جواب کاردرکلاس صفحه 130 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 130 - تمرین 1 برای حل این تمرین، ابتدا باید رابطه بین پارامترهای اصلی بیضی یعنی **نیم‌قطر بزرگ** ($a$)، **نیم‌قطر کوچک** ($b$) و **نصف فاصله کانونی** ($c$) را به یاد بیاوریم. رابطه فیثاغورسی در بیضی به صورت زیر است: $a^2 = b^2 + c^2$ **گام اول: جایگذاری مقادیر معلوم در فرمول** مقادیر داده شده در صورت سوال را در رابطه قرار می‌دهیم: $5^2 = 3^2 + c^2$ $25 = 9 + c^2$ **گام دوم: محاسبه مقدار $c$** برای پیدا کردن $c^2$، عدد ۹ را به طرف دیگر منتقل می‌کنیم: $c^2 = 25 - 9 = 16$ با جذر گرفتن از طرفین، مقدار $c$ به دست می‌آید: $c = \sqrt{16} = 4$ **گام سوم: محاسبه فاصله کانونی** دقت کنید که $c$ نشان‌دهنده فاصله مرکز تا هر کانون است. **فاصله کانونی** کل برابر با $2c$ می‌باشد. فاصله کانونی $= 2 \times 4 = 8$ بنابراین، اندازه فاصله کانونی این بیضی برابر **۸ واحد** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 130 - تمرین 2 در این مسئله با یک بیضی جابه‌جا شده از مبدأ مختصات سروکار داریم. بیایید مرحله به مرحله اطلاعات را استخراج کنیم. **اطلاعات اولیه:** * مرکز بیضی: $O(4, 5)$ * طول قطر بزرگ ($2a$) برابر ۶ است، پس **نیم‌قطر بزرگ**: $a = 3$ * طول قطر کوچک ($2b$) برابر ۴ است، پس **نیم‌قطر کوچک**: $b = 2$ **الف) محاسبه فاصله کانونی:** ابتدا مقدار $c$ (نصف فاصله کانونی) را با استفاده از رابطه فیثاغورسی بیضی پیدا می‌کنیم: $a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow 3^2 = 2^2 + c^2 \Rightarrow 9 = 4 + c^2$ $c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5}$ فاصله کانونی برابر است با $2c$، یعنی: **$2\sqrt{5}$**. **ب) تعیین مختصات نقاط کلیدی:** چون بیضی **افقی** است، تغییرات مربوط به پارامترهای $a$ و $c$ روی محور $x$ها و تغییرات مربوط به $b$ روی محور $y$ها اعمال می‌شود. * **نقاط دو سر قطر بزرگ ($A$ و $A'$):** باید مقدار $a=3$ را به طول مرکز اضافه و از آن کم کنیم. $A(4+3, 5) = (7, 5)$ $A'(4-3, 5) = (1, 5)$ * **نقاط دو سر قطر کوچک ($B$ و $B'$):** باید مقدار $b=2$ را به عرض مرکز اضافه و از آن کم کنیم. $B(4, 5+2) = (4, 7)$ $B'(4, 5-2) = (4, 3)$ * **کانون‌ها ($F$ و $F'$):** باید مقدار $c=\sqrt{5}$ را به طول مرکز اضافه و از آن کم کنیم. $F(4+\sqrt{5}, 5)$ $F'(4-\sqrt{5}, 5)$