حل کاردر کلاس صفحه 3 ریاضی هشتم

برای محاسبه این عبارت‌ها، قوانین مربوط به جمع و تفریق اعداد صحیح و ترتیب انجام عملیات (از چپ به راست) را به کار می‌بریم. - $ -(۷) - ۲ + (-۹) = -۷ - ۲ - ۹ = -۹ - ۹ = -۱۸ $ ابتدا پرانتزها را حذف می‌کنیم: $-(۷)$ برابر با $-۷$ و $+(-۹)$ برابر با $-۹$ است. سپس عبارت را از چپ به راست محاسبه می‌کنیم. - $ (-۱۷) + ۱۴ - ۱۳ - ۱۹ = -۳ - ۱۳ - ۱۹ = -۱۶ - ۱۹ = -۳۵ $ عبارت را مرحله به مرحله از چپ به راست حل می‌کنیم: ابتدا $-۱۷$ با $۱۴$ جمع می‌شود، سپس $۱۳$ از حاصل کم می‌شود و در آخر $۱۹$ کم می‌شود. - $ -۱۸ - (-۴) - (-۱۹) = -۱۸ + ۴ + ۱۹ = -۱۴ + ۱۹ = ۵ $ تفریق یک عدد منفی مانند جمع کردن قرینه آن عدد است. پس $-(-۴)$ به $+۴$ و $-(-۱۹)$ به $+۱۹$ تبدیل می‌شود. سپس عبارت را از چپ به راست محاسبه می‌کنیم. - $ -۲۴ - ۹۷ + ۱۰۰ - ۲۳ $ روش اول (چپ به راست): $ -۲۴ - ۹۷ = -۱۲۱ $ ، سپس $ -۱۲۱ + ۱۰۰ = -۲۱ $ و در آخر $ -۲۱ - ۲۳ = -۴۴ $. روش دوم (گروه‌بندی): می‌توان اعداد مثبت و منفی را جداگانه جمع کرد. $ ۱۰۰ + (-۲۴ - ۹۷ - ۲۳) = ۱۰۰ - (۱۲۱+۲۳) = ۱۰۰ - ۱۴۴ = -۴۴ $. این روش برای جلوگیری از اشتباه در محاسبات طولانی مفید است.

در عبارتی که فقط شامل جمع و تفریق است، ترتیب استاندارد انجام عملیات از **چپ به راست** است. **راه حل صحیح:** راه حل دوم صحیح است: $ ۱۰+۳-۷-۲ = ۱۳-۹ = ۴ $ در این روش، یا عملیات به ترتیب از چپ به راست انجام شده ($۱۰+۳=۱۳$ ، $۱۳-۷=۶$ ، $۶-۲=۴$)، یا اعداد منفی $(-۷)$ و $(-۲)$ با هم جمع شده ($ -۷-۲=-۹ $) و سپس حاصل از $۱۳$ کم شده است ($۱۳-۹=۴$). هر دو رویکرد صحیح هستند. **راه حل نادرست:** راه حل اول نادرست است: $ ۱۰+۳-۷-۲=۱۳-۵=۸ $ در این روش، به اشتباه ابتدا $۷-۲=۵$ محاسبه شده و سپس $۱۳-۵$ انجام شده است. این کار ترتیب عملیات را نقض می‌کند. عبارت اصلی $-۷-۲$ است، نه $-(۷-۲)$. در واقع با این کار، عدد $۲$ به جای کم شدن، اضافه شده است ($۱۳-(۷-۲) = ۱۳-۷+۲=۸$). بنابراین این روش نادرست است.

هدف این تمرین، استفاده از خاصیت جابجایی و شرکت‌پذیری در جمع برای ساده‌سازی محاسبات است. - $ -۴۰ + ۳۵ + ۸۰ - ۱۷ - ۴۰ $ به جای محاسبه از چپ به راست، می‌توانیم اعداد را جابجا کرده و دسته‌بندی کنیم. در اینجا دو عدد $-۴۰$ داریم که می‌توانیم آن‌ها را کنار هم قرار دهیم. همچنین $۸۰$ و $۳۵$ را نیز می‌توانیم جابجا کنیم: $ (-۴۰ - ۴۰) + (۸۰ + ۳۵) - ۱۷ $ $ = -۸۰ + ۸۰ + ۳۵ - ۱۷ $ در اینجا $-۸۰$ و $+۸۰$ قرینه یکدیگر هستند و حاصل جمعشان صفر می‌شود: $ = ۰ + ۳۵ - ۱۷ = ۱۸ $ این روش بسیار ساده‌تر از محاسبه به ترتیب است. - $ -۲۲ - ۲۱ + ۱۲ + ۳۲ + ۲۷ $ در این عبارت نیز می‌توانیم اعداد مثبت و منفی را جداگانه دسته‌بندی کنیم: $ (۱۲ + ۳۲ + ۲۷) + (-۲۲ - ۲۱) $ ابتدا اعداد مثبت را جمع می‌کنیم: $ ۱۲ + ۳۲ = ۴۴ $ و $ ۴۴ + ۲۷ = ۷۱ $. سپس اعداد منفی را جمع می‌کنیم: $ -۲۲ - ۲۱ = -۴۳ $. در نهایت حاصل این دو را به دست می‌آوریم: $ ۷۱ - ۴۳ = ۲۸ $. یک راه ساده‌تر دیگر، جفت کردن اعداد نزدیک به هم است: $ (-۲۲+۱۲) = -۱۰ $ و $ (۳۲-۲۱) = ۱۱ $. سپس: $ -۱۰ + ۱۱ + ۲۷ = ۱ + ۲۷ = ۲۸ $.

حاصل عبارت برابر است با: $ -۴۳ + ۳۷ - ۲۹ = -۶ - ۲۹ = -۳۵ $. همه چهار دانش‌آموز به جواب درست رسیده‌اند اما از روش‌های متفاوتی استفاده کرده‌اند. **توضیح راه‌حل‌ها:** - **راه حل علی:** $ -۴۳ + ۳۷ - ۲۹ = -۴۳ - ۲۹ + ۳۷ = -۷۲ + ۳۷ = -۳۵ $ علی از خاصیت جابجایی استفاده کرده و ابتدا دو عدد منفی ($-۴۳$ و $-۲۹$) را با هم جمع کرده و سپس حاصل را با عدد مثبت ($+۳۷$) محاسبه کرده است. این روش برای سازماندهی اعداد مثبت و منفی مفید است. - **راه حل مجتبی:** $ -۴۳ + ۳۷ - ۲۹ = -۴۳ + ۸ = -۳۵ $ مجتبی ابتدا عبارت سمت راست یعنی $۳۷-۲۹=۸$ را محاسبه کرده و سپس حاصل آن را با عدد اول $(-۴۳)$ جمع کرده است. این روش نیز صحیح است. - **راه حل مرتضی:** $ -۴۳ + ۳۷ - ۲۹ = -۶ - ۲۹ = -۳۵ $ مرتضی به سادگی از ترتیب استاندارد عملیات (از چپ به راست) پیروی کرده است. ابتدا $-۴۳+۳۷$ را محاسبه کرده و سپس حاصل را با $-۲۹$ جمع کرده است. این روش مستقیم‌ترین راه حل است. - **راه حل مصطفی:** $ (-۴۰-۳) + (۳۰+۷) + (-۲۰-۹) = (-۴۰+۳۰-۲۰) + (-۳+۷-۹) = -۳۰ - ۵ = -۳۵ $ مصطفی اعداد را به صورت گسترده (جمع یکان و دهگان) نوشته و سپس دهگان‌ها را با هم و یکان‌ها را با هم محاسبه کرده است. این روش برای کار با اعداد بزرگ و جلوگیری از اشتباهات محاسباتی بسیار مؤثر است. **کدام راه حل بهتر است؟** انتخاب بهترین راه حل بستگی به فرد دارد. **روش مرتضی** (از چپ به راست) استاندارد و سریع است. **روش علی** (گروه‌بندی مثبت و منفی) به نظم فکری کمک می‌کند. **روش مصطفی** (باز کردن اعداد) احتمال خطا را کاهش می‌دهد. برای این مثال ساده، روش مرتضی احتمالاً سریع‌ترین است. **راه حل دیگر:** یک راه دیگر می‌تواند شروع کردن با عدد مثبت باشد تا محاسبه ذهنی ساده‌تر شود: $ ۳۷ - ۴۳ - ۲۹ $ ابتدا $۳۷-۴۳$ را حساب می‌کنیم که حاصل آن $-۶$ می‌شود. $ -۶ - ۲۹ = -۳۵ $ این روش در واقع همان روش مرتضی است که با جابجایی عبارت اول شروع شده است.

این روش که به کارل فردریش گاوس، ریاضی‌دان بزرگ، نسبت داده می‌شود، بر اساس جفت کردن اعداد است. - **چند جفت عدد با هم جمع شده‌اند؟** از عدد ۱ تا ۱۰۰، insgesamt ۱۰۰ عدد داریم. وقتی این اعداد را دو به دو جفت می‌کنیم، تعداد جفت‌ها برابر است با: $ ۱۰۰ \div ۲ = ۵۰ $ پس **۵۰ جفت** عدد با هم جمع شده‌اند. - **حاصل جمع هر جفت عدد چند است؟** جفت‌ها به این صورت تشکیل می‌شوند: اولین عدد با آخرین عدد، دومین عدد با یکی مانده به آخر، و الی آخر. $ ۱ + ۱۰۰ = ۱۰۱ $ $ ۲ + ۹۹ = ۱۰۱ $ $ ۳ + ۹۸ = ۱۰۱ $ همانطور که مشاهده می‌شود، حاصل جمع هر جفت عدد **۱۰۱** است. - **حاصل عبارت چند می‌شود؟** چون ۵۰ جفت داریم و حاصل جمع هر جفت ۱۰۱ است، حاصل کل عبارت برابر است با ضرب این دو عدد: $ ۵۰ \times ۱۰۱ = ۵۰۵۰ $ بنابراین، حاصل جمع اعداد از ۱ تا ۱۰۰ برابر با **۵۰۵۰** است.

برای حل این عبارت‌ها از روش‌های هوشمندانه مانند جفت کردن و پیدا کردن عامل صفر استفاده می‌کنیم. - $ -۲+۴-۶+۸-۱۰+۱۲ $ **روش کار:** به جای محاسبه از چپ به راست، می‌توانیم اعداد را دو به دو جفت کنیم تا محاسبات ساده‌تر شوند. $ (-۲+۴) + (-۶+۸) + (-۱۰+۱۲) $ حاصل هر پرانتز را جداگانه محاسبه می‌کنیم: $ (-۲+۴) = ۲ $ $ (-۶+۸) = ۲ $ $ (-۱۰+۱۲) = ۲ $ سپس نتایج را با هم جمع می‌کنیم: $ ۲ + ۲ + ۲ = ۶ $ حاصل نهایی عبارت **۶** است. - $ (۱۰-۱)(۹-۱)(۸-۱)...(-۹-۱)(-۱۰-۱) $ **روش کار:** این عبارت حاصل‌ضرب تعداد زیادی پرانتز است. نیازی به محاسبه همه آن‌ها نیست. باید با دقت به الگوی جملات نگاه کنیم. جملات به صورت $(n-1)$ هستند که $n$ از ۱۰ تا $-۱۰$ تغییر می‌کند. در این دنباله، حتماً به جمله‌ای می‌رسیم که در آن $n=1$ است. $ ... (۲-۱)(۱-۱)(۰-۱) ... $ جمله‌ای که در آن $n=1$ است برابر با $ (۱-۱) = ۰ $ می‌باشد. از آنجایی که حاصل‌ضرب هر عددی در صفر، برابر با صفر می‌شود، کل این عبارت بدون نیاز به محاسبه بقیه جملات، برابر با **۰** خواهد بود.

برای پیدا کردن تمام حالت‌های ممکن، باید تمام ترکیبات علامت‌های `+` و `-` را در مربع‌های خالی قرار دهیم. چون دو مربع داریم، $ ۲ \times ۲ = ۴ $ حالت ممکن وجود دارد. ۱. **هر دو علامت `+` باشند:** $ -۳ + (+۷) + ۲ = -۳ + ۷ + ۲ = ۴ + ۲ = ۶ $ ۲. **اولی `+` و دومی `-` باشد:** $ -۳ + (+۷) - ۲ = -۳ + ۷ - ۲ = ۴ - ۲ = ۲ $ ۳. **اولی `-` و دومی `+` باشد:** $ -۳ - (+۷) + ۲ = -۳ - ۷ + ۲ = -۱۰ + ۲ = -۸ $ ۴. **هر دو علامت `-` باشند:** $ -۳ - (+۷) - ۲ = -۳ - ۷ - ۲ = -۱۰ - ۲ = -۱۲ $ اعداد صحیحی که به دست آمدند عبارتند از: $۶, ۲, -۸, -۱۲$. حالا این اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم: **$ -۱۲, -۸, ۲, ۶ $**