حل تمرین صفحه 148 ریاضی دوازدهم تجربی

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 148 - تمرین 1 برای حل این مسئله از قانون **احتمال کل** استفاده می‌کنیم. ما دو مرحله پیش رو داریم: ابتدا انتخاب جعبه و سپس انتخاب لامپ از آن جعبه. **گام اول: تعیین احتمالات مربوط به انتخاب جعبه‌ها** چون دو جعبه داریم و انتخاب آن‌ها تصادفی است، احتمال انتخاب هر جعبه برابر است با: $$P(B_1) = \frac{1}{2}$$ $$P(B_2) = \frac{1}{2}$$ **گام دوم: تعیین احتمال معیوب بودن لامپ در هر جعبه** - در جعبه اول ($B_1$): از ۱۲ لامپ، ۶ تا معیوب است. پس احتمال معیوب بودن به شرط انتخاب جعبه اول برابر است با: $$P(A|B_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ - در جعبه دوم ($B_2$): از ۹۶ لامپ، ۴ تا معیوب است. پس احتمال معیوب بودن به شرط انتخاب جعبه دوم برابر است با: $$P(A|B_2) = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$$ **گام سوم: محاسبه احتمال کل معیوب بودن لامپ ($P(A)$)** طبق فرمول احتمال کل داریم: $$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2)$$ حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم: $$P(A) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{24})$$ $$P(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{48}$$ برای جمع کردن دو کسر، مخرج مشترک (۴۸) می‌گیریم: $$P(A) = \frac{12}{48} + \frac{1}{48} = \frac{13}{48}$$ بنابراین احتمال اینکه لامپ انتخابی معیوب باشد، برابر با **$$\frac{13}{48}$$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 148 - تمرین 2 در این مسئله با سه زیرمجموعه از جمعیت روبرو هستیم: کودکان ($K$)، میانسالان ($M$) و سالمندان ($S$). هدف یافتن احتمال بیمار بودن ($B$) یک فرد تصادفی است. **گام اول: نوشتن احتمالات پایه** - احتمال کودک بودن: $P(K) = 0.20$ - احتمال میانسال بودن: $P(M) = 0.50$ - احتمال سالمند بودن: $P(S) = 0.30$ **گام دوم: نوشتن احتمالات شرطی بیماری** - احتمال بیماری در کودکان: $P(B|K) = 0.03$ - احتمال بیماری در میانسالان: $P(B|M) = 0.05$ - احتمال بیماری در سالمندان: $P(B|S) = 0.10$ **گام سوم: استفاده از قانون احتمال کل** فرمول احتمال کل برای این سه وضعیت به شرح زیر است: $$P(B) = P(K)P(B|K) + P(M)P(B|M) + P(S)P(B|S)$$ حالا اعداد را جایگذاری و محاسبه می‌کنیم: $$P(B) = (0.20 \times 0.03) + (0.50 \times 0.05) + (0.30 \times 0.10)$$ $$P(B) = 0.006 + 0.025 + 0.030$$ $$P(B) = 0.061$$ اگر بخواهیم این عدد را به صورت درصد بیان کنیم، احتمال بیمار بودن فرد انتخاب شده **6.1 درصد** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 148 - تمرین 3 این مسئله دارای دو شاخه اصلی بر اساس نتیجه پرتاب سکه اول است. **حالت اول: سکه اول «رو» بیاید ($R_1$)** احتمال این اتفاق $P(R_1) = \frac{1}{2}$ است. در این حالت سکه دیگری پرتاب نمی‌شود، پس تعداد کل سکه‌های «رو» دقیقاً یک عدد است. پس احتمال اینکه دقیقاً یک «رو» داشته باشیم به شرطی که اولی «رو» بیاید، برابر **۱** است ($P(A|R_1) = 1$). **حالت دوم: سکه اول «پشت» بیاید ($P_1$)** احتمال این اتفاق $P(P_1) = \frac{1}{2}$ است. در این حالت ۳ سکه دیگر پرتاب می‌کنیم. برای اینکه در کل دقیقاً یک سکه «رو» داشته باشیم (با توجه به اینکه سکه اول پشت بوده)، باید از این ۳ سکه جدید، دقیقاً یکی «رو» بیاید. تعداد کل حالات برای ۳ سکه برابر $2^3 = 8$ است. حالات مطلوب (دقیقاً یک رو): $\{(R,P,P), (P,R,P), (P,P,R)\}$ که ۳ حالت است. پس $P(A|P_1) = \frac{3}{8}$ است. **گام نهایی: محاسبه احتمال کل** $$P(A) = P(R_1)P(A|R_1) + P(P_1)P(A|P_1)$$ $$P(A) = (\frac{1}{2} \times 1) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$$ $$P(A) = \frac{1}{2} + \frac{3}{16} = \frac{8}{16} + \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$$ بنابراین احتمال مطلوب برابر با **$$\frac{11}{16}$$** می‌باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 148 - تمرین 4 برای حل این تمرین، ابتدا باید احتمال انتخاب هر نوع ساعت را محاسبه کنیم و سپس از قانون احتمال کل استفاده نماییم. **گام اول: احتمال انتخاب هر نوع ساعت** تعداد کل ساعت‌ها = $5 + 2 + 15 = 22$ عدد. - احتمال انتخاب نوع $A$: $P(A) = \frac{5}{22}$ - احتمال انتخاب نوع $B$: $P(B) = \frac{2}{22}$ - احتمال انتخاب نوع $C$: $P(C) = \frac{15}{22}$ **گام دوم: احتمال طول عمر بالای ۱۰ سال به شرط نوع ساعت** - برای نوع $A$: $P(L|A) = \frac{4}{5}$ - برای نوع $B$: $P(L|B) = \frac{9}{10}$ - برای نوع $C$: $P(L|C) = \frac{1}{2}$ **گام سوم: محاسبه احتمال کل ($P(L)$)** $$P(L) = P(A)P(L|A) + P(B)P(L|B) + P(C)P(L|C)$$ $$P(L) = (\frac{5}{22} \times \frac{4}{5}) + (\frac{2}{22} \times \frac{9}{10}) + (\frac{15}{22} \times \frac{1}{2})$$ ساده‌سازی عبارات: - عبارت اول: $\frac{4}{22}$ - عبارت دوم: $\frac{18}{220} = \frac{1.8}{22}$ - عبارت سوم: $\frac{15}{44} = \frac{7.5}{22}$ بیایید همه را به مخرج ۴۴۰ ببریم برای دقت بیشتر: $$P(L) = \frac{80}{440} + \frac{36}{440} + \frac{150}{440} = \frac{266}{440}$$ با ساده کردن به عدد ۲: $$P(L) = \frac{133}{220}$$ بنابراین احتمال اینکه ساعت انتخابی بیش از ۱۰ سال عمر کند، **$$\frac{133}{220}$$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 148 - تمرین 5 این مسئله یک کاربرد مستقیم از قانون احتمال کل در تصمیم‌گیری‌های زندگی است. **گام اول: شناسایی پیشامدها و احتمالات انتخاب رشته** - پیشامد انتخاب ریاضی ($R$): $P(R) = 0.1$ - پیشامد انتخاب تجربی ($T$): $P(T) = 0.6$ - پیشامد انتخاب انسانی ($H$): $P(H) = 0.3$ **گام دوم: احتمالات قبولی در دانشگاه ($U$) به شرط انتخاب هر رشته** - قبولی به شرط ریاضی: $P(U|R) = 0.45$ - قبولی به شرط تجربی: $P(U|T) = 0.1$ - قبولی به شرط انسانی: $P(U|H) = 0.3$ **گام سوم: محاسبه احتمال کل قبولی ($P(U)$)** طبق فرمول داریم: $$P(U) = P(R)P(U|R) + P(T)P(U|T) + P(H)P(U|H)$$ مقادیر را قرار می‌دهیم: $$P(U) = (0.1 \times 0.45) + (0.6 \times 0.1) + (0.3 \times 0.3)$$ $$P(U) = 0.045 + 0.06 + 0.09$$ حالا این مقادیر را جمع می‌کنیم: $0.045 + 0.060 + 0.090 = 0.195$ بنابراین احتمال قبولی مینا در دانشگاه در مجموع برابر با **0.195** یا به عبارتی **19.5 درصد** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 148 - تمرین 6 **الف) احتمال انتخاب از هر مدرسه:** فرض کنیم تعداد دانش‌آموزان مدرسه $B$ برابر $n$ باشد. طبق صورت سوال، تعداد دانش‌آموزان مدرسه $A$ برابر $3n$ است. تعداد کل دانش‌آموزان برابر است با: $n + 3n = 4n$. - احتمال اینکه فرد از مدرسه $A$ باشد: $$P(A) = \frac{3n}{4n} = \frac{3}{4} = 0.75$$ - احتمال اینکه فرد از مدرسه $B$ باشد: $$P(B) = \frac{n}{4n} = \frac{1}{4} = 0.25$$ **ب) احتمال داشتن معدل بالای ۱۸ ($M$):** ابتدا احتمالات شرطی را می‌نویسیم: - احتمال معدل بالا در مدرسه $A$: $P(M|A) = 25\% = 0.25$ - احتمال معدل بالا در مدرسه $B$: $P(M|B) = 15\% = 0.15$ حالا از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم: $$P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B)$$ $$P(M) = (0.75 \times 0.25) + (0.25 \times 0.15)$$ $$P(M) = 0.1875 + 0.0375$$ $$P(M) = 0.225$$ بنابراین احتمال اینکه فرد انتخاب شده معدلی بالای ۱۸ داشته باشد، برابر با **0.225** یا **22.5 درصد** است.