حل تمرین صفحه 61 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین بر استفاده از **قوانین توان گویا** (تبدیل به رادیکال) و **قوانین توان** (ضرب و توان به توان) تمرکز دارد. هدف، ساده‌سازی کامل عبارت‌هاست. ### **محاسبات گام به گام** 1. **$$\mathbf{16^{\frac{1}{2}}}$$** * **تبدیل:** $\sqrt{16}$ * **حاصل:** $\mathbf{4}$ 2. **$$\mathbf{5^{\frac{1}{2}}}$$** * **تبدیل:** $\sqrt{5}$ * **حاصل:** $\mathbf{\sqrt{5}}$ 3. **$$\mathbf{4^{\frac{3}{2}}}$$** * **تبدیل:** $\sqrt{4^3} = \sqrt{64}$ * **حاصل:** $\mathbf{8}$ 4. **$$\mathbf{3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}}}$$** * **قانون ضرب:** پایه یکسان، توان‌ها جمع می‌شوند: $3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = 3^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}} = 3^{\frac{7}{6}}$ * **تبدیل:** $\mathbf{\sqrt[6]{3^7}}$ (یا $3\sqrt[6]{3}$) 5. **$$\mathbf{(4^{\frac{1}{3}})^2}$$** * **قانون توان به توان:** $4^{\frac{1}{3} \times 2} = 4^{\frac{2}{3}}$ * **تبدیل:** $\mathbf{\sqrt[3]{4^2}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[3]{16}}$) 6. **$$\mathbf{3^{\frac{2}{3}}}$$** * **تبدیل:** $\mathbf{\sqrt[3]{3^2}}$ (یا $\mathbf{\sqrt[3]{9}}$) 7. **$$\mathbf{32^{-\frac{1}{5}}}$$** * **توان منفی:** $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$ * **تبدیل:** $\frac{1}{\sqrt[5]{32}}$ * **محاسبه:** $\sqrt[5]{32} = 2$ * **حاصل:** $\mathbf{\frac{1}{2}}$ 8. **$$\mathbf{32^{\frac{2}{5}}}$$** * **تبدیل:** $\sqrt[5]{32^2} = (\sqrt[5]{32})^2$ * **محاسبه:** $(\sqrt[5]{32})^2 = (2)^2$ * **حاصل:** $\mathbf{4}$ 9. **$$\mathbf{125^{\frac{2}{3}}}$$** * **تبدیل:** $\sqrt[3]{125^2} = (\sqrt[3]{125})^2$ * **محاسبه:** $(\sqrt[3]{125})^2 = (5)^2$ * **حاصل:** $\mathbf{25}$ | عبارت | تبدیل رادیکالی | حاصل نهایی | | :---: | :---: | :---: | | $16^{\frac{1}{2}}$ | $\sqrt{16}$ | $\mathbf{4}$ | | $5^{\frac{1}{2}}$ | $\sqrt{5}$ | $\mathbf{\sqrt{5}}$ | | $4^{\frac{3}{2}}$ | $\sqrt{4^3}$ | $\mathbf{8}$ | | $3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[6]{3^7}$ | $\mathbf{3\sqrt[6]{3}}$ | | $(4^{\frac{1}{3}})^2$ | $\sqrt[3]{4^2}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{16}}$ | | $3^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[3]{3^2}$ | $\mathbf{\sqrt[3]{9}}$ | | $32^{-\frac{1}{5}}$ | $\frac{1}{\sqrt[5]{32}}$ | $\mathbf{\frac{1}{2}}$ | | $32^{\frac{2}{5}}$ | $\sqrt[5]{32^2}$ | $\mathbf{4}$ | | $125^{\frac{2}{3}}$ | $\sqrt[3]{125^2}$ | $\mathbf{25}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۲ این سوال بر **خاصیت ساده‌سازی فرجه و توان** در رادیکال‌ها تمرکز دارد که مستقیماً از قوانین توان گویا ناشی می‌شود. ### **بررسی تساوی $\mathbf{\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}}$** **اثبات:** از سمت چپ شروع می‌کنیم و آن را به شکل توان گویا می‌نویسیم: $$\sqrt[kn]{a^{km}} = a^{\frac{km}{kn}}$$ از آنجایی که $k$ یک عامل مشترک در صورت و مخرج توان است، می‌توان آن را حذف کرد (چون $k$ یک عدد طبیعی است، $k \ne 0$): $$a^{\frac{km}{kn}} = a^{\frac{m}{n}}$$ حالا $a^{\frac{m}{n}}$ را به شکل رادیکال می‌نویسیم: $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$ **نتیجه:** بله، تساوی $\mathbf{\sqrt[kn]{a^{km}} = \sqrt[n]{a^m}}$ **همواره برقرار است** (به شرط $a>0$ و $n, m, k \in \mathbb{N}$). این خاصیت به ما می‌گوید که می‌توانیم فرجه و توان زیر رادیکال را به یک عدد طبیعی تقسیم یا ضرب کنیم، بدون آنکه مقدار رادیکال تغییر کند. *** ### **بررسی برابری $\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$، $\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$، و $\mathbf{\sqrt{2}}$** برای اثبات برابری، هر سه عبارت را به ساده‌ترین شکل (که همان رادیکال با فرجه‌ی کوچک‌تر است) تبدیل می‌کنیم: 1. **$$\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$$** * توان گویا: $2^{\frac{2}{3}}$ * **ساده‌ترین رادیکال:** $\mathbf{\sqrt[3]{4}}$ (این عبارت از ساده‌تر شدن ناتوان است.) 2. **$$\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$$** * توان گویا: $2^{\frac{4}{6}}$ * ساده‌سازی توان: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ * **ساده‌ترین رادیکال:** $2^{\frac{2}{3}} = \mathbf{\sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}}$ 3. **$$\mathbf{\sqrt{2}}$$** * **ساده‌ترین رادیکال:** $\mathbf{\sqrt{2}}$ **توجه و اصلاح:** در متن سوال اصلی، احتمالاً منظور $\sqrt[6]{2^3}$ و $\sqrt[4]{2^2}$ و $\sqrt{2}$ بوده است. اگر از مثال‌های داده شده در صورت سوال پیروی کنیم: * **$$\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$$ و $\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$:** این دو برابرند، زیرا $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. * **$$\mathbf{\sqrt{2}}$$:** این عدد به توان $2^{\frac{1}{2}}$ است. **اگر سؤال اشتباه تایپ شده و منظور برابری $\mathbf{\sqrt[6]{2^3}}$ و $\mathbf{\sqrt[2]{2^1}}$ باشد:** * $\sqrt[6]{2^3} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ * $\sqrt[2]{2^1} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ **با فرض برابری داده شده در متن (که $\sqrt{2}$ با بقیه برابر نیست، اما شاید منظور سوال این باشد که آن را به $\sqrt[6]{2^3}$ تبدیل کنیم):** $$ \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[3]{2^2} \quad \text{و } \quad \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} $$ **نتیجه نهایی بر اساس متن دقیق سوال:** فقط $\mathbf{\sqrt[6]{2^4}}$ و $\mathbf{\sqrt[3]{2^2}}$ برابرند (و هر دو برابر $\sqrt[3]{4}$ هستند). $\sqrt{2}$ با آن‌ها برابر نیست ($$\sqrt{2} \ne \sqrt[3]{4}$$ چون $2^3=8$ و $(2^\frac{2}{3})^3 = 4$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 61 ریاضی دهم - مسئله ۴ این تمرین به ساده‌سازی **رادیکال‌های تو در تو** می‌پردازد. روش اصلی، ضرب کردن فرجه‌ها در یکدیگر است: **$$\mathbf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}}$$** 1. **$$\mathbf{\sqrt[3]{\sqrt{5}}}$$** * **فرجه‌ها:** $3$ و $2$ (ریشه‌ی دوم، فرجه‌اش $2$ است.) * **ضرب فرجه‌ها:** $3 \times 2 = 6$ * **حاصل:** $\mathbf{\sqrt[6]{5}}$ 2. **$$\mathbf{\sqrt{\sqrt[3]{64}}}$$** * **فرجه‌ها:** $2$ و $3$ * **ضرب فرجه‌ها:** $2 \times 3 = 6$ * **تبدیل:** $\sqrt[6]{64}$ * **محاسبه:** $2^6 = 64$ * **حاصل:** $\mathbf{2}$ 3. **$$\mathbf{\sqrt[4]{\sqrt{81}}}$$** * **فرجه‌ها:** $4$ و $2$ * **ضرب فرجه‌ها:** $4 \times 2 = 8$ * **تبدیل:** $\sqrt[8]{81}$ * **ساده‌سازی:** $81 = 3^4$ * $\sqrt[8]{3^4} = 3^{\frac{4}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} = \mathbf{\sqrt{3}}$ | عبارت | تبدیل فرجه | حاصل نهایی | | :---: | :---: | :---: | | $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$ | $\sqrt[6]{5}$ | $\mathbf{\sqrt[6]{5}}$ | | $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$ | $\sqrt[6]{64}$ | $\mathbf{2}$ | | $\sqrt[4]{\sqrt{81}}$ | $\sqrt[8]{81}$ | $\mathbf{\sqrt{3}}$ |