حل فعالیت و کاردرکلاس صفحه 8 ریاضی هشتم

وقتی فاصله بین دو عدد ۱ و ۲ به دو قسمت مساوی تقسیم می‌شود، نقطه‌ای که در وسط قرار می‌گیرد، میانگین این دو عدد است. این نقطه نشان‌دهنده عددی است که به اندازه نصف واحد ($ \frac{۱}{۲} $) از عدد ۱ بزرگ‌تر است. بنابراین، عدد مورد نظر برابر است با: $ ۱ + \frac{۱}{۲} = ۱\frac{۱}{۲} $ این عدد را می‌توان به صورت کسر بزرگ‌تر از واحد ($ \frac{۳}{۲} $) یا به صورت اعشاری ($۱.۵$) نیز نمایش داد.

با تقسیم کردن فاصله بین ۱ و ۲ به سه قسمت مساوی، هر قسمت برابر با $ \frac{۱}{۳} $ خواهد بود. - **نقطه اول (سمت چپ):** این نقطه به اندازه یک قسمت ($ \frac{۱}{۳} $) از عدد ۱ به سمت راست حرکت کرده است. بنابراین، این نقطه عدد $ ۱ + \frac{۱}{۳} = ۱\frac{۱}{۳} $ یا $ \frac{۴}{۳} $ را نشان می‌دهد. - **نقطه دوم (سمت راست):** این نقطه به اندازه دو قسمت ($ \frac{۲}{۳} $) از عدد ۱ به سمت راست حرکت کرده است. بنابراین، این نقطه عدد $ ۱ + \frac{۲}{۳} = ۱\frac{۲}{۳} $ یا $ \frac{۵}{۳} $ را نشان می‌دهد.

در این محور، فاصله بین ۱ و ۲ به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده است، بنابراین هر قسمت نشان‌دهنده $ \frac{۱}{۱۰} $ یا $۰.۱$ است. برای تبدیل اعداد اعشاری روی محور به کسر، می‌توانیم آن‌ها را به صورت عدد مخلوط و سپس کسر بزرگ‌تر از واحد بنویسیم. - نقطه $۱.۱$: این نقطه برابر است با $ ۱ \frac{۱}{۱۰} $ که به صورت کسری $ \frac{۱۱}{۱۰} $ نوشته می‌شود. - نقطه $۱.۲$ (نمونه): $ ۱.۲ = ۱ \frac{۲}{۱۰} = \frac{۱۲}{۱۰} $ - نقطه $۱.۵$: این نقطه برابر است با $ ۱ \frac{۵}{۱۰} $ که به صورت کسری $ \frac{۱۵}{۱۰} $ نوشته می‌شود.

برای نوشتن تعداد بیشتری عدد کسری بین ۱ و ۲، کافی است فاصله بین این دو عدد را به تعداد قسمت‌های مساوی بیشتری تقسیم کنیم. هرچه تعداد تقسیم‌بندی‌ها بیشتر باشد، تعداد کسرهایی که می‌توانیم بنویسیم نیز بیشتر می‌شود. - **مثال ۱:** اگر فاصله را به **۱۰** قسمت تقسیم کنیم، می‌توانیم کسرهایی مانند $ ۱\frac{۱}{۱۰}, ۱\frac{۲}{۱۰}, ..., ۱\frac{۹}{۱۰} $ را بنویسیم. - **مثال ۲:** اگر فاصله را به **۱۰۰** قسمت تقسیم کنیم، می‌توانیم کسرهایی مانند $ ۱\frac{۱}{۱۰۰}, ۱\frac{۲}{۱۰۰}, ..., ۱\frac{۹۹}{۱۰۰} $ را بنویسیم. این فرآیند را می‌توانیم با تقسیم کردن به ۱۰۰۰، ۱۰۰۰۰، و بی‌نهایت قسمت دیگر ادامه دهیم. بنابراین، با افزایش تعداد تقسیم‌بندی‌ها، می‌توانیم تعداد نامحدودی عدد کسری بین ۱ و ۲ پیدا کنیم.

۱. **آیا می‌توانیم بگوییم بین دو عدد ۱ و ۲ کسرهای بی‌شماری وجود دارد؟** **بله**. همان‌طور که در سوال قبل دیدیم، ما می‌توانیم فاصله بین ۱ و ۲ را به هر تعداد دلخواه (۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰ و ...) تقسیم کنیم و در هر حالت، اعداد کسری جدیدی پیدا کنیم. چون این فرآیند تقسیم کردن هیچ‌گاه متوقف نمی‌شود، پس می‌توان نتیجه گرفت که بین ۱ و ۲، بی‌شمار عدد کسری وجود دارد. ۲. **آیا همین نتیجه را می‌توان برای عددهای ۱- و ۲- نیز تکرار کرد؟** **بله**. دقیقاً همین منطق برای هر دو عدد دیگری نیز صادق است. می‌توان فاصله بین $-۲$ و $-۱$ را نیز به بی‌نهایت قسمت مساوی تقسیم کرد و بی‌شمار عدد کسری مانند $ -۱\frac{۱}{۲}, -۱\frac{۱}{۳}, -۱\frac{۱}{۴} $ و ... پیدا کرد. ۳. **بین هر دو عدد صحیح چند عدد کسری هست؟** بین هر دو عدد صحیح **متفاوت**، **بی‌شمار** عدد کسری وجود دارد. این ویژگی چگالی اعداد گویا (کسری) نامیده می‌شود.

**بخش اول: کسرهای بین ۰ و ۱-** با توجه به محورها، می‌توان کسرهای زیر را بین ۰ و $-۱$ نوشت: - از محور اول (تقسیم به ۲ قسمت): $ -\frac{۱}{۲} $ - از محور دوم (تقسیم به ۴ قسمت): $ -\frac{۱}{۴}, -\frac{۲}{۴}, -\frac{۳}{۴} $ - از محور سوم (تقسیم به ۸ قسمت): $ -\frac{۱}{۸}, -\frac{۲}{۸}, -\frac{۳}{۸}, -\frac{۴}{۸}, -\frac{۵}{۸}, -\frac{۶}{۸}, -\frac{۷}{۸} $ **بخش دوم: پیدا کردن بی‌شمار کسر بین دو عدد کسری** برای پیدا کردن بی‌شمار عدد کسری بین هر دو کسر دلخواه، می‌توانیم از روش "مخرج مشترک بزرگ‌تر" استفاده کنیم. فرض کنید می‌خواهیم بین دو کسر $ \frac{۱}{۳} $ و $ \frac{۲}{۳} $ کسرهای دیگری پیدا کنیم. در نگاه اول به نظر می‌رسد عددی بین آن‌ها نیست. 1. صورت و مخرج هر دو کسر را در یک عدد یکسان (مثلاً ۱۰) ضرب می‌کنیم تا کسرهای مساوی با مخرج بزرگ‌تر به دست آوریم: $ \frac{۱}{۳} = \frac{۱ \times ۱۰}{۳ \times ۱۰} = \frac{۱۰}{۳۰} $ $ \frac{۲}{۳} = \frac{۲ \times ۱۰}{۳ \times ۱۰} = \frac{۲۰}{۳۰} $ 2. حالا به راحتی می‌توان کسرهای زیادی بین $ \frac{۱۰}{۳۰} $ و $ \frac{۲۰}{۳۰} $ نوشت: $ \frac{۱۱}{۳۰}, \frac{۱۲}{۳۰}, \frac{۱۳}{۳۰}, ..., \frac{۱۹}{۳۰} $ چون می‌توانستیم به جای ۱۰ در هر عدد بزرگ‌تری ضرب کنیم، این فرآیند نشان می‌دهد که بین هر دو عدد کسری نیز بی‌شمار عدد کسری دیگر وجود دارد.