ریاضی دوازدهم صفحه ۱۲۹ - فعالیت ۱
بیضی مقابل را در نظر بگیرید. اندازه پارهخطهای $OA$، $OB$ و $OF$ را به ترتیب با $a$، $b$ و $c$ نمایش دادهایم. میدانیم که مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون بیضی مقداری ثابت است.
۱) میخواهیم نشان دهیم قطر بزرگ بیضی طولی برابر با همین مقدار ثابت دارد. در رسم بیضی، حالتی را در نظر بگیرید که نوک مداد روی نقطه $A$ قرار دارد. در این صورت:
مقدار ثابت $= AF + AF' = AF + (AF + FF') = 2AF + FF'$ (۱)
به همین ترتیب فرض کنید نوک مداد روی نقطه $A'$ قرار دارد. در این صورت داریم:
مقدار ثابت $= A'F' + A'F = ..............................................$ (۲)
از مقایسه رابطه (۱) و (۲) و برابری سمت چپ دو رابطه داریم: $AF = ....$
پس:
مقدار ثابت $= AF + AF' = ..... + AF' = .....$
بنابراین: مجموع فواصل هر نقطه از بیضی، از دو کانون آن، مقدار ثابتی است که برابر است با طول قطر بزرگ بیضی.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه ۱۲۹ - فعالیت ۱
در این فعالیت میخواهیم ثابت کنیم که مجموع فواصل هر نقطه روی محیط بیضی از دو کانون آن ($F$ و $F'$)، همواره برابر با طول **قطر بزرگ** بیضی یعنی $2a$ است.
**گام اول: بررسی نقطه $A$**
زمانی که نقطه روی $A$ قرار دارد، طبق تعریف بیضی، مجموع فواصل از کانونها برابر است با:
$AF + AF'$
با توجه به شکل، پارهخط $AF'$ را میتوان به صورت مجموع $AF + FF'$ نوشت.
پس داریم:
مقدار ثابت $= AF + (AF + FF') = 2AF + FF'$
**گام دوم: بررسی نقطه $A'$**
زمانی که نوک مداد روی نقطه $A'$ باشد، مجموع فواصل برابر است با:
مقدار ثابت $= A'F' + A'F$
مشابه گام قبل، $A'F$ را میتوان به صورت $A'F' + F'F$ نوشت.
پس رابطه (۲) به این صورت تکمیل میشود:
$A'F' + (A'F' + F'F) = 2A'F' + FF'$
**گام سوم: مقایسه و نتیجهگیری**
از آنجایی که هر دو رابطه (۱) و (۲) برابر با همان **مقدار ثابت** هستند، پس با هم برابرند:
$2AF + FF' = 2A'F' + FF'$
با حذف $FF'$ از طرفین، نتیجه میگیریم:
$2AF = 2A'F' ightarrow AF = A'F'$
حالا این برابری را در رابطه اصلی جایگذاری میکنیم:
مقدار ثابت $= AF + AF' = A'F' + AF'$
با توجه به نمودار، مجموع پارهخطهای $A'F'$ و $AF'$ دقیقاً برابر با پارهخط $AA'$ است.
چون $OA = OA' = a$ است، پس طول قطر بزرگ برابر با $2a$ میباشد.
بنابراین مقدار ثابت مجموع فواصل کانونها برابر با **$2a$** (طول قطر بزرگ) است.
ریاضی دوازدهم صفحه ۱۲۹ - فعالیت ۲
۲) حال قصد داریم رابطه بین $a$، $b$ و $c$ را پیدا کنیم.
الف) نقطه $B$ مطابق شکل روی بیضی در نظر بگیرید. میدانیم این نقطه روی عمود منصف پارهخط $FF'$ است. (چرا؟)
ب) به کمک قسمت قبلی فعالیت، اندازه $BF$ را پیدا کنید.
پ) چه رابطهای بین $a$، $b$ و $c$ وجود دارد؟
ت) آیا مرکز بیضی قطر کوچک را هم نصف میکند؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه ۱۲۹ - فعالیت ۲
در این بخش به بررسی روابط هندسی بین پارامترهای اصلی بیضی میپردازیم.
**پاسخ بند الف:**
نقطه $B$ روی **محور تقارن** بیضی (قطر کوچک) قرار دارد.
در یک بیضی استاندارد، قطر کوچک بر قطر بزرگ در مرکز بیضی ($O$) عمود است.
چون مرکز $O$ وسط پارهخط کانونها ($FF'$) است، پس خط $BB'$ در واقع همان **عمود منصف** پارهخط $FF'$ است.
**پاسخ بند ب:**
طبق تعریف بیضی، مجموع فواصل نقطه $B$ از دو کانون برابر با مقدار ثابت $2a$ است:
$BF + BF' = 2a$
چون $B$ روی عمود منصف $FF'$ قرار دارد، فاصله آن از دو کانون یکسان است ($BF = BF'$).
بنابراین:
$2BF = 2a ightarrow BF = a$
یعنی فاصله هر سر قطر کوچک از کانونها برابر با **نیمقطر بزرگ** ($a$) است.
**پاسخ بند پ:**
در مثلث قائمالزاویه $OBF$، ضلعهای قائمه $OB = b$ و $OF = c$ هستند و وتر آن $BF = a$ است.
طبق **رابطه فیثاغورس** داریم:
$a^2 = b^2 + c^2$
این اساسیترین رابطه بین پارامترهای بیضی است.
**پاسخ بند ت:**
بله، مرکز بیضی ($O$) **قطر کوچک** را نصف میکند.
به دلیل تقارن بیضی نسبت به قطر بزرگ ($AA'$)، فاصله نقاط $B$ و $B'$ از این قطر باید یکسان باشد.
بنابراین $OB = OB' = b$ است و نقطه $O$ نقطه وسط $BB'$ میباشد.
مریم کرد
1402/03/06
اول اینکه خیلی ممنونم بخاطر سایت خوبتون بعد این استاد منجزی مثل اینکه تسلط کافی ندارند بر کتاب درسی.