سوال1 صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
در جدول زیر، مقادیر مربوط به چهار تابع داده شده است. کدام جدول می‌تواند مربوط به یک تابع خطی باشد؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام سوال1 صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
برای تشخیص تابع خطی از میان چهار جدول داده شده، باید بررسی کنیم که تغییر در متغیر مستقل (x) با تغییر ثابت در متغیر وابسته (تابع) همراه است.
برای تابع g(x)، تغییرات یکنواخت نیست. برای تابع f(x)، تغییرات نسبت به x یکنواخت نیست.
تابع k(x) دارای تغییرات یکنواخت است، به طوری که هر افزایش واحد در x، باعث افزایش دو واحد در k(x) می‌شود. بنابراین، k(x) تابع خطی است.
تابع h(x) چون همیشه مقدار ثابتی دارد و به تغییرات x وابسته نیست، تابع خطی نیست.
بنابراین، تنها جدول مربوط به تابع خطی، جدول k(x) است.
سوال2 الف صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
علی در یک شرکت بیمه کار می‌کند. او 1,000,000 تومان به‌عنوان حقوق پایه دریافت می‌کند و به‌ازای هر مشتری جدید که جذب می‌کند، 50,000 تومان به حقوقش اضافه می‌شود. تابعی به‌عنوان قانونی برای حقوق علی بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام سوال2 الف صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
برای نوشتن تابع حقوق علی، فرض کنید تعداد مشتریان جدیدی که علی در ماه جذب می‌کند n باشد.
- حقوق پایه: 1,000,000 تومان
- مبلغ اضافه به‌ازای هر مشتری جدید: 50,000 تومان
بنابراین تابع حقوق علی به شکل:
\[ H(n) = 1,000,000 + 50,000n \]
است که H(n) نشان‌دهنده حقوق کل علی بر اساس تعداد مشتریان جدید n است.
سوال2 ب صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
اگر او در یک ماه 12 مشتری جدید جذب کرده باشد، میزان حقوق او در آن ماه چقدر خواهد بود؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام سوال2 ب صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
برای محاسبه حقوق علی در صورتی که در یک ماه 12 مشتری جدید جذب کند، کافی است n = 12 را در تابع حقوق جایگذاری کنیم.
تابع حقوق:
\[ H(n) = 1,000,000 + 50,000n \]
جایگذاری n = 12:
\[ H(12) = 1,000,000 + 50,000 \times 12 \]
\[ H(12) = 1,000,000 + 600,000 \]
\[ H(12) = 1,600,000 \]
بنابراین، حقوق علی در آن ماه 1,600,000 تومان خواهد بود.
سوال2 پ صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
چرا این تابع خطی است؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام سوال2 پ صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
تابع خطی به این دلیل است که تغییرات حقوق علی به‌صورت ثابت و خطی با تعداد مشتریان جدید (n) متناسب است. هر واحد افزایش در n منجر به افزایش ثابت 50,000 تومان در حقوق می‌شود.
فرم تابع خطی به صورت عمومی:\[ y = mx + b \]
که در اینجا:\[ H(n) = 50,000n + 1,000,000 \]
اینجا m همان ضریب n است که 50,000 است. این تابع خطی است زیرا ضریبی ثابت را به n نسبت می‌دهیم و شیب ثابت است.
سوال2 ت صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
اگر علی بخواهد در یک ماه 2,000,000 تومان حقوق بگیرد، در این ماه چند مشتری باید جذب کند؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام سوال2 ت صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
برای یافتن تعداد مشتریانی که علی باید جذب کند تا مجموع حقوق او 2,000,000 تومان باشد، از تابع حقوق استفاده می‌کنیم:
\[ H(n) = 1,000,000 + 50,000n \]
می‌خواهیم: \[ H(n) = 2,000,000 \]
معادله را حل می‌کنیم:
\[ 2,000,000 = 1,000,000 + 50,000n \]
\[ 1,000,000 = 50,000n \]
\[ n = \frac{1,000,000}{50,000} \]
\[ n = 20 \]
بنابراین، علی باید 20 مشتری جذب کند تا حقوقش در ماه برابر 2,000,000 تومان شود.
سوال3 صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
آرمان سوار بر یک کشتی، در فاصله 10 کیلومتری از ساحل قرار دارد و با سرعت ثابت 3 کیلومتر بر ساعت از ساحل دور می‌شود. این حرکت 5 ساعت ادامه داشته است.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام سوال3 صفحه 47 ریاضی یازدهم هنرستان
برای پیدا کردن مسافت نهایی آرمان از ساحل پس از ۵ ساعت حرکت با سرعت ثابت ۳ کیلومتر بر ساعت، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد:
\[ ext{مسافت} = ext{سرعت} \times ext{زمان} \]
مقدار اولیه فاصله از ساحل: 10 کیلومتر
سرعت: 3 کیلومتر بر ساعت
زمان: 5 ساعت
افزایش در فاصله:
\[ ext{افزایش در فاصله} = 3 \times 5 = 15 \text{ کیلومتر} \]
فاصله نهایی:
\[ ext{فاصله نهایی} = 10 + 15 = 25 \text{ کیلومتر} \]
بنابراین، پس از 5 ساعت، آرمان در فاصله 25 کیلومتری از ساحل خواهد بود.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
الف) قانون و دامنه تابع مربوط به فاصلهٔ آرمان از ساحل (برحسب کیلومتر) را برحسب t (زمان برحسب ساعت) بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
برای تعیین قانون تابع، فرض کنید سرعت آرمان در حرکت کردن ثابت است و فاصله او از ساحل در ابتدا برابر با مقداری است. بنابراین قانون کلی به صورت \( d(t) = vt + d_0 \) خواهد بود. در اینجا \( v \) سرعت و \( d_0 \) فاصله اولیه از ساحل است. دامنه این تابع معمولاً از صفر تا زمان پایان حرکت تعریف می‌شود.
نکته: **سرعت** (v) و **فاصله اولیه** (d_0) بر حسب شرایط مسئله تعریف می‌شوند.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
ب) آرمان پس از ۲ ساعت در چه فاصله‌ای از ساحل خواهد بود؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
با استفاده از قانون تابع که قبلاً نوشته شده است \( d(t) = vt + d_0 \)، می‌توانیم مقدار \( t = 2 \) را جایگذاری کنیم تا فاصله آرمان از ساحل بعد از ۲ ساعت محاسبه شود:
\[
d(2) = v(2) + d_0 \\
\]
برای پیدا کردن مقدار دقیق، باید مقادیر \( v \) و \( d_0 \) را داشته باشیم.
اگر فرض کنیم \( v = 5 \) کیلومتر بر ساعت و \( d_0 = 10 \) کیلومتر، آنگاه:
\[
d(2) = 5 imes 2 + 10 = 20 \\
\]
بنابراین، آرمان پس از ۲ ساعت 20 کیلومتر از ساحل فاصله خواهد داشت.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
پ) چرا این تابع خطی است؟ شیب نمودار این تابع مثبت است یا منفی؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
این تابع خطی است زیرا به صورت \( d(t) = vt + d_0 \) نوشته شده است، که یک معادله خطی استاندارد است. در این معادله، \( v \) مقدار ثابت و شیب خط است و \( d_0 \) جزء ثابت است.
**شیب مثبت** نشان می‌دهد که فاصله آرمان با افزایش زمان افزایش می‌یابد. اگر مقدار \( v > 0 \) باشد، شیب خط مثبت است و نشان می‌دهد که آرمان در حال دور شدن از نقطه مرجع (ساحل) است. بنابراین شیب نمودار تابع مثبت است.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
الف) دمای هوا در شهر تهران در تابستان، در طول یک هفته، در ساعت 1 ظهر، 35 درجه سانتی‌گراد بوده است.
جدول زیر را کامل کنید.
(روز d)
1
2
3
4
5
6
7
(دما برحسب درجه سانتی‌گراد t)
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
با توجه به اینکه دمای هوا هر روز ساعت 1 ظهر 35 درجه سانتی‌گراد باقی می‌ماند، می‌توان گفت که دما در تمام روزهای هفته ثابت است. بنابراین جدول به صورت زیر کامل می‌شود:
| روز (d) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---------|---|---|---|---|---|---|---|
| دما (t) | 35| 35| 35| 35| 35| 35| 35|
این جدول نشان می‌دهد که دما در طول هفته ثابت مانده است.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
ب) دامنه و قانون این تابع را بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
**قانون تابع:** از آنجا که دما در هر روز هفته 35 درجه سانتی‌گراد است، می‌توان گفت که تابع دما به صورت \( t(d) = 35 \) خواهد بود، جایی که \( d \) روز هفته را نشان می‌دهد.
**دامنه تابع:** دامنه تابع شامل تمام روزهای هفته است، بنابراین \( d \) می‌تواند عددی بین 1 و 7 باشد (یعنی \( d n \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)).
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
پ) آیا این تابع، یک تابع ثابت است؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
توصیف تابع \( t(d) = 35 \) نشان می‌دهد که در این تابع، مقدار خروجی برای هر مقدار ورودی (یعنی هر روز) ثابت است. بنابراین تابع **یک تابع ثابت** است زیرا برای هر \( d \) مقدار دما 35 درجه سانتی‌گراد خواهد بود.
دلیل اینکه این تابع ثابت است این است که مقدار خروجی تابع در تمام نقاط دامنه یکسان و تغییرناپذیر است.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
ت) نمودار تابع را در دامنه‌اش رسم کنید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
برای رسم نمودار تابع \( t(d) = 35 \)، محور افقی را برای روزهای هفته (\( d \)) و محور عمودی را برای دما (\( t \)) در نظر بگیرید.
هر روز از هفته، مقدار دما ثابت و برابر 35 خواهد بود. بنابراین نمودار یک خط افقی موازی با محور افقی و در ارتفاع 35 از محور عمودی خواهد بود.
**نمودار** این تابع یک **خط افقی** است که در تمام نقاط دامنه \( d \) مقدار ثابت 35 درجه سانتی‌گراد را نشان می‌دهد. این همان چیزی است که یک تابع ثابت را توصیف می‌کند.
فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
الف) رابطه بین دو واحد اندازه‌گیری دما در درجه سانتی‌گراد (C) و درجه فارنهایت (F) با قانون \F, = \frac{9}{5}c + 32\ بیان می‌شود.
مقادیرهای \(F(28)\) و \(F(-40)\) را محاسبه کنید و معنای آن را بیان کنید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت صفحه 48 ریاضی یازدهم هنرستان
برای پیدا کردن \(F(28)\)
\[
F(28) = \frac{9}{5} \times 28 + 32
\]
\[
= 50.4 + 32 = 82.4
\]
بنابراین، 28 درجه سانتی‌گراد معادل 82.4 درجه فارنهایت است.
برای پیدا کردن \(F(-40)\)
\[
F(-40) = \frac{9}{5} \times (-40) + 32
\]
\[
= -72 + 32 = -40
\]
جالب توجه است که -40 درجه سانتی‌گراد معادل -40 درجه فارنهایت است. این نشان می‌دهد نقطه‌ای که در آن دماسنج‌های سانتی‌گراد و فارنهایت عدد یکسانی نشان می‌دهند.
