۱- عبارت‌های زیر را به ضرب تبدیل کنید.
تبدیل به ضرب یا **تجزیه (فاکتورگیری)**، با پیدا کردن بزرگ‌ترین عامل مشترک (ب.م.م) بین جملات و بیرون کشیدن آن از عبارت انجام می‌شود.
- $ ۴۲xy^۳ - ۳۵x^۲y^۲ $
- ب.م.م ضریب‌ها ($۴۲, ۳۵$): $۷$
- ب.م.م متغیرها: $xy^۲$
- عامل مشترک: $۷xy^۲$
- **نتیجه:** $ ۷xy^۲(۶y - ۵x) $
- $ -a^۲ + ۲a^۳ $
- عامل مشترک: $a^۲$
- **نتیجه:** $ a^۲(-۱+۲a) $ یا $ a^۲(۲a-۱) $
- $ x \cdot x^۲ - y \cdot x^۲ \cdot y^۲ = x^۳ - x^۲y^۳ $
- عامل مشترک: $x^۲$
- **نتیجه:** $ x^۲(x - y^۳) $
- $ ۲^۵x^۲y - ۲^۴x^۲z $
- ب.م.م ضریب‌ها ($۲^۵, ۲^۴$): $۲^۴ = ۱۶$
- ب.م.م متغیرها: $x^۲$
- عامل مشترک: $۱۶x^۲$
- **نتیجه:** $ ۱۶x^۲(۲y-z) $
۲- با تبدیل به ضرب، صورت و مخرج کسر را ساده کنید.
برای ساده کردن این کسر جبری، ابتدا صورت و مخرج را به طور جداگانه تجزیه (فاکتورگیری) می‌کنیم و سپس عوامل مشترک را حذف می‌نماییم.
۱. **تجزیه صورت:** $ a^۲b - ab^۲ $
عامل مشترک $ab$ است: $ ab(a-b) $
۲. **تجزیه مخرج:** $ a^۳b^۲ - a^۲b^۳ $
عامل مشترک $a^۲b^۲$ است: $ a^۲b^۲(a-b) $
۳. **ساده کردن کسر:**
$ \frac{a^۲b - ab^۲}{a^۳b^۲ - a^۲b^۳} = \frac{ab(a-b)}{a^۲b^۲(a-b)} $
حالا عامل مشترک $(a-b)$ را از صورت و مخرج حذف می‌کنیم. همچنین $a$ و $b$ را ساده می‌کنیم:
$ \frac{ab}{a^۲b^۲} = \frac{۱}{ab} $
نتیجه نهایی برابر با **$ \frac{۱}{ab} $** است.
۳- آیا تساوی $-a-b = -(a+b)$ همواره برقرار است؟
**بله**، این تساوی همواره برقرار است.
**چرا؟**
این تساوی یکی از کاربردهای **خاصیت توزیع‌پذیری** یا **فاکتورگیری از عدد ۱-** است. می‌توانیم درستی آن را به دو روش نشان دهیم:
۱. **از سمت راست به چپ:**
عبارت $ -(a+b) $ را در نظر می‌گیریم. این عبارت معادل $ -۱ \times (a+b) $ است. با توزیع کردن $-۱$ در پرانتز داریم:
$ (-۱ \times a) + (-۱ \times b) = -a - b $
که با سمت چپ تساوی برابر است.
۲. **از سمت چپ به راست:**
عبارت $ -a-b $ را در نظر می‌گیریم. از هر دو جمله، $ -۱ $ را فاکتور می‌گیریм:
$ -a-b = (-۱)(a) + (-۱)(b) = -۱(a+b) = -(a+b) $
که با سمت راست تساوی برابر است.
۴- چرا مجموع دو عدد زوج، عددی زوج می‌شود؟
مجموع دو عدد زوج، همواره عددی زوج است. این موضوع را می‌توان به سادگی با استفاده از تعریف جبری عدد زوج اثبات کرد.
۱. **تعریف عدد زوج:** هر عدد زوج را می‌توان به صورت $۲n$ نوشت که در آن $n$ یک عدد صحیح است.
۲. **فرض:** دو عدد زوج دلخواه را $۲n$ و $۲m$ در نظر می‌گیریم (که $n$ و $m$ اعداد صحیح هستند).
۳. **مجموع:** مجموع این دو عدد برابر است با:
$ ۲n + ۲m $
۴. **اثبات:** با فاکتورگیری از عدد ۲ در عبارت بالا داریم:
$ ۲(n+m) $
۵. **نتیجه:** از آنجایی که $n$ و $m$ اعداد صحیح هستند، مجموع آنها ($n+m$) نیز یک عدد صحیح است. بنابراین، عبارت $ ۲(n+m) $ به فرم $ ۲ \times (\text{یک عدد صحیح}) $ است که دقیقاً تعریف جبری یک عدد زوج می‌باشد. پس مجموع دو عدد زوج، همیشه زوج است.
