فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
معادلهٔ \(x^2 + 7x - 6 = 0\) را در نظر بگیرید. جملاتی را که مجهول دارند، در یک طرف تساوی نگه دارید و جملهٔ ثابت را به طرف دیگر ببرید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
برای شروع حل معادله، ابتدا باید جمله‌های دارای مجهول \(x\) را در یک طرف تساوی جمع کنید و جملهٔ ثابت را به طرف دیگر ببرید. معادله اصلی به صورت \(x^2 + 7x = 6\) در می‌آید.
فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
نصف ضریب \(x\) در معادلهٔ بالا را به دست آورید و آن را به توان ۲ برسانید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
ضریب \(x\) در معادله \(x^2 + 7x = 6\) برابر 7 است. نصف آن برابر \(\frac{7}{2}\) است. حالا این مقدار را به توان 2 می‌رسانیم:
\[
\left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{49}{4}
\]
این مقدار را برای ادامه مراحل در نظر می‌گیریم.
فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
عدد بدست آمده از مرحله (2) را به دو طرف معادلهٔ مرحله (1) اضافه کنید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
عدد \(\frac{49}{4}\) را به دو طرف معادله \(x^2 + 7x = 6\) اضافه می‌کنیم:
\[
x^2 + 7x + \frac{49}{4} = 6 + \frac{49}{4}
\]
با این کار طرفین معادله متعادل شده و آمادهٔ تبدیل به مربع کامل می‌شود.
فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
طرف اول تساوی را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای، بصورت مجذور یک عبارت بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
می‌دانیم که اتحاد مربع دو جمله‌ای به صورت:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
در اینجا، می‌توانیم طرف چپ معادله را به صورت مربع کامل بیان کنیم:
\[
x^2 + 7x + \frac{49}{4} = \left(x + \frac{7}{2}\right)^2
\]
به این ترتیب، مربع کامل را تشکیل دادیم.
فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
از دو طرف تساوی جذر بگیرید و دو جواب برای \(x\) بدست آورید.
پاسخ تشریحی و گام‌به‌گام فعالیت 5 صفحه 88 ریاضی دهم هنرستان
هنگام جذرگیری از هر دو طرف معادله:
\[
\sqrt{\left(x + \frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{73}{4}}
\]
به معادله زیر می‌رسیم:
\[
x + \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{73}}{2}
\]
حال، \(x\) را محاسبه می‌کنیم:
\[x = -\frac{7}{2} \pm \frac{\sqrt{73}}{2}\]
بنابراین دو جواب ممکن برابرند با:
\[x_1 = -\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{73}}{2}\]
\[x_2 = -\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{73}}{2}\]
این دو مقدار، جواب‌های معادله درجه دوم اصلی هستند.
