۱- مساحت کل مکعب مستطیل روبه‌رو را به صورت جبری بنویسید.
اگر a=۲ و b=۶ و c=۳ باشد، مساحت کل چقدر می‌شود؟
**الف) عبارت جبری مساحت کل:**
مساحت کل یک مکعب مستطیل، مجموع مساحت شش وجه آن است. این شش وجه شامل سه جفت مستطیل یکسان هستند:
- مساحت دو وجه جلو و عقب: $ ۲ \times (a \times b) = ۲ab $
- مساحت دو وجه چپ و راست: $ ۲ \times (a \times c) = ۲ac $
- مساحت دو وجه بالا و پایین: $ ۲ \times (b \times c) = ۲bc $
بنابراین، فرمول جبری مساحت کل ($S$) برابر است با:
$ S = ۲ab + ۲ac + ۲bc $
**ب) محاسبه مقدار عددی:**
مقادیر داده شده $a=۲$, $b=۶$ و $c=۳$ را در فرمول جایگذاری می‌کنیم:
$ S = ۲(۲)(۶) + ۲(۲)(۳) + ۲(۶)(۳) $
$ S = ۲۴ + ۱۲ + ۳۶ $
$ S = ۷۲ $
مساحت کل مکعب مستطیل **۷۲ واحد مربع** است.
۲- مساحت قاعدۀ منشوری ۲۰ و ارتفاع آن ۴ است. حجم این منشور را با نوشتن رابطۀ جبری حجم منشورها به دست آورید.
**رابطه جبری حجم منشور:**
حجم ($V$) هر منشور از حاصل‌ضرب مساحت قاعده ($A$) در ارتفاع ($h$) آن به دست می‌آید:
$ V = A \times h $
**محاسبه حجم:**
با توجه به مقادیر داده شده ($A=۲۰$ و $h=۴$)، حجم منشور را محاسبه می‌کنیم:
$ V = ۲۰ \times ۴ = ۸۰ $
حجم این منشور **۸۰ واحد مکعب** است.
۳- قاعده‌های ذوزنقه‌ای ۴ و ۷ سانتی متر و ارتفاع آن ۲ سانتی متر است. مساحت این ذوزنقه را پس از نوشتن رابطۀ جبری مساحت ذوزنقه حساب کنید.
**رابطه جبری مساحت ذوزنقه:**
مساحت ($S$) یک ذوزنقه از نصف حاصل‌ضرب مجموع دو قاعده ($a$ و $b$) در ارتفاع ($h$) به دست می‌آید:
$ S = \frac{(a+b)h}{۲} $
**محاسبه مساحت:**
مقادیر داده شده ($a=۴$, $b=۷$ و $h=۲$) را در فرمول جایگذاری می‌کنیم:
$ S = \frac{(۴+۷) \times ۲}{۲} = \frac{۱۱ \times ۲}{۲} = ۱۱ $
مساحت این ذوزنقه **۱۱ سانتی‌متر مربع** است.
۴- آیا x=۲ و x=-۲ پاسخ معادلۀ $x^۲=۴$ هستند؟ چرا؟
**بله**، هر دو عدد $x=۲$ و $x=-۲$ پاسخ‌های معادله $x^۲=۴$ هستند.
**چرا؟**
برای بررسی درستی پاسخ، هر یک از مقادیر را در معادله جایگذاری می‌کنیم:
- **برای $x=۲$:**
$ (۲)^۲ = ۲ \times ۲ = ۴ $. تساوی $۴=۴$ برقرار است.
- **برای $x=-۲$:**
$ (-۲)^۲ = (-۲) \times (-۲) = ۴ $. تساوی $۴=۴$ نیز برقرار است.
دلیل این امر این است که به توان دو رساندن (مجذور) یک عدد مثبت یا منفی، حاصل یکسانی خواهد داشت.
۵- طول یک لوله x متر است. طول لولۀ دیگر، y برابر لولۀ اول است. طول لولۀ دوم را به صورت جبری بنویسید.
برای پیدا کردن طول لوله دوم، باید طول لوله اول را در ضریب داده شده ضرب کنیم.
- طول لوله اول: $x$
- ضریب: $y$
بنابراین، عبارت جبری برای طول لوله دوم برابر است با:
$ \text{طول لوله دوم} = x \times y = xy $
۶- یک زمین والیبال مستطیل شکل، دارای x متر عرض و ۲x متر طول است. مساحت این زمین را به صورت جبری نشان دهید. اگر عرض این زمین ۹ متر باشد، مساحت آن چند متر مربع است؟
**الف) عبارت جبری مساحت:**
مساحت مستطیل از حاصل‌ضرب طول در عرض به دست می‌آید.
- عرض: $x$
- طول: $۲x$
- مساحت: $ A = (x) \times (۲x) = ۲x^۲ $
عبارت جبری مساحت زمین **$۲x^۲$** است.
**ب) محاسبه مقدار عددی مساحت:**
عرض زمین $x=۹$ متر داده شده است. این مقدار را در عبارت جبری مساحت جایگذاری می‌کنیم:
$ A = ۲(۹)^۲ = ۲ \times ۸۱ = ۱۶۲ $
مساحت زمین **۱۶۲ متر مربع** است.
۷- در درس علوم یاد می‌گیرید که انرژی پتانسیل ذخیره شده در هر جسم از رابطۀ U = m.g.h به دست می‌آید که در آن، U انرژی پتانسیل، m جرم جسم، g شتاب زمین و h ارتفاع جسم است. درصورتی که جسمی به جرم ۲۵ کیلوگرم تا ارتفاع ۴ متر بالا برود، مقدار انرژی پتانسیل آن را پیدا کنید. (شتاب زمین را ۱۰ فرض کنید).
برای محاسبه انرژی پتانسیل، از فرمول داده شده و مقادیر مشخص استفاده می‌کنیم.
- **فرمول:** $ U = mgh $
- **مقادیر:**
- جرم ($m$): $۲۵$ کیلوگرم
- ارتفاع ($h$): $۴$ متر
- شتاب زمین ($g$): $۱۰$
**محاسبه:**
مقادیر را در فرمول جایگذاری می‌کنیم:
$ U = ۲۵ \times ۱۰ \times ۴ $
$ U = ۲۵۰ \times ۴ = ۱۰۰۰ $
مقدار انرژی پتانسیل آن جسم **۱۰۰۰ ژول** است.
۸- با توجه به رابطۀ x و y، مقدار y را برای xهای مختلف پیدا کنید.
برای کامل کردن هر جدول، مقادیر داده شده برای $x$ را در رابطه مربوطه جایگذاری کرده و مقدار $y$ را محاسبه می‌کنیم.
- **جدول $ y=x^۲ $:**
| x | $y=x^۲$ |
| :-: | :---: |
| **۲** | $۴$ |
| **-۲**| $۴$ |
| **۰** | $۰$ |
| **-۱**| $۱$ |
- **جدول $ y=-۲x+۱ $:**
| x | $y=-۲x+۱$ |
| :-: | :---: |
| **۱** | $-۱$ |
| **۰** | $۱$ |
| **۲** | $-۳$ |
| **-۱**| $۳$ |
- **جدول $ y=x-۳ $:**
| x | $y=x-۳$ |
| :-: | :---: |
| **۱** | $-۲$ |
| **۰** | $-۳$ |
| **۲** | $-۱$ |
| **-۱**| $-۴$ |
