حل تمرین صفحه 5 ریاضی هشتم

برای پاسخ به این سوال، باید با مفهوم اعداد صحیح و ترتیب آن‌ها روی محور اعداد آشنا باشیم. **الف) عددهای صحیح بین $۳$ و $-۵$:** این اعداد شامل تمام عددهای صحیحی هستند که بزرگ‌تر از $-۵$ و کوچک‌تر از $۳$ باشند. این اعداد عبارتند از: $ \{ -۴, -۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲ \} $ **ب) عددهای صحیح کوچک‌تر از $-۴$:** این‌ها اعدادی هستند که روی محور اعداد در سمت چپ $-۴$ قرار می‌گیرند. این مجموعه نامتناهی است: $ \{ ..., -۷, -۶, -۵ \} $ **ج) عددهای صحیح بزرگ‌تر از $-۳$:** این‌ها اعدادی هستند که روی محور اعداد در سمت راست $-۳$ قرار می‌گیرند. این مجموعه نیز نامتناهی است: $ \{ -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ... \} $

برای کامل کردن جدول، ابتدا باید هر عدد را ساده کرده و سپس مشخص کنیم که آیا در مجموعه اعداد طبیعی $ (\mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, ...\}) $ و یا مجموعه اعداد صحیح $ (\mathbb{Z} = \{..., -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ...\}) $ قرار دارد یا خیر. - $ +۳ $: یک عدد طبیعی و صحیح است (طبق نمونه). - $ ۰ $: عدد طبیعی نیست (چون شمارش از ۱ شروع می‌شود)، اما یک عدد صحیح است. - $ ۵^۲ $: برابر با $۲۵$ است که هم طبیعی و هم صحیح است. - $ \sqrt{۴} $: جذر ۴ برابر با $۲$ است که هم طبیعی و هم صحیح است. - $ \frac{۳}{۱} $: حاصل این کسر برابر با $۳$ است که هم طبیعی و هم صحیح است. - $ -(-۲) $: قرینه قرینه ۲ برابر با خود $۲$ است که هم طبیعی و هم صحیح است. - $ -\frac{۲}{۳} $: این یک عدد کسری (گویا) است و نه طبیعی است و نه صحیح. - $ ۰.۷ $: این یک عدد اعشاری (گویا) است و نه طبیعی است و نه صحیح. **جدول کامل شده:** | عدد | $+۳$ | $۰$ | $۵^۲$ | $\sqrt{۴}$ | $\frac{۳}{۱}$ | $-(-۲)$ | $-\frac{۲}{۳}$ | $۰.۷$ | | :---: | :---: | :-: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **طبیعی** | ✓ | | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | | | | **صحیح** | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | | |

برای محاسبه حاصل این عبارات، از قوانین ترتیب عملیات (پرانتز، توان، ضرب و تقسیم، جمع و تفریق) و ویژگی‌های اعداد صحیح استفاده می‌کنیم. - $ -۸+۷-۶+۸-۷+۶ = (-۸+۸) + (۷-۷) + (-۶+۶) = ۰ + ۰ + ۰ = ۰ $ (با جابجایی و جمع اعداد قرینه، حاصل صفر می‌شود.) - $ -۸+۶-۱۲+۱۴-۲۰+۲۲ = (-۸+۶) + (-۱۲+۱۴) + (-۲۰+۲۲) = (-۲) + (۲) + (۲) = ۲ $ (با جفت کردن اعداد کنار هم، محاسبه ساده‌تر می‌شود.) - $ ۱^۲ - ۲^۲ + ۳^۲ - ۴^۲ = ۱ - ۴ + ۹ - ۱۶ = -۳ + ۹ - ۱۶ = ۶ - ۱۶ = -۱۰ $ (ابتدا توان‌ها را محاسبه کرده، سپس جمع و تفریق را از چپ به راست انجام می‌دهیم.) - $ ۳-(۲-(۱-۷)-۱) = ۳-(۲-(-۶)-۱) = ۳-(۲+۶-۱) = ۳-(۸-۱) = ۳-۷ = -۴ $ (محاسبات را از داخلی‌ترین پرانتز شروع می‌کنیم.) - $ ۳ - ۴ \times ۵ = ۳ - ۲۰ = -۱۷ $ (اولویت با ضرب است.) - $ -۸ - ۴ \div ۲ = -۸ - ۲ = -۱۰ $ (اولویت با تقسیم است.)

این سوال به تعاریف پایه‌ای مجموعه‌های اعداد مربوط می‌شود. - **بزرگ‌ترین عدد صحیح منفی:** اعداد صحیح منفی $ \{..., -۳, -۲, -۱\} $ هستند. بزرگ‌ترین آن‌ها **-۱** است. - **کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت:** اعداد صحیح مثبت همان اعداد طبیعی هستند: $ \{۱, ۲, ۳, ...\} $. کوچک‌ترین آن‌ها **۱** است. - **کوچک‌ترین عدد طبیعی:** اعداد طبیعی از $۱$ شروع می‌شوند: $ \{۱, ۲, ۳, ...\} $. کوچک‌ترین آن‌ها **۱** است. - **کوچک‌ترین عدد زوج طبیعی:** اعداد زوج طبیعی $ \{۲, ۴, ۶, ...\} $ هستند. کوچک‌ترین آن‌ها **۲** است. - **کوچک‌ترین عدد فرد طبیعی دو رقمی:** اعداد فرد دو رقمی $ \{۱۱, ۱۳, ..., ۹۹\} $ هستند. کوچک‌ترین آن‌ها **۱۱** است. - **بزرگ‌ترین عدد زوج طبیعی سه رقمی:** اعداد سه رقمی از $۱۰۰$ تا $۹۹۹$ هستند. بزرگ‌ترین عدد زوج در این بازه **۹۹۸** است.

این جدول یک مربع جادویی است. برای حل آن، ابتدا باید "مجموع جادویی" را پیدا کنیم که مقدار ثابتی است که مجموع هر سطر، ستون و قطر باید برابر با آن باشد. ۱. **پیدا کردن مجموع جادویی:** قطر اصلی جدول از بالا-چپ به پایین-راست شامل اعداد $ -۸ $, $ -۲ $ و $ ۴ $ است. مجموع این قطر را حساب می‌کنیم: $ S = (-۸) + (-۲) + ۴ = -۱۰ + ۴ = -۶ $ پس مجموع هر سطر، ستون و قطر باید **-۶** باشد. ۲. **کامل کردن جدول:** حالا خانه‌های خالی را یکی یکی با استفاده از این مجموع پر می‌کنیم. - **سطر دوم:** $ x + (-۲) + (-۶) = -۶ \implies x - ۸ = -۶ \implies x = ۲ $. عدد اول سطر دوم $۲$ است. - **ستون سوم:** $ y + (-۶) + ۴ = -۶ \implies y - ۲ = -۶ \implies y = -۴ $. عدد اول ستون سوم $-۴$ است. - **سطر اول:** $ -۸ + z + (-۴) = -۶ \implies z - ۱۲ = -۶ \implies z = ۶ $. عدد دوم سطر اول $۶$ است. - **ستون اول:** $ -۸ + ۲ + w = -۶ \implies -۶ + w = -۶ \implies w = ۰ $. عدد سوم ستون اول $۰$ است. - **ستون دوم:** $ ۶ + (-۲) + v = -۶ \implies ۴ + v = -۶ \implies v = -۱۰ $. عدد سوم ستون دوم $-۱۰$ است. **جدول کامل شده به صورت زیر است:** | | | | | :---: | :---: | :---: | | **-۸** | **۶** | **-۴** | | **۲** | **-۲** | **-۶** | | **۰** | **-۱۰** | **۴** |