جواب فعالیت صفحه 58 ریاضی هشتم

هر عدد زوج را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب عدد ۲ در یک عدد طبیعی ($n$) نوشت. برای پیدا کردن $n$، کافی است عدد زوج را بر ۲ تقسیم کنیم. - $ ۴۴ = ۲ \times ۲۲ $ - $ ۸۰ = ۲ \times ۴۰ $ - $ ۷۰۰ = ۲ \times ۳۵۰ $ - $ ۱۰۰۰ = ۲ \times ۵۰۰ $ - $ ۲۰۰۰ = ۲ \times ۱۰۰۰ $

**بله**، عددهای حاصل همیشه زوج هستند. **چرا؟** تعریف عدد زوج، عددی طبیعی است که مضربی از ۲ باشد. عبارت‌های $۲k$، $۲m$ و $۲a$ همگی به صورت حاصل‌ضرب عدد ۲ در یک عدد طبیعی ($k, m, a$) نوشته شده‌اند. بنابراین، صرف نظر از اینکه چه عدد طبیعی به جای این حروف قرار دهیم، نتیجه همیشه مضربی از ۲ و در نتیجه عددی زوج خواهد بود. **مثال:** - اگر $k=۷$ باشد، $۲k = ۲ \times ۷ = ۱۴$ (زوج است) - اگر $a=۱۰۰$ باشد، $۲a = ۲ \times ۱۰۰ = ۲۰۰$ (زوج است)

با توجه به اینکه تعریف عدد زوج، عددی به فرم $۲ \times (\text{عدد طبیعی})$ است، به سوالات پاسخ می‌دهیم. - **آیا عبارت $۲b$ یک عدد زوج را نشان می‌دهد؟** **بله**. چون $b$ یک عدد طبیعی است، $۲b$ طبق تعریف یک عدد زوج است. - **آیا عبارت $۴c$ یک عدد زوج را نشان می‌دهد؟ چرا؟** **بله**. **چرا؟** زیرا می‌توان آن را به صورت $ ۴c = ۲ \times (۲c) $ نوشت. از آنجایی که $۲c$ یک عدد طبیعی است، عبارت $۴c$ مضربی از ۲ است و در نتیجه زوج می‌باشد. - **آیا عبارت $۲ab$ یک عدد زوج را نشان می‌دهد؟ چرا؟** **بله**. **چرا؟** زیرا می‌توان آن را به صورت $ ۲ \times (ab) $ نوشت. از آنجایی که حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی $a$ و $b$ خود یک عدد طبیعی است، عبارت $۲ab$ مضربی از ۲ است و در نتیجه زوج می‌باشد.

**بله**، حاصل‌ضرب هر دو عدد زوج، همیشه عددی زوج است. **الف) چند مثال عددی:** - نمونه: $ ۴ \times ۲ = ۸ $ - $ ۶ \times ۸ = ۴۸ $ - $ ۱۰ \times ۶ = ۶۰ $ - $ ۲ \times ۱۲ = ۲۴ $ **ب) اثبات جبری:** برای اثبات این موضوع، دو عدد زوج دلخواه را به صورت جبری نمایش می‌دهیم. فرض کنید عدد زوج اول $۲n$ و عدد زوج دوم $۲m$ باشد (که در آن $n$ و $m$ اعداد طبیعی هستند). حاصل‌ضرب آنها برابر است با: $ (۲n) \times (۲m) = ۴nm $ می‌توانیم از حاصل، عدد ۲ را فاکتور بگیریم: $ ۴nm = ۲ \times (۲nm) $ از آنجایی که نتیجه به صورت $ ۲ \times (\text{یک عدد طبیعی}) $ است، پس حاصل‌ضرب دو عدد زوج همیشه عددی زوج خواهد بود.