حل فعالیت صفحه 138 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 138 - سوال 1 سلام دانش‌آموزان عزیز! این سوال به ما کمک می‌کند تا مفهوم **دایره** را بهتر درک کنیم. بیایید مرحله به مرحله جلو برویم: ### گام اول: پیدا کردن پنج نقطه فرض کنید نقطه $\mathbf{O}$ مرکز یک صفحه باشد. برای پیدا کردن پنج نقطه‌ای که فاصله‌ی آن‌ها از $\mathbf{O}$ دقیقاً ۲ سانتی‌متر باشد، کافی است که از نقطه $\mathbf{O}$ شروع کنیم و در جهت‌های مختلف (بالا، پایین، چپ، راست، و یک جهت دیگر مثلاً مورب) به اندازه ۲ سانتی‌متر جلو برویم و نقاط $\mathbf{A}$، $\mathbf{B}$، $\mathbf{C}$، $\mathbf{D}$، و $\mathbf{E}$ را علامت بزنیم. به عبارت ریاضی: * اگر $\mathbf{d}(\mathbf{O}, \mathbf{A})$ فاصله‌ی $\mathbf{O}$ تا $\mathbf{A}$ باشد، باید داشته باشیم: $$\mathbf{d}(\mathbf{O}, \mathbf{A}) = 2 \text{ cm}$$ و همین‌طور برای چهار نقطه‌ی دیگر. ### گام دوم: بررسی حالت افزایش نقاط حالا فرض کنید به جای فقط ۵ نقطه، **بی‌نهایت** نقطه پیدا کنیم که فاصله‌ی همه‌ی آن‌ها از $\mathbf{O}$ دقیقاً ۲ سانتی‌متر باشد. این نقاط چه شکلی را می‌سازند؟ اگر تمام نقاطی که فاصله‌شان از یک نقطه‌ی ثابت ($\mathbf{O}$) به اندازه‌ی یک مقدار ثابت (۲ سانتی‌متر) است را روی یک صفحه علامت بزنیم، شکل حاصل یک **دایره** خواهد بود. * **شکل ایجاد شده:** **دایره** **نکته‌ی کلیدی (تعریف دایره):** > **دایره** مجموعه‌ی همه‌ی نقاطی در یک صفحه است که فاصله‌ی آن‌ها از یک نقطه‌ی ثابت به نام **مرکز** (نقطه $\mathbf{O}$ در این سوال) به یک اندازه‌ی ثابت و مشخص به نام **شعاع** (۲ سانتی‌متر در این سوال) باشد. به زبان ساده، دایره مثل مسیری است که اگر یک نخ ۲ سانتی‌متری را به $\mathbf{O}$ وصل کنیم و سر دیگرش را روی صفحه بچرخانیم، رسم می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 138 - سوال 3 خب دوستان، این سوال به ما مفهوم **فاصله نقطه از خط** و **خط مماس بر دایره** را آموزش می‌دهد. به شکل دقت کنید: ### قسمت اول: فاصله‌ی مرکز دایره از خط $\mathbf{d}$ بر اساس تعریف اول سوال، **فاصله‌ی یک نقطه از یک خط**، طول **کوتاه‌ترین پاره‌خط** (عمود) است که آن نقطه را به خط وصل می‌کند. 1. نقطه‌ی ما: **مرکز دایره** ($\mathbf{O}$). 2. خط ما: **خط $\mathbf{d}$**. 3. در شکل، پاره‌خط‌های $\mathbf{OA}$، $\mathbf{OC}$، $\mathbf{OD}$، و $\mathbf{OF}$ همگی $\mathbf{O}$ را به خط $\mathbf{d}$ وصل کرده‌اند. 4. پاره‌خط $\mathbf{OD}$ تنها پاره‌خطی است که بر خط $\mathbf{d}$ **عمود** است (علامت مربع کوچک نشانه‌ی زاویه $\mathbf{90^{\circ}}$ است). بنابراین، **پاره‌خط $\mathbf{OD}$** کوتاه‌ترین پاره‌خط و نشان‌دهنده‌ی فاصله‌ی مرکز دایره ($\mathbf{O}$) از خط ($\mathbf{d}$) است. ### قسمت دوم: مقایسه‌ی اندازه‌ی پاره‌خط $\mathbf{OD}$ با شعاع ($\mathbf{r}$) در سوال آمده است که خط $\mathbf{d}$ بر دایره $\mathbf{c}$ **مماس** است. * **تعریف خط مماس:** خطی که دایره را فقط در **یک نقطه** قطع کند (نقطه‌ی تماس). * در شکل، نقطه‌ی تماس خط $\mathbf{d}$ با دایره، نقطه‌ی $\mathbf{D}$ است. یک ویژگی بسیار مهم خط مماس این است که **شعاعی که به نقطه‌ی تماس وصل می‌شود، بر خط مماس عمود است.** 1. پاره‌خط $\mathbf{OD}$ هم شعاع دایره است (چون $\mathbf{O}$ مرکز و $\mathbf{D}$ نقطه‌ای روی محیط دایره است). پس طول $\mathbf{OD}$ برابر با **شعاع $\mathbf{r}$** است. 2. همانطور که دیدیم، $\mathbf{OD}$ بر $\mathbf{d}$ عمود است و فاصله‌ی $\mathbf{O}$ از $\mathbf{d}$ را نشان می‌دهد. بنابراین، اندازه‌ی پاره‌خط $\mathbf{OD}$ با شعاع ($\mathbf{r}$) **برابر** است. $${|\mathbf{OD}| = \mathbf{r}}$$ **نتیجه‌گیری:** اگر یک خط بر دایره مماس باشد، فاصله‌ی مرکز دایره تا آن خط دقیقاً برابر با شعاع دایره است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 138 - سوال 4 این تمرین خیلی مهم است و به ما رابطه‌ی بین خط و دایره را بر اساس مقایسه‌ی شعاع و فاصله‌ی مرکز از خط (فاصله $\mathbf{\overline{OH}}$) آموزش می‌دهد. همانطور که در سوال قبل آموختیم، $\mathbf{\overline{OH}}$ فاصله‌ی عمودی مرکز دایره ($\mathbf{O}$) از خط ($\mathbf{d}$) است. بیایید هر سه حالت را بررسی کنیم: ### حالت ۱: خط $\mathbf{d}$ مماس بر دایره (شکل سمت چپ) * **وضعیت:** خط $\mathbf{d}$ دایره را در یک نقطه ($\mathbf{H}$) قطع کرده است، پس $\mathbf{d}$ بر دایره **مماس** است. * **رابطه:** وقتی خطی مماس باشد، فاصله‌ی مرکز تا خط ($\mathbf{\overline{OH}}$) دقیقاً برابر با شعاع ($\mathbf{r}$) است. $${\mathbf{r} = \mathbf{\overline{OH}}}$$ ### حالت ۲: خط $\mathbf{d}$ خارج از دایره (شکل وسط) * **وضعیت:** خط $\mathbf{d}$ دایره را اصلاً قطع نکرده است و کاملاً **خارج** از دایره قرار دارد. * **رابطه:** در این حالت، کوتاه‌ترین فاصله‌ی $\mathbf{O}$ تا خط ($\mathbf{\overline{OH}}$) حتماً **بزرگ‌تر** از شعاع ($\mathbf{r}$) است؛ چون اگر $\mathbf{\overline{OH}}$ برابر یا کوچک‌تر از $\mathbf{r}$ بود، خط $\mathbf{d}$ باید دایره را قطع می‌کرد یا به آن مماس می‌شد. $${\mathbf{r} < \mathbf{\overline{OH}}}$$ ### حالت ۳: خط $\mathbf{d}$ قاطع دایره (شکل سمت راست) * **وضعیت:** خط $\mathbf{d}$ دایره را در دو نقطه قطع کرده است، پس $\mathbf{d}$ بر دایره **قاطع** (برنده) است. * **رابطه:** در این حالت، فاصله‌ی مرکز تا خط ($\mathbf{\overline{OH}}$) حتماً **کوچک‌تر** از شعاع ($\mathbf{r}$) است. اگر $\mathbf{\overline{OH}}$ برابر یا بزرگ‌تر از $\mathbf{r}$ بود، خط $\mathbf{d}$ نمی‌توانست دایره را در دو نقطه قطع کند. $${\mathbf{r} > \mathbf{\overline{OH}}}$$ --- **جمع‌بندی جدول رابطه‌ی خط و دایره:** | وضعیت خط نسبت به دایره | رابطه‌ی شعاع ($\mathbf{r}$) و فاصله ($\mathbf{\overline{OH}}$) | | :---: | :---: | | **مماس** (یک نقطه تماس) | $\mathbf{r} = \mathbf{\overline{OH}}$ | | **خارج از دایره** (بدون تماس) | $\mathbf{r} < \mathbf{\overline{OH}}$ | | **قاطع** (دو نقطه تقاطع) | $\mathbf{r} > \mathbf{\overline{OH}}$ |