پاسخ کار کلاس صفحه 34 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۱ این مسئله یک کاربرد عالی از **قانون سینوس‌ها** در مثلث‌های غیرقائم‌الزاویه است. چون هیچ زاویه‌ای ۹۰ درجه نیست، باید از ارتفاع کمکی استفاده کنیم. ### **گام ۱: پیدا کردن زاویه $B$ و رسم ارتفاع** **پیدا کردن $\hat{B}$:** مجموع زوایای داخلی هر مثلث $180^\circ$ است. $$\hat{B} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{C})$$ $$\hat{B} = 180^\circ - (60^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 125^\circ$$ $$\hat{B} = \mathbf{55^\circ}$$ **رسم ارتفاع:** ارتفاع $BH$ را از رأس $B$ بر ضلع $AC$ رسم می‌کنیم. این کار، مثلث $ABC$ را به دو مثلث قائم‌الزاویه $\triangle ABH$ و $\triangle CBH$ تقسیم می‌کند. *** ### **گام ۲ (ب): پیدا کردن طول ارتفاع $BH$** برای پیدا کردن طول $BH$، به مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle ABH$ نگاه می‌کنیم. * **زاویه:** $\hat{A} = 60^\circ$ * **وتر:** $AB = 30 \text{ متر}$ * **ضلع مقابل:** $BH$ (ارتفاع) از تعریف سینوس ($\sin A = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}$) استفاده می‌کنیم: $$\sin A = \frac{BH}{AB} \Rightarrow \sin 60^\circ = \frac{BH}{30}$$ $$\Rightarrow BH = 30 \times \sin 60^\circ$$ مقدار دقیق $\sin 60^\circ$ از جدول نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص، برابر $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است: $$BH = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{15\sqrt{3} \text{ متر}}$$ $$\text{یا به صورت تقریبی:} BH \approx 15 \times 1.732 \approx \mathbf{25.98} \text{ متر}$$ *** ### **گام ۳ (پ): پیدا کردن طول طناب دوم ($BC$)** حالا به مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\triangle CBH$ نگاه می‌کنیم. هدف ما پیدا کردن طول $BC$ است. * **زاویه:** $\hat{C} = 65^\circ$ * **وتر:** $BC$ (طناب دوم) * **ضلع مقابل:** $BH \approx 25.98 \text{ متر}$ دوباره از تعریف سینوس استفاده می‌کنیم: $$\sin C = \frac{BH}{BC} \Rightarrow \sin 65^\circ = \frac{BH}{BC}$$ $$\Rightarrow BC = \frac{BH}{\sin 65^\circ}$$ با جایگذاری مقادیر تقریبی ($$\sin 65^\circ \approx 0.9$$ و $BH \approx 25.98$): $$BC \approx \frac{25.98}{0.9} \approx \mathbf{28.87} \text{ متر}$$ **پاسخ نهایی:** طول طناب دوم ($BC$) تقریباً $\mathbf{28.87 \text{ متر}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 34 ریاضی دهم - مسئله ۲ این مسئله یک مثال ساده و مهم از کاربرد نسبت‌های مثلثاتی در **مثلث قائم‌الزاویه‌ی $30-60-90$** است که در آن از سینوس و قضیه فیثاغورس برای پیدا کردن اضلاع استفاده می‌کنیم. در شکل، مثلث $ABC$ قائم‌الزاویه است ($\hat{B} = 90^\circ$). * **وتر:** $AC$ (طول نردبان) = $8 \text{ متر}$ * **زاویه:** $\hat{A} = \theta = 30^\circ$ * **ضلع مقابل:** $BC$ (ارتفاع پنجره تا زمین) * **ضلع مجاور:** $AB$ (فاصله پای نردبان تا ساختمان) ### **گام ۱: پیدا کردن ارتفاع پنجره ($BC$) با استفاده از سینوس** از تعریف سینوس ($\sin \theta = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}$) استفاده می‌کنیم: $$\sin \theta = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{BC}{8}$$ از جدول زوایای خاص می‌دانیم که $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ است. **تکمیل جاهای خالی (بخش سینوس):** $$\sin \theta = \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{AC}} = \frac{\mathbf{BC}}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{BC}{8}$$ با طرفین وسطین:\n$$2BC = \mathbf{8} \Rightarrow BC = \mathbf{4}$$ **پاسخ:** ارتفاع پنجره تا زمین ($BC$) برابر $\mathbf{4 \text{ متر}}$ است. (به خاطر بسپارید که در مثلث $30-60-90$، ضلع مقابل زاویه $30^\circ$ همیشه نصف وتر است! $4 = 8/2$). *** ### **گام ۲: پیدا کردن فاصله پای نردبان تا ساختمان ($AB$) با استفاده از فیثاغورس** اکنون که دو ضلع از مثلث قائم‌الزاویه را داریم ($AC=8$ و $BC=4$)، می‌توانیم ضلع سوم ($AB$) را با قضیه‌ی فیثاغورس ($a^2 + b^2 = c^2$) به دست آوریم: $$AB^2 + BC^2 = AC^2 \Rightarrow AB^2 = AC^2 - BC^2$$ **تکمیل جاهای خالی (بخش فیثاغورس):** $$AB^2 = 8^2 - 4^2 = \mathbf{64} - \mathbf{16} = \mathbf{48} \Rightarrow AB = \mathbf{\sqrt{48}}$$ **ساده‌سازی رادیکال:** $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$ $$\text{یا به صورت تقریبی:} AB \approx 4 \times 1.732 \approx 6.93 \text{ متر}$$ **پاسخ نهایی:** فاصله‌ی پای نردبان تا ساختمان ($AB$) برابر $\mathbf{4\sqrt{3} \text{ متر}}$ است.