|
ریاضی دهم صفحه 96 - فعالیت 1
1) مجموعه A شامل سه دانشآموز به نامهای محمد، حسین و امید و مجموعه B شامل دو رشته ورزشی است که دانشآموزان میتوانند انتخاب کنند. کدام یک از نمودارهای پیکانی داده شده تابع است و کدام یک تابع نیست؟
(تصویر شامل سه نمودار پیکانی است که رابطهی بین دانشآموزان و ورزشهای والیبال و فوتبال را نشان میدهد.)
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 96 - فعالیت 1
سلام دانشآموزان عزیز! بیایید با هم این تمرین جذاب را حل کنیم. برای اینکه بفهمیم یک رابطه **تابع** است یا نه، یک قانون طلایی داریم: از هر عضو مجموعه اول (دامنه) باید **دقیقاً یک پیکان** خارج شود.
* **نمودار سمت راست:** از هر سه نفر (محمد، حسین و امید) فقط یک پیکان خارج شده و به یک ورزش وصل شده است. پس این رابطه یک **تابع** است. (فرقی نمیکند که حسین و امید هر دو فوتبال را انتخاب کردهاند، مهم این است که هر کدام فقط یک انتخاب دارند).
* **نمودار وسط:** در اینجا هم از هر نفر دقیقاً یک پیکان خارج شده است. محمد به فوتبال، حسین به فوتبال و امید هم به فوتبال وصل شدهاند. چون هیچکس دو انتخاب همزمان ندارد، این هم یک **تابع** است.
* **نمودار سمت چپ:** به پیکانهای خارج شده از محمد نگاه کنید! محمد هم به والیبال وصل شده و هم به فوتبال. یعنی یک نفر دو رشته ورزشی را انتخاب کرده است. طبق تعریف، این رابطه **تابع نیست**؛ چون از یک عضو دامنه دو پیکان خارج شده است.
**نکته آموزشی:** تابع مثل یک دستگاه است که برای هر ورودی، فقط و فقط یک خروجی تحویل میدهد.
ریاضی دهم صفحه 96 - فعالیت 2
2) از مجموعه A به مجموعه B نمودار پیکانی را طوری رسم کنید که یک تابع را نمایش دهد. از مجموعه X به مجموعه Y این کار را بهگونهای انجام دهید که حاصل یک تابع نباشد. پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید.
مجموعه A = {a, b, c} ، مجموعه B = {d, e, f}
مجموعه X = {5, 7} ، مجموعه Y = {2, 1}
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 96 - فعالیت 2
در این بخش میخواهیم خودمان طراح سوال باشیم!
**بخش اول (رسم تابع از A به B):**
برای اینکه رابطه ما **تابع** باشد، باید از هر کدام از اعضای $a$ و $b$ و $c$ فقط یک خط به سمت مجموعه B بکشیم.
مثلاً:
$a$ را به $d$ وصل کنید.
$b$ را به $e$ وصل کنید.
$c$ را به $f$ وصل کنید.
در این حالت از هر عضو مجموعه شروع، دقیقاً یک خروجی داریم.
**بخش دوم (رسم غیر تابع از X به Y):**
برای اینکه رابطه **تابع نباشد**، باید حداقل یکی از اعضای مجموعه X را به دو عضو در Y وصل کنیم یا یکی از اعضا را بدون پیکان رها کنیم.
مثلاً:
عدد $5$ را هم به $2$ و هم به $1$ وصل کنید.
چون ورودی $5$ دارای دو خروجی متفاوت شده است، این رابطه دیگر **تابع نیست**.
ریاضی دهم صفحه 96 - فعالیت تکمیل نمودار
جدولهای فعالیت ۱ را میتوان به کمک مجموعهها و پیکانهایی که اعضای آنها را به هم مربوط میکنند، مشخص کرد. به این شیوه نمایش، نمودارهای پیکانی میگوییم. یک نمونه کامل شده است. بقیه را شما کامل کنید.
(تصویر شامل چندین کادر برای رسم نمودارهای پیکانی مربوط به ساعت و دما، کالا و قیمت، درس و نمره و...) است.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 96 - فعالیت تکمیل نمودار
بیایید اطلاعات جدولهای صفحه قبل را به زبان **نمودار پیکانی** ترجمه کنیم:
1. **نمودار کالا (A) به قیمت (B):**
اعضای مجموعه A عبارتند از: {خودکار، دفتر، مداد، خطکش}. طبق جدول، قیمتها را در مجموعه B بنویسید و وصل کنید:
- خودکار $\leftarrow$ ۱۵۰۰
- دفتر $\leftarrow$ ۳۰۰۰
- مداد $\leftarrow$ ۱۰۰۰
- خطکش $\leftarrow$ ۱۵۰۰
(دقت کنید چون ۱۵۰۰ تکراری است، در مجموعه B فقط یک بار نوشته میشود و دو پیکان به آن وارد میشود).
2. **نمودار فرد (A) به روز تولد (B):**
نام افراد (رستگار، کشاورز و...) را در بیضی اول و روزهای هفته را در بیضی دوم بنویسید. بر اساس اطلاعات جدول، هر فرد را به روز تولدش وصل کنید.
**یادآوری:** در تمام این موارد، چون از هر ورودی فقط یک پیکان خارج میشود، همگی نمایشدهنده یک **تابع** هستند.
ریاضی دهم صفحه 96 - تمرین 3
3) الف) آیا رابطهای که به افراد سن آنها را نسبت میدهد، یک تابع است؟ رابطهای که به افراد وزن آنها را نسبت میدهد، چطور؟
ب) آیا رابطهای که به افراد غذای مورد علاقهی آنها را نسبت میدهد، یک تابع است؟ توضیح دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 96 - تمرین 3
این سوال به ما کمک میکند تا تابع را در زندگی روزمره درک کنیم:
**پاسخ قسمت الف:**
- **رابطه سن:** بله، **تابع است**. چون هر فرد در هر لحظه دقیقاً یک سن مشخص دارد. غیرممکن است یک نفر همزمان هم ۱۵ ساله باشد و هم ۱۷ ساله!
- **رابطه وزن:** بله، این هم **تابع است**. ترازوی دیجیتال برای هر فرد در یک لحظه فقط یک عدد را نشان میدهد. پس هر فرد (ورودی) دقیقاً یک وزن (خروجی) دارد.
**پاسخ قسمت ب:**
- **رابطه غذای مورد علاقه:** خیر، معمولاً **تابع نیست**. چرا؟ چون یک فرد ممکن است به چندین غذا (مثلاً قورمهسبزی، پیتزا و کباب) علاقه داشته باشد. وقتی یک ورودی (شخص) میتواند چندین خروجی (غذا) داشته باشد، شرط تابع بودن (تک خروجی بودن) نقض میشود.
**نتیجهگیری:** برای تابع بودن، خروجی باید **منحصر به فرد** باشد.
ریاضی دهم صفحه 96 - تمرین 4
4) کدام یک از نمودارهای پیکانی زیر یک تابع است؟
(تصویر شامل چهار نمودار پیکانی است: رابطه A به B، رابطه C به D، رابطه E به F و رابطه X به Y)
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 96 - تمرین 4
بیایید با هم تکتک نمودارها را با «عینک جادویی تعریف تابع» بررسی کنیم:
1. **نمودار A به B:** **تابع نیست**. زیرا از عضو $c$ هیچ پیکانی خارج نشده است. در تابع، همه اعضای دامنه باید حتماً یک تصویر داشته باشند.
2. **نمودار C به D:** **تابع نیست**. زیرا از عضو $a$ دو پیکان خارج شده و به $c$ و $d$ وصل شده است. ورودی نباید دو خروجی داشته باشد.
3. **نمودار E به F:** **تابع است**. از تمام اعضای مجموعه اول ($a$ و $b$ و $c$) دقیقاً یک پیکان خارج شده است. اینکه دو نفر به $d$ وصل شدهاند مشکلی ایجاد نمیکند.
4. **نمودار X به Y:** **تابع است**. از هر دو عضو $a$ و $b$ فقط یک پیکان خارج شده است. خالی ماندن عضو $e$ در مجموعه مقصد (Y) مانع تابع بودن نمیشود.
**نکته نهایی:** فقط به تعداد پیکانهای خارج شده از اعضای مجموعه سمت چپ دقت کنید؛ باید دقیقاً یکی باشد!
