ریاضی دوازدهم صفحه 113 - فعالیت 1
۱) فرض کنید ۱۴ چوب کبریت در اختیار داشته باشیم و طول هرکدام از آنها را یک واحد در نظر بگیریم. با استفاده از همه این چوب کبریتها، مستطیل میسازیم. نتیجه کار در سه حالت مختلف در شکل زیر آمده است:
[تصویر سه مستطیل با ابعاد مختلف ساخته شده با چوب کبریت]
الف) در هر سه حالت، محیط مستطیلها ثابت و برابر ......... واحد است.
ب) در این مستطیلهای هممحیط، دیده میشود که مساحتها برابر نیستند و به ترتیب برابر ۶، ۱۰ و ...... واحد مربع هستند.
پ) مشاهده میشود که هرچقدر اندازه طول و عرض یک مستطیل به هم نزدیکتر میشود، مساحت آن ......... مییابد.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 113 - فعالیت 1
سلام دانشآموزان عزیز. در این فعالیت میخواهیم مفهوم بهینهسازی را با یک مثال ملموس یعنی ساخت مستطیل با محیط ثابت شروع کنیم.
**گام الف: تعیین محیط**
وقتی از ۱۴ چوب کبریت برای دور تا دور مستطیل استفاده میکنیم، یعنی مجموع طول تمام ضلعها ثابت است.
بنابراین محیط مستطیل در هر سه حالت ثابت و برابر **14** واحد است.
**گام ب: محاسبه مساحتها**
بیایید ابعاد مستطیلها را بررسی کنیم:
مستطیل اول دارای طول ۶ و عرض ۱ است که مساحت آن $6 \times 1 = 6$ میشود.
مستطیل دوم دارای طول ۵ و عرض ۲ است که مساحت آن $5 \times 2 = 10$ میشود.
مستطیل سوم دارای طول ۴ و عرض ۳ است که مساحت آن برابر $4 \times 3 =$ **12** واحد مربع خواهد بود.
**گام پ: نتیجهگیری مفهومی**
با دقت در اعداد بالا متوجه میشویم که در مستطیل اول اختلاف طول و عرض زیاد بود (۵ واحد) و مساحت کم شد.
در مستطیل سوم که طول و عرض به هم نزدیکتر شدند (۱ واحد اختلاف)، مساحت بزرگتر شد.
پس نتیجه میگیریم هرچقدر اندازه طول و عرض به هم نزدیکتر شود، مساحت **افزایش** مییابد.
ریاضی دوازدهم صفحه 113 - فعالیت 2
۲) جدول زیر را مورد توجه قرار دهید که در آن ابعاد و مساحت چند مستطیل با محیط ۱۴ واحد آمده است.
| ابعاد مستطیل | $0.5 \times 6.5$ | $1 \times 6$ | $2 \times 5$ | $2.5 \times 4.5$ | $3 \times 4$ | $3.2 \times 3.8$ | ... |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| محیط مستطیل | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 |
| مساحت | 3.25 | 6 | 10 | 11.25 | 12 | 12.16 | ... |
الف) در این جدول، بزرگترین عددی که برای مساحت مستطیل دیده میشود، ۱۲/۱۶ است. اگر برای طول و عرض مستطیل تنها به اعداد طبیعی محدود نباشیم، آیا میتوانید مستطیل دیگری با محیط ۱۴ واحد ارائه کنید که مساحت آن از عدد ۱۲/۱۶ واحد مربع هم بزرگتر باشد؟
ب) برای حالتی که مساحت مستطیل بزرگترین مقدار ممکن میشود، چه حدسی میزنید؟
درستی نتیجهای را که در این فعالیت حدس زدیم، در مثال بعد با استفاده از مشتق بررسی میکنیم.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 113 - فعالیت 2
در این بخش میخواهیم با استفاده از دادههای عددی، دقیقتر به بیشترین مساحت ممکن فکر کنیم.
**پاسخ بخش الف:**
بله، میتوانیم عددی نزدیکتر به هم انتخاب کنیم.
اگر طول و عرض را دقیقاً برابر بگیریم (حالت مربع)، یعنی هر ضلع برابر $14 \div 4 = 3.5$ باشد.
در این صورت مساحت برابر میشود با: $3.5 \times 3.5 = 12.25$.
عدد **12.25** از 12.16 بزرگتر است.
**پاسخ بخش ب: حدس نهایی**
با توجه به روند اعداد جدول و محاسباتی که انجام دادیم، حدس میزنیم بزرگترین مساحت زمانی اتفاق میافتد که مستطیل تبدیل به **مربع** شود.
یعنی طول و عرض با هم برابر و هر کدام برابر **3.5** واحد باشند.
این یک مفهوم کلیدی در ریاضیات است: در بین تمام مستطیلهای با محیط یکسان، **مربع** بیشترین مساحت را دارد.
به این کار که به دنبال بهترین یا بیشترین مقدار میگردیم، **بهینهسازی** میگوییم.
علی
1403/03/01
لطفا یکم بهتر توضیح بدید