حل تمرین صفحه 112 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 1 برای پیدا کردن بازه‌های **یکنوایی** (صعودی یا نزولی بودن) یک تابع، بهترین راه استفاده از **مشتق اول** آن است. **گام اول: محاسبه مشتق تابع** ابتدا از تابع $f(x)$ مشتق می‌گیریم: $f'(x) = 3x^2 - 12$ **گام دوم: یافتن نقاط بحرانی** مشتق را برابر صفر قرار می‌دهیم تا نقاطی که جهت تغییرات تابع در آن‌ها عوض می‌شود را پیدا کنیم: $3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, x = -2$ **گام سوم: تعیین علامت مشتق** یک جدول تعیین علامت برای $f'(x)$ رسم می‌کنیم. عبارت $3x^2 - 12$ یک عبارت درجه دوم با ضریب $x^2$ مثبت است، پس بین دو ریشه علامت آن **منفی** و خارج دو ریشه **مثبت** است. در بازه $(-2, 2)$ علامت $f'(x)$ منفی است ($f'(x) < 0$). **نتیجه‌گیری:** طبق قضایای کتاب، بازه‌ای که در آن مشتق منفی باشد، تابع در آن بازه **نزولی اکید** است. بنابراین بزرگ‌ترین بازه‌ای که تابع در آن نزولی اکید است، بازه $[ -2, 2 ]$ می‌باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 2 بیایید با هم رفتار تابع $g(x)$ را بررسی کنیم. **گام اول: مشتق‌گیری** با استفاده از قاعده مشتق کسرها یا توان منفی داریم: $g'(x) = \frac{0(x^2 + 1) - 1(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$ **گام دوم: یافتن ریشه مشتق** مخرج کسر $(x^2 + 1)^2$ همواره مثبت است، پس فقط صورت کسر را مساوی صفر قرار می‌دهیم: $-2x = 0 \Rightarrow x = 0$ **گام سوم: تشکیل جدول تغییرات** * برای $x < 0$: صورت کسر ($-2x$) مثبت می‌شود، پس $g'(x) > 0$ و تابع **صعودی اکید** است. * برای $x > 0$: صورت کسر ($-2x$) منفی می‌شود، پس $g'(x) < 0$ و تابع **نزولی اکید** است. **خلاصه وضعیت:** تابع در بازه $(-\infty, 0]$ **صعودی اکید** و در بازه $[0, +\infty)$ **نزولی اکید** است. نقطه $x = 0$ در واقع نقطه **ماکزیمم مطلق** این تابع است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 3 **نقاط بحرانی** نقاطی از دامنه تابع هستند که در آن‌ها مشتق برابر صفر است یا مشتق وجود ندارد. **حل الف:** $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ ابتدا دامنه: $4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow D_f = [-2, 2]$. مشتق: $f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$. * ریشه صورت: $x = 0$ (چون در دامنه است، بحرانی است). * ریشه مخرج: $x = 2, x = -2$ (در این نقاط مشتق تعریف نشده، پس بحرانی هستند). نقاط بحرانی: $\{ -2, 0, 2 \}$. **حل ب:** $g(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ مشتق: $g'(x) = 3x^2 + 6x$. تعیین ریشه‌ها: $3x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = -2$. چون تابع چندجمله‌ای است، همه جا مشتق دارد. نقاط بحرانی فقط ریشه‌های مشتق هستند: $\{ -2, 0 \}$. **حل پ:** $h(x) = \sqrt[3]{x}$ مشتق: $h'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. این مشتق هیچ‌گاه صفر نمی‌شود (صورت کسر ۱ است). اما در $x = 0$ مخرج صفر می‌شود و مشتق تعریف نشده است. چون $0$ در دامنه تابع اصلی هست، پس $x = 0$ تنها نقطه بحرانی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 4 برای یافتن اکسترمم‌های نسبی، از آزمون مشتق اول استفاده می‌کنیم. **حل الف:** $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 10$ 1. مشتق: $f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$. 2. ریشه‌های مشتق: $3(x^2 + 2x - 3) = 0 \Rightarrow 3(x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = -3$. 3. جدول تغییرات: قبل از $-3$ مشتق مثبت (صعودی)، بین $-3$ و $1$ مشتق منفی (نزولی)، بعد از $1$ مشتق مثبت (صعودی). * در $x = -3$ تغییر از صعودی به نزولی داریم: **ماکزیمم نسبی**. * در $x = 1$ تغییر از نزولی به صعودی داریم: **مینیمم نسبی**. **حل ب:** $g(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 9$ 1. مشتق: $g'(x) = -6x^2 + 6x + 12$. 2. ریشه‌ها: $-6(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow -6(x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2, x = -1$. 3. تحلیل: در $x = -1$ تابع از نزولی به صعودی می‌رود (**مینیمم نسبی**) و در $x = 2$ از صعودی به نزولی می‌رود (**ماکزیمم نسبی**). **حل پ:** $h(x) = -x^3 - 3x + 2$ 1. مشتق: $h'(x) = -3x^2 - 3$. 2. ریشه‌ها: $-3(x^2 + 1) = 0$. این معادله هیچ ریشه حقیقی ندارد. عبارت $-3x^2 - 3$ همواره منفی است. تابع همواره نزولی است و **اکسترمم نسبی ندارد**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 5 برای یافتن **اکسترمم مطلق** در یک بازه بسته، باید مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و نقاط ابتدایی و انتهایی بازه با هم مقایسه کنیم. **حل الف:** $f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 13$ در بازه $[-1, 2]$ 1. مشتق: $f'(x) = -6x^2 + 18x$. 2. نقاط بحرانی: $-6x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 3$. نکته: فقط $x = 0$ در بازه $[-1, 2]$ قرار دارد. 3. مقایسه مقادیر: * ابتدا: $f(-1) = -2(-1)^3 + 9(-1)^2 - 13 = 2 + 9 - 13 = -2$ * بحرانی: $f(0) = -13$ * انتها: $f(2) = -2(8) + 9(4) - 13 = -16 + 36 - 13 = 7$ **ماکزیمم مطلق: 7** (در $x = 2$) و **مینیمم مطلق: -13** (در $x = 0$). **حل ب:** $g(x) = x^3 + 2x - 5$ در بازه $[-2, 1]$ 1. مشتق: $g'(x) = 3x^2 + 2$. 2. نقاط بحرانی: $3x^2 + 2 = 0$ ریشه ندارد. تابع فاقد نقطه بحرانی در بازه است. 3. مقایسه مقادیر مرزی: * $g(-2) = (-8) + 2(-2) - 5 = -17$ * $g(1) = 1 + 2 - 5 = -2$ **ماکزیمم مطلق: -2** و **مینیمم مطلق: -17**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 6 این مسئله دو شرط پنهان دارد: 1. **شرط نقطه روی نمودار:** نقطه $(1, 2)$ در تابع صدق می‌کند. $f(1) = 2 \Rightarrow 1^3 + b(1)^2 + d = 2 \Rightarrow b + d = 1$ 2. **شرط اکسترمم بودن:** در نقطه اکسترمم (چون تابع مشتق‌پذیر است)، مشتق باید صفر باشد. مشتق: $f'(x) = 3x^2 + 2bx$. $f'(1) = 0 \Rightarrow 3(1)^2 + 2b(1) = 0 \Rightarrow 3 + 2b = 0 \Rightarrow 2b = -3 \Rightarrow b = -1.5$ حالا $b$ را در معادله اول جایگذاری می‌کنیم: $-1.5 + d = 1 \Rightarrow d = 1 + 1.5 \Rightarrow d = 2.5$ پس مقادیر به دست آمده عبارتند از: **$b = -1.5$** و **$d = 2.5$**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 112 - تمرین 7 این یک سوال مفهومی بسیار زیباست! **تحلیل سوال:** نقطه بحرانی جایی است که مشتق صفر باشد یا تعریف نشده باشد. اگر بخواهیم **تمام نقاط** یک تابع بحرانی باشند، ساده‌ترین حالت این است که مشتق در تمام نقاط صفر باشد. **چه تابعی مشتقش همیشه صفر است؟** بله، **توابع ثابت**. تابعی به فرم $f(x) = c$ (مثلاً $f(x) = 5$) را در نظر بگیرید. در این تابع، در هر نقطه ای که مماس رسم کنیم، خط مماس افقی است و شیب (مشتق) آن صفر است. بنابراین تمام نقاط دامنه، نقطه بحرانی محسوب می‌شوند. **تعداد جواب‌ها:** چون عدد $c$ می‌تواند هر عدد حقیقی دلخواهی باشد، این مسئله **بی‌شمار جواب** دارد. هر خط افقی که رسم کنید، پاسخی برای این سوال است.