۱- عبارت جبری جملۀ nام هر یک از الگوهای عددی زیر را بنویسید.
برای پیدا کردن عبارت جبری هر الگو، رابطه بین شماره جمله ($n$) و مقدار آن جمله را پیدا می‌کنیم.
- **الگوی اول: $ ۱, ۸, ۲۷, ۶۴, ۱۲۵, ... $**
این الگو، توان سوم اعداد طبیعی است:
- جمله اول: $ ۱ = ۱^۳ $
- جمله دوم: $ ۸ = ۲^۳ $
- جمله سوم: $ ۲۷ = ۳^۳ $
بنابراین، عبارت جبری جمله $n$ام این الگو برابر است با: **$ n^۳ $**
- **الگوی دوم: $ ۱, ۴, ۹, ۱۶, ۲۵, ... $**
این الگو، توان دوم اعداد طبیعی (اعداد مربعی) است:
- جمله اول: $ ۱ = ۱^۲ $
- جمله دوم: $ ۴ = ۲^۲ $
- جمله سوم: $ ۹ = ۳^۲ $
بنابراین، عبارت جبری جمله $n$ام این الگو برابر است با: **$ n^۲ $**
۲- عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.
این عبارت‌ها نمونه‌هایی از **اتحادهای جبری** هستند که به ساده‌سازی محاسبات کمک می‌کنند.
- $ (a+۳)(a-۳) = a^۲ - ۳^۲ = a^۲ - ۹ $
(اتحاد مزدوج: $ (x+y)(x-y) = x^۲ - y^۲ $)
- $ (a-b)(a-b) = (a-b)^۲ = a^۲ - ۲ab + b^۲ $
(اتحاد مربع تفاضل دو جمله)
- $ (a+۳)(a+۳) = (a+۳)^۲ = a^۲ + ۲(a)(۳) + ۳^۲ = a^۲ + ۶a + ۹ $
(اتحاد مربع مجموع دو جمله)
- $ (۲x-۳y)(۲x-۳y) = (۲x-۳y)^۲ = (۲x)^۲ - ۲(۲x)(۳y) + (۳y)^۲ = ۴x^۲ - ۱۲xy + ۹y^۲ $
(اتحاد مربع تفاضل دو جمله)
- $ (x+y)(x+y) = (x+y)^۲ = x^۲ + ۲xy + y^۲ $
(اتحاد مربع مجموع دو جمله)
- $ (a+b)(a-b) = a^۲ - b^۲ $
(اتحاد مزدوج)
۳- مساحت هر شکل را با یک عبارت جبری بیان کنید.
مساحت هر شکل با استفاده از فرمول استاندارد آن و متغیرهای داده شده بیان می‌شود.
- **مربع:** $ \text{مساحت} = \text{ضلع} \times \text{ضلع} = x \times x = x^۲ $
- **مستطیل:** $ \text{مساحت} = \text{طول} \times \text{عرض} = y \times x = xy $
- **دایره:** $ \text{مساحت} = \pi \times (\text{شعاع})^۲ = \pi r^۲ $
- **مثلث:** $ \text{مساحت} = \frac{۱}{۲} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} = \frac{۱}{۲} ah $
- **متوازی‌الاضلاع:** $ \text{مساحت} = \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} = ah $
- **ذوزنقه:** $ \text{مساحت} = \frac{(\text{قاعده بزرگ} + \text{قاعده کوچک}) \times \text{ارتفاع}}{۲} = \frac{(a+b)h}{۲} $
۴- دانش‌آموزی، عبارت‌های جبری زیر را نادرست ساده کرده است. اشتباه او را پیدا کنید.
در هر دو مورد، دانش‌آموز در استفاده از **خاصیت توزیع‌پذیری** دچار اشتباه شده است.
**الف) $ a(b+c)=ab+c $**
- **اشتباه:** دانش‌آموز فراموش کرده است که $a$ را در جمله دوم داخل پرانتز یعنی $c$ نیز ضرب کند.
- **شکل درست:** خاصیت توزیع‌پذیری ایجاب می‌کند که $a$ در تمام جملات داخل پرانتز ضرب شود:
$ a(b+c) = ab + ac $
**ب) $ ۲x+۳y-(۲x-y)=۲x+۳y-۲x-y=۲y $**
- **اشتباه:** دانش‌آموز علامت منفی را به درستی در $۲x$ ضرب کرده اما فراموش کرده است که آن را در جمله دوم داخل پرانتز یعنی $-y$ نیز ضرب کند. ضرب $ (-۱) $ در $ (-y) $ برابر با $ +y $ می‌شود.
- **شکل درست:**
$ ۲x+۳y-(۲x-y) = ۲x+۳y-۲x+y = (۲x-۲x) + (۳y+y) = ۰ + ۴y = ۴y $
۵- با توجه به شکل، یک تساوی جبری بنویسید.
این شکل، **خاصیت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع** را برای سه جمله نشان می‌دهد. مساحت کل مستطیل را می‌توان به دو روش محاسبه کرد:
۱. **به صورت یکپارچه:** حاصل‌ضرب عرض ($a$) در طول کل ($b+c+d$).
$ \text{مساحت کل} = a(b+c+d) $
۲. **به صورت مجموع اجزا:** حاصل جمع مساحت سه مستطیل کوچک‌تر.
$ \text{مساحت کل} = ab + ac + ad $
با برابر قرار دادن این دو عبارت، تساوی جبری زیر به دست می‌آید:
$ a(b+c+d) = ab + ac + ad $
