پاسخ فعالیت اول صفحه 38 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 38 ریاضی دهم - بخش ۱ این فعالیت در مورد محاسبه‌ی نسبت‌های مثلثاتی برای **زوایای مرزی** (زوایایی که بر روی محورهای مختصات قرار می‌گیرند) است. این زوایا را نمی‌توان در یک مثلث قائم‌الزاویه‌ی معمولی قرار داد، اما با استفاده از **دایره‌ی مثلثاتی** (دایره‌ی واحد) به راحتی قابل محاسبه هستند. ### **تحلیل $\theta = 90^\circ$** **مفهوم:** زاویه‌ی $90^\circ$ بر روی **محور $y$ مثبت** قرار دارد. **نقطه‌ی انتهایی کمان ($P$):** نقطه‌ای که کمان $90^\circ$ دایره را قطع می‌کند، نقطه‌ی $\mathbf{B}$ است. مختصات این نقطه در دایره‌ی واحد ($r=1$) برابر است با $P(x, y) = B(0, 1)$. **فرمول‌های دایره‌ی مثلثاتی:** * $$\cos \theta = x$$ * $$\sin \theta = y$$ * $$\tan \theta = \frac{y}{x}$$ * $$\cot \theta = \frac{x}{y}$$ **محاسبات:** 1. **کسینوس:** $$\cos 90^\circ = x = \mathbf{0}$$ 2. **سینوس:** $$\sin 90^\circ = y = \mathbf{1}$$ 3. **تانژانت:** $$\tan 90^\circ = \frac{y}{x} = \frac{1}{0}$$ (چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است) $$\Rightarrow \tan 90^\circ = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$$ 4. **کتانژانت:** $$\cot 90^\circ = \frac{x}{y} = \frac{0}{1} = \mathbf{0}$$ **نتیجه:** نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی $90^\circ$ عبارتند از $\sin 90^\circ = 1$، $\cos 90^\circ = 0$ و $\tan 90^\circ$ تعریف نشده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 38 ریاضی دهم - بخش ۲ این بخش به زاویه‌ی $180^\circ$ مربوط است که بر روی **محور $x$ منفی** قرار دارد. ### **تحلیل $\theta = 180^\circ$** **مفهوم:** زاویه‌ی $180^\circ$ بر روی **محور $x$ منفی** قرار دارد. **نقطه‌ی انتهایی کمان ($P$):** نقطه‌ی $\mathbf{C}$ است. مختصات این نقطه در دایره‌ی واحد برابر است با $P(x, y) = C(-1, 0)$. **محاسبات:** * **کسینوس:** $\cos 180^\circ = x = \mathbf{-1}$ * **سینوس:** $\sin 180^\circ = y = \mathbf{0}$ * **تانژانت:** $\tan 180^\circ = \frac{y}{x} = \frac{0}{-1} = \mathbf{0}$ * **کتانژانت:** $\cot 180^\circ = \frac{x}{y} = \frac{-1}{0}$ $$\Rightarrow \cot 180^\circ = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$$ **نتیجه:** نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی $180^\circ$ عبارتند از $\sin 180^\circ = 0$، $\cos 180^\circ = -1$ و $\tan 180^\circ = 0$. ($\cot 180^\circ$ تعریف نشده است).

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 38 ریاضی دهم - بخش ۳ این بخش به زاویه‌ی $270^\circ$ مربوط است که بر روی **محور $y$ منفی** قرار دارد. ### **تحلیل $\theta = 270^\circ$** **مفهوم:** زاویه‌ی $270^\circ$ بر روی **محور $y$ منفی** قرار دارد. **نقطه‌ی انتهایی کمان ($P$):** نقطه‌ی $\mathbf{D}$ است. مختصات این نقطه در دایره‌ی واحد برابر است با $P(x, y) = D(0, -1)$. **محاسبات:** * **کسینوس:** $\cos 270^\circ = x = \mathbf{0}$ * **سینوس:** $\sin 270^\circ = y = \mathbf{-1}$ * **تانژانت:** $\tan 270^\circ = \frac{y}{x} = \frac{-1}{0}$ $$\Rightarrow \tan 270^\circ = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$$ * **کتانژانت:** $\cot 270^\circ = \frac{x}{y} = \frac{0}{-1} = \mathbf{0}$ **نتیجه:** نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی $270^\circ$ عبارتند از $\sin 270^\circ = -1$، $\cos 270^\circ = 0$ و $\cot 270^\circ = 0$. ($\tan 270^\circ$ تعریف نشده است).