می‌خواهیم مشخص کنیم ۴۷ اول است یا نه. مانند روش غربال، که در صفحۀ قبل توضیح داده شد، فرض کنید عددهای ۱ تا ۴۷ نوشته شده‌اند.
- آیا عدد ۴۷ با مضرب‌های ۲ خط می‌خورد؟ با انجام دادن چه عملی می‌توانید به این سؤال پاسخ دهید؟
- آیا عدد ۴۷ با مضرب‌های ۳ خط می‌خورد؟ چرا؟
- آیا عدد ۴۷ با مضرب‌های ۵ خط می‌خورد؟ چرا؟
- آیا لازم است بررسی کنیم که عدد ۴۷ با مضرب‌های ۷ خط می‌خورد یا نه؟ چرا؟
- آیا می‌توانیم نتیجه بگیریم که عدد ۴۷ را فقط بر عددهای اول تقسیم می‌کنیم؟ چرا؟
- چرا تقسیم کردن را تا عدد اولی که مربع آن از ۴۷ بزرگ‌تر شود ادامه می‌دهیم؟ توضیح دهید.
این سوالات، مراحل بررسی اول بودن یک عدد (در اینجا ۴۷) را گام به گام توضیح می‌دهند.
- **آیا ۴۷ با مضرب‌های ۲ خط می‌خورد؟** **خیر**. برای پاسخ به این سؤال، **عمل تقسیم** را انجام می‌دهیم. چون $۴۷$ بر $۲$ بخش‌پذیر نیست (باقیمانده دارد)، مضرب ۲ نیست.
- **آیا ۴۷ با مضرب‌های ۳ خط می‌خورد؟** **خیر**. **چرا؟** زیرا مجموع ارقام آن ($۴+۷=۱۱$) بر ۳ بخش‌پذیر نیست.
- **آیا ۴۷ با مضرب‌های ۵ خط می‌خورد؟** **خیر**. **چرا؟** زیرا رقم یکان آن ۰ یا ۵ نیست.
- **آیا لازم است مضرب‌های ۷ را بررسی کنیم؟** **بله**. **چرا؟** زیرا ۷ عدد اول بعدی است و ممکن است ۴۷ بر آن بخش‌پذیر باشد. (با تقسیم $۴۷$ بر $۷$ می‌بینیم که بخش‌پذیر نیست.)
- **آیا می‌توانیم نتیجه بگیریم که فقط بر عددهای اول تقسیم می‌کنیم؟** **بله**. **چرا؟** زیرا اگر عددی بر یک عدد مرکب (مانند ۶) بخش‌پذیر باشد، حتماً بر عوامل اول آن عدد مرکب (یعنی ۲ و ۳) نیز بخش‌پذیر است. پس برای بررسی اول بودن یک عدد، کافی است بخش‌پذیری آن را فقط بر اعداد اول بررسی کنیم.
- **چرا تقسیم را تا عدد اولی که مربعش از ۴۷ بزرگ‌تر شود، ادامه می‌دهیم؟**
ما به دنبال شمارنده‌های اول عدد ۴۷ هستیم. $ \sqrt{۴۷} \approx ۶.۸ $. اعداد اول کوچک‌تر از این مقدار $۲, ۳, ۵$ هستند. ما ۷ را هم بررسی می‌کنیم. عدد اول بعدی ۱۱ است و $۱۱^۲ = ۱۲۱$ که از ۴۷ بزرگ‌تر است.
**توضیح:** اگر عدد ۴۷ یک شمارنده اول بزرگ‌تر از $ \sqrt{۴۷} $ (مثلاً ۱۱) داشته باشد، آنگاه حاصل تقسیم ۴۷ بر آن شمارنده، باید عددی کوچک‌تر از $ \sqrt{۴۷} $ باشد ($ ۴۷ = ۱۱ \times k \implies k \approx ۴.۲ $). ما قبلاً بخش‌پذیری بر تمام اعداد اول کوچک‌تر از $ \sqrt{۴۷} $ را بررسی کرده‌ایم و شمارنده‌ای نیافته‌ایم. بنابراین، اگر تا $ \sqrt{۴۷} $ شمارنده اولی پیدا نشود، آن عدد حتماً اول است و نیازی به ادامه تقسیم نیست.
مانند نمونه، بررسی کنید که عددهای داده شده (۹۷، ۱۳۱ و ۱۴۳) اول یا مرکب هستند.
برای تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد، آن را بر اعداد اولی تقسیم می‌کنیم که مربعشان از آن عدد کوچک‌تر باشد. اگر بر هیچ‌کدام بخش‌پذیر نبود، عدد اول است.
- **بررسی عدد ۹۷ (نمونه):**
$ \sqrt{۹۷} \approx ۹.۸ $. اعداد اول برای بررسی: $۲, ۳, ۵, ۷$.
$۹۷$ بر هیچ‌یک از این اعداد بخش‌پذیر نیست، بنابراین **۹۷ اول است**.
- **بررسی عدد ۱۳۱:**
۱. ابتدا جذر عدد را پیدا می‌کنیم: $ \sqrt{۱۳۱} \approx ۱۱.۴ $. پس باید بخش‌پذیری بر اعداد اول کوچک‌تر از ۱۱.۴ یعنی $۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱$ را بررسی کنیم.
۲. **بررسی تقسیم:**
- بر ۲ بخش‌پذیر نیست (فرد است).
- بر ۳ بخش‌پذیر نیست (مجموع ارقام $۱+۳+۱=۵$ است).
- بر ۵ بخش‌پذیر نیست (رقم یکان ۰ یا ۵ نیست).
- $ ۱۳۱ \div ۷ = ۱۸ $ با باقیمانده $۵$.
- $ ۱۳۱ \div ۱۱ = ۱۱ $ با باقیمانده $۱۰$.
۳. **نتیجه:** چون ۱۳۱ بر هیچ‌یک از این اعداد اول بخش‌پذیر نیست، **۱۳۱ اول است**.
- **بررسی عدد ۱۴۳:**
۱. ابتدا جذر عدد را پیدا می‌کنیم: $ \sqrt{۱۴۳} \approx ۱۱.۹ $. پس باید بخش‌پذیری بر اعداد اول کوچک‌تر از ۱۱.۹ یعنی $۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱$ را بررسی کنیم.
۲. **بررسی تقسیم:**
- بر ۲، ۳ و ۵ بخش‌پذیر نیست.
- $ ۱۴۳ \div ۷ = ۲۰ $ با باقیمانده $۳$.
- $ ۱۴۳ \div ۱۱ = ۱۳ $.
۳. **نتیجه:** چون ۱۴۳ بر ۱۱ بخش‌پذیر است، **۱۴۳ مرکب است** ($۱۴۳ = ۱۱ \times ۱۳$).
