تمرین ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - مسئله ۱
۱. برای هر عدد رادیکالی زیر، اگر حاصل آن یک عدد صحیح صحیح است، جواب را بنویسید و در غیر این صورت در عدد صحیح متوالی بنویسید که عدد رادیکالی مورد نظر بین آن‌ها باشد.
$$\sqrt{16} \quad \quad \sqrt[3]{-10} \quad \quad \sqrt[5]{400}$$
$$\sqrt{75} \quad \quad \sqrt[3]{250} \quad \quad \sqrt{100}$$
$$\sqrt[3]{-60} \quad \quad \sqrt[3]{20} \quad \quad \sqrt{1}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۱
سلام! در این تمرین، ما باید مقدار دقیق رادیکال‌ها (اگر صحیح باشند) یا حدود آن‌ها را با استفاده از توان‌های کامل پیدا کنیم. این تمرین برای درک بهتر **قدرت ریشه‌ها** و جایگاه آن‌ها روی محور اعداد است.
### **محاسبه و حدود رادیکال‌ها**
1. **$$\mathbf{\sqrt{16}}$$**
* **حاصل:** $$4$$ (چون $4^2 = 16$)
2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-10}}$$**
* **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{-8} = -2$$ و $$\sqrt[3]{-27} = -3$$. $-10$ بین $-8$ و $-27$ است.
* **حدود:** $$-3 < \sqrt[3]{-10} < -2$$
3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{400}}$$**
* **تحلیل:** چون $$3^5 = 243$$ و $$4^5 = 1024$$. $400$ بین $243$ و $1024$ است.
* **حدود:** $$3 < \sqrt[5]{400} < 4$$
4. **$$\mathbf{\sqrt{75}}$$**
* **تحلیل:** چون $$\sqrt{64} = 8$$ و $$\sqrt{81} = 9$$. $75$ بین $64$ و $81$ است.
* **حدود:** $$8 < \sqrt{75} < 9$$
5. **$$\mathbf{\sqrt[3]{250}}$$**
* **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{216} = 6$$ و $$\sqrt[3]{343} = 7$$. $250$ بین $216$ و $343$ است.
* **حدود:** $$6 < \sqrt[3]{250} < 7$$
6. **$$\mathbf{\sqrt{100}}$$**
* **حاصل:** $$10$$ (چون $10^2 = 100$)
7. **$$\mathbf{\sqrt[3]{-60}}$$**
* **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{-27} = -3$$ و $$\sqrt[3]{-64} = -4$$. $-60$ بین $-27$ و $-64$ است.
* **حدود:** $$-4 < \sqrt[3]{-60} < -3$$
8. **$$\mathbf{\sqrt[3]{20}}$$**
* **تحلیل:** چون $$\sqrt[3]{8} = 2$$ و $$\sqrt[3]{27} = 3$$. $20$ بین $8$ و $27$ است.
* **حدود:** $$2 < \sqrt[3]{20} < 3$$
9. **$$\mathbf{\sqrt{1}}$$**
* **حاصل:** $$1$$ (چون $1^2 = 1$)
| عدد رادیکالی | حاصل یا حدود | دلیل (توان‌های کامل) |
| :---: | :---: | :---: |
| $\sqrt{16}$ | $\mathbf{4}$ | $4^2 = 16$ |
| $\sqrt[3]{-10}$ | $\mathbf{-3 \text{ و } -2}$ | $(-3)^3 = -27, (-2)^3 = -8$ |
| $\sqrt[5]{400}$ | $\mathbf{3 \text{ و } 4}$ | $3^5 = 243, 4^5 = 1024$ |
| $\sqrt{75}$ | $\mathbf{8 \text{ و } 9}$ | $8^2 = 64, 9^2 = 81$ |
| $\sqrt[3]{250}$ | $\mathbf{6 \text{ و } 7}$ | $6^3 = 216, 7^3 = 343$ |
| $\sqrt{100}$ | $\mathbf{10}$ | $10^2 = 100$ |
| $\sqrt[3]{-60}$ | $\mathbf{-4 \text{ و } -3}$ | $(-4)^3 = -64, (-3)^3 = -27$ |
| $\sqrt[3]{20}$ | $\mathbf{2 \text{ و } 3}$ | $2^3 = 8, 3^3 = 27$ |
| $\sqrt{1}$ | $\mathbf{1}$ | $1^2 = 1$ |
تمرین ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - مسئله ۲
۲. مقدار تقریبی هر کدام از اعداد رادیکالی زیر را با یک رقم اعشار مشخص کنید (می‌توانید از ماشین حساب استفاده کنید).
$$\sqrt{20} \quad \quad \sqrt[3]{27.2} \quad \quad \sqrt[5]{16} \quad \quad \sqrt[5]{64}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۲
برای پیدا کردن مقدار تقریبی با یک رقم اعشار، ابتدا حدود عدد را پیدا کرده و سپس با استفاده از ماشین حساب یا حدس و خطا، مقدار دقیق‌تر را مشخص می‌کنیم.
### **محاسبه‌ی مقادیر تقریبی**
1. **$$\mathbf{\sqrt{20}}$$**
* حدود: $4 < \sqrt{20} < 5$ (چون $4^2=16$ و $5^2=25$).
* آزمایش $4.4$: $4.4^2 = 19.36$
* آزمایش $4.5$: $4.5^2 = 20.25$
* مقدار دقیق‌تر به $4.5$ نزدیک‌تر است.
* **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{4.5}$
2. **$$\mathbf{\sqrt[3]{27.2}}$$**
* حدود: $3 < \sqrt[3]{27.2} < 4$ (چون $3^3=27$ و $4^3=64$).
* آزمایش $3.0$: $3.0^3 = 27$.
* چون $27.2$ کمی بزرگتر از $27$ است، مقدار تقریبی کمی بزرگتر از $3.0$ است.
* **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{3.0}$
3. **$$\mathbf{\sqrt[5]{16}}$$**
* حدود: $1 < \sqrt[5]{16} < 2$ (چون $1^5=1$ و $2^5=32$).
* آزمایش $1.7$: $1.7^5 \approx 14.19$
* آزمایش $1.8$: $1.8^5 \approx 18.89$
* $16$ به $14.19$ نزدیک‌تر است.
* **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{1.7}$
4. **$$\mathbf{\sqrt[5]{64}}$$**
* حدود: $2 < \sqrt[5]{64} < 3$ (چون $2^5=32$ و $3^5=243$).
* آزمایش $2.2$: $2.2^5 \approx 51.5$
* آزمایش $2.3$: $2.3^5 \approx 64.36$
* مقدار دقیق‌تر به $2.3$ بسیار نزدیک است.
* **مقدار تقریبی با یک رقم اعشار:** $\mathbf{2.3}$
| عدد رادیکالی | مقدار تقریبی (یک رقم اعشار) |
| :---: | :---: |
| $\sqrt{20}$ | $\mathbf{4.5}$ |
| $\sqrt[3]{27.2}$ | $\mathbf{3.0}$ |
| $\sqrt[5]{16}$ | $\mathbf{1.7}$ |
| $\sqrt[5]{64}$ | $\mathbf{2.3}$ |
تمرین ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - مسئله ۴
۴. با توجه به آن‌چه درباره‌ی ریشه‌ی سوم اعداد درک کرده‌اید، به سؤال‌های زیر پاسخ دهید.
الف) اگر $a$ عددی مثبت است و $\sqrt[3]{a} > a$، $a$ چه عددی می‌تواند باشد؟
ب) $a$ عددی است که ریشه‌ی سوم آن با خودش برابر است؛ یعنی $\sqrt[3]{a} = a$. $a$ چه عددی می‌تواند باشد؟
پ) اگر $a$ عددی مثبت است و $\sqrt[3]{a} < a$، $a$ چه عددی می‌تواند باشد؟
ت) به موارد (الف) و (پ) برای حالتی که $a$ عددی منفی باشد، نیز پاسخ دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۴
این تمرین به شما کمک می‌کند تا رفتار **تابع ریشه‌ی سوم** ($\sqrt[3]{x}$) را در مقایسه با خود عدد ($x$) درک کنید. این رفتار به بازه‌ی عددی که $a$ در آن قرار دارد، بستگی دارد.
### **الف) $\mathbf{\sqrt[3]{a} > a}$ (برای $\mathbf{a > 0}$)**
* **شرط:** ریشه‌ی سوم یک عدد مثبت، از خود آن عدد بزرگتر باشد.
* **تحلیل:** این شرط تنها زمانی برقرار است که عدد بین **صفر و یک** باشد. $\mathbf{0 < a < 1}$
* **مثال:** $a = 0.125 \Rightarrow \sqrt[3]{0.125} = 0.5$. $0.5 > 0.125$.
* **پاسخ:** $a$ عددی بین $\mathbf{0}$ و $\mathbf{1}$ است.
### **ب) $\mathbf{\sqrt[3]{a} = a}$**
* **شرط:** ریشه‌ی سوم یک عدد با خودش برابر باشد.
* **تحلیل:** همان‌طور که در تمرین قبلی دیدیم، این شرط برای سه عدد خاص برقرار است.
* **پاسخ:** $a$ می‌تواند عددهای $\mathbf{-1}$، $\mathbf{0}$ یا $\mathbf{1}$ باشد.
### **پ) $\mathbf{\sqrt[3]{a} < a}$ (برای $\mathbf{a > 0}$)**
* **شرط:** ریشه‌ی سوم یک عدد مثبت، از خود آن عدد کوچکتر باشد.
* **تحلیل:** این شرط تنها زمانی برقرار است که عدد **بزرگتر از یک** باشد.
* **مثال:** $a = 8 \Rightarrow \sqrt[3]{8} = 2$. $2 < 8$.
* **پاسخ:** $a$ عددی $\mathbf{\text{بزرگتر از } 1}$ است.
---
### **ت) پاسخ برای حالت $\mathbf{a < 0}$**
**بازه‌ی منفی به سه قسمت تقسیم می‌شود:**
* **$-1 < a < 0$**
* **$a = -1$**
* **$a < -1$**
**مقایسه $\mathbf{\sqrt[3]{a}}$ و $\mathbf{a}$ برای $\mathbf{a < 0}$:**
* **حالت (الف): $\mathbf{\sqrt[3]{a} > a}$ (ریشه بزرگتر از خود عدد):** این شرط زمانی برقرار است که عدد **کوچکتر از $-1$** باشد.
* **مثال:** $a = -8 \Rightarrow \sqrt[3]{-8} = -2$. $-2 > -8$.
* **پاسخ:** $a < \mathbf{-1}$
* **حالت (پ): $\mathbf{\sqrt[3]{a} < a}$ (ریشه کوچکتر از خود عدد):** این شرط زمانی برقرار است که عدد بین **$-1$ و $0$** باشد.
* **مثال:** $a = -0.125 \Rightarrow \sqrt[3]{-0.125} = -0.5$. $-0.5 < -0.125$.
* **پاسخ:** $\mathbf{-1 < a < 0}$
تمرین ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - مسئله ۵
۵. در هر یک از شکل‌های زیر، نقطه‌ای از محور بالا به ریشه‌های سوم، چهارم و پنجم خود وصل شده است. مشخص کنید هر رنگ مربوط به کدام ریشه است.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۵
این تمرین در مورد مقایسه‌ی **اندازه‌ی ریشه‌های مختلف یک عدد** است. برای حل، باید به رفتار ریشه‌ی زوج (ریشه‌ی چهارم) و ریشه‌ی فرد (ریشه‌ی سوم و پنجم) و همچنین اندازه‌ی فرجه توجه کنیم.
### **الف) مقایسه ریشه‌ها برای $\mathbf{a = 1.6}$ (نقطه مثبت و بزرگتر از ۱)**
اگر $a>1$ باشد، هرچه فرجه بزرگتر شود، ریشه **کوچکتر** می‌شود: $$\sqrt[5]{a} < \sqrt[4]{a} < \sqrt[3]{a} < a$$
(در این شکل، $a$ کمی کوچکتر از $2$ است، مثلاً $1.6$).
* $a = 1.6 \Rightarrow \sqrt[3]{1.6} \approx 1.17$، $\sqrt[4]{1.6} \approx 1.12$، $\sqrt[5]{1.6} \approx 1.10$
1. **بزرگ‌ترین ریشه (خط سبز):** $\sqrt[3]{1.6} \approx 1.17$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی سوم**
2. **ریشه‌ی میانی (خط قرمز):** $\sqrt[4]{1.6} \approx 1.12$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی چهارم**
3. **کوچک‌ترین ریشه (خط آبی):** $\sqrt[5]{1.6} \approx 1.10$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی پنجم**
| رنگ | مقدار ریشه | نوع ریشه (فرجه) |
| :---: | :---: | :---: |
| **سبز** | بزرگ‌ترین | $\mathbf{\text{ریشه‌ی سوم}}$ $|
| **قرمز** | میانی | $\mathbf{\text{ریشه‌ی چهارم}}$ $|
| **آبی** | کوچک‌ترین | $\mathbf{\text{ریشه‌ی پنجم}}$ |
---
### **ب) مقایسه ریشه‌ها برای $\mathbf{a = -1.5}$ (نقطه منفی و کوچکتر از $-۱$)**
اگر $a<-1$ باشد، هرچه فرجه بزرگتر شود، ریشه **بزرگتر** می‌شود (به صفر نزدیک‌تر می‌شود): $$\sqrt[3]{a} < \sqrt[5]{a} < a$$ (ریشه‌ی زوج منفی تعریف نشده است.)
* **توجه:** در شکل، نقطه $a$ حدود $-1.5$ است. خط‌های آبی، قرمز و زرد مربوط به ریشه‌های فرد هستند و خط سبز مربوط به ریشه‌ی چهارم است که **نباید تعریف شود** (چون $a$ منفی است). با فرض اینکه سوال قصد دارد ریشه‌ی $-1.5$ را مقایسه کند، تنها باید ریشه‌های فرد را در نظر بگیریم. اگر خط سبز را ریشه‌ی چهارم فرض کنیم، تصویر ممکن است گمراه‌کننده باشد یا مربوط به $a$ دیگری باشد.
**با فرض این که ریشه‌های فرد و ریشه زوج یک عدد مثبت مجاور مقایسه شوند (بزرگتر از ۱):**
در ناحیه‌ی $-1 < a < 0$ (تصویر بالا): $\sqrt[5]{a} < \sqrt[3]{a} < a$.
* **ریشه‌ی $\sqrt[3]{a}$ (آبی):** کوچک‌ترین مقدار (منفی‌ترین) $\rightarrow$ **ریشه‌ی سوم**
* **ریشه‌ی $\sqrt[5]{a}$ (قرمز/زرد):** بزرگ‌ترین مقدار (نزدیک‌ترین به صفر) $\rightarrow$ **ریشه‌ی پنجم**
(با توجه به رنگ‌ها در تصویر دوم که نقطه‌ی $a$ منفی است):
1. **بزرگ‌ترین ریشه (خط قرمز):** نزدیک‌ترین به $0$ $\rightarrow$ **ریشه‌ی پنجم**
2. **ریشه‌ی میانی (خط زرد):** $\rightarrow$ **ریشه‌ی سوم**
3. **ریشه‌ی کوچکتر (خط آبی):** $\rightarrow$ $\sqrt[4]{a}$ (که باید تعریف نشده باشد، اما اگر فرض کنیم منظور ریشه‌ی $\mathbf{\text{هفتم}}$ باشد، $\sqrt[7]{a}$ از $\sqrt[5]{a}$ کوچکتر است. اگر همه‌ی ریشه‌ها فرد باشند:
* **قرمز:** ریشه پنجم $\rightarrow \mathbf{\sqrt[5]{a}}$
* **آبی:** ریشه سوم $\rightarrow \mathbf{\sqrt[3]{a}}$
تمرین ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - مسئله ۶
۶. جاهای خالی را پر کنید.
الف) ریشه‌های چهارم عدد $\underline{\hspace{1cm}}$ اعداد $3$ و $\underline{\hspace{1cm}}$ می‌باشند.
ب) اگر $a = \sqrt[3]{-125}$ باشد، در این صورت حاصل عبارت $a + 5a$ برابر است با $\underline{\hspace{1cm}}$.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۶
### **الف) ریشه‌های چهارم**
**گام ۱: پیدا کردن عدد**
ریشه‌های چهارم یک عدد، $3$ و یک عدد مجهول است. چون ریشه‌ی چهارم یک ریشه‌ی زوج است، ریشه‌ها باید قرینه‌ی یکدیگر باشند. پس ریشه‌ی دوم $\mathbf{-3}$ است.
$$\text{عدد مورد نظر} = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$$
**گام ۲: تکمیل جاهای خالی**
الف) ریشه‌های چهارم عدد $\mathbf{81}$ اعداد $3$ و $\mathbf{-3}$ می‌باشند.
### **ب) محاسبه‌ی عبارت**
**گام ۱: پیدا کردن مقدار $a$**
$$a = \sqrt[3]{-125}$$
* از آنجایی که $(-5)^3 = -125$.
$$a = \mathbf{-5}$$
**گام ۲: محاسبه‌ی عبارت $3a + 5$**
$$3a + 5 = 3(-5) + 5$$
$$3a + 5 = -15 + 5 = \mathbf{-10}$$
**پاسخ نهایی:**
ب) اگر $a = \sqrt[3]{-125}$ باشد، در این صورت حاصل عبارت $3a + 5$ برابر است با $\mathbf{-10}$. (توجه: در صورت اشتباه در متن سؤال و فرض عبارت $a+5a = 6a$ پاسخ $6(-5) = -30$ خواهد بود، اما بر اساس متن $\mathbf{3a+5}$ محاسبه شد.)
تمرین ریشه‌های $n$اُم ریاضی دهم - مسئله ۷
۷. در جاهای خالی یکی از علامت‌های $>(، <) و (=)$ را قرار دهید.
الف) $$( -0.1)^5 \bigcirc (-0.1)^3$$
ب) $$(0.1)^5 \bigcirc (0.1)^3$$
پ) $$(-2)^5 \bigcirc (-2)^4$$
ت) $$\sqrt[5]{0.00001} \bigcirc 0.1$$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 53 ریاضی دهم - مسئله ۷
این تمرین به مقایسه‌ی اعداد با استفاده از **توان‌ها** و **ریشه‌ها** می‌پردازد. نکته‌ی کلیدی در مقایسه‌ی توان‌های یک عدد کوچکتر از یک، و علائم توان‌های زوج و فرد است.
### **مقایسه‌ی توان‌ها و رادیکال‌ها**
1. **الف) $\mathbf{(-0.1)^5 \bigcirc (-0.1)^3}$**
* **تحلیل:** عدد پایه $a = -0.1$ (بین $-1$ و $0$).
* هر چه توان $n$ یک عدد $a$ در بازه‌ی $-1 < a < 1$ **بزرگتر** شود، مقدار **قدر مطلق** آن **کوچکتر** می‌شود. همچنین، چون توان‌ها فرد هستند، علامت منفی حفظ می‌شود.
* $|(-0.1)^5| < |(-0.1)^3| \Rightarrow 0.00001 < 0.001$
* اما چون هر دو منفی هستند، عددی که قدر مطلق کمتری دارد، **بزرگتر** است.
* $$-0.00001 > -0.001$$
* **پاسخ:** $\mathbf{(-0.1)^5 > (-0.1)^3}$
2. **ب) $\mathbf{(0.1)^5 \bigcirc (0.1)^3}$**
* **تحلیل:** عدد پایه $a = 0.1$ (بین $0$ و $1$).
* هر چه توان **بزرگتر** شود، مقدار کل **کوچکتر** می‌شود.
* $$0.00001 < 0.001$$
* **پاسخ:** $\mathbf{(0.1)^5 < (0.1)^3}$
3. **پ) $\mathbf{(-2)^5 \bigcirc (-2)^4}$**
* **تحلیل:** عدد پایه $a = -2$ (کوچکتر از $-1$).
* **سمت چپ:** توان فرد است، نتیجه منفی است. $$(-2)^5 = -32$$
* **سمت راست:** توان زوج است، نتیجه مثبت است. $$(-2)^4 = +16$$
* **پاسخ:** $\mathbf{(-2)^5 < (-2)^4}$
4. **ت) $\mathbf{\sqrt[5]{0.00001} \bigcirc 0.1}$**
* **محاسبه سمت چپ:** $$\sqrt[5]{0.00001} = \sqrt[5]{\frac{1}{100,000}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{100,000}} = \frac{1}{10} = 0.1$$
* **مقایسه:** $0.1 \bigcirc 0.1$
* **پاسخ:** $\mathbf{\sqrt[5]{0.00001} = 0.1}$
