (کار = نیرو × جابه‌جایی) ۲. **مقادیر معلوم:** - کار ($W$): $۱۲$ - نیرو ($F$): $۴$ ۳. **تشکیل معادله:** مقادیر را در فرمول جای‌گذاری می‌کنیم: $ ۱۲ = ۴ \times d $ ۴. **حل معادله:** $ d = \frac{۱۲}{۴} = ۳ $ مقدار جابه‌جایی **۳** است.

برای هر شکل، با استفاده از ویژگی‌های هندسی متوازی‌الاضلاع، یک معادله تشکیل داده و آن را حل می‌کنیم. - **شکل سمت راست (زوایا):** - **ویژگی:** در متوازی‌الاضلاع، زوایای مجاور (کنار هم) مکمل یکدیگرند (مجموع آنها $۱۸۰$ درجه است). - **معادله:** $ (۲y-۱۰) + (۳y-۷۰) = ۱۸۰ $ - **حل:** $ ۵y - ۸۰ = ۱۸۰ \implies ۵y = ۲۶۰ \implies y = \frac{۲۶۰}{۵} = ۵۲ $ - **شکل سمت چپ (اضلاع):** - **ویژگی:** در متوازی‌الاضلاع، اضلاع روبه‌رو با هم برابر هستند. - **معادله:** $ x+۴ = ۲x-۳ $ - **حل:** $ ۴+۳ = ۲x-x \implies ۷ = x $