جواب کاردرکلاس صفحه 110 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 110 - تمرین ۱ (تکمیل جدول) در این تمرین باید مفاهیم **اکسترمم مطلق**، **اکسترمم نسبی** و **نقاط بحرانی** را روی نمودار تشخیص دهیم. ### تحلیل نقاط اکسترمم: * **ماکزیمم مطلق:** بالاترین مقدار تابع در کل دامنه است. با نگاه به نمودار، در نقطه $x = 9$ تابع به مقدار $y = 6$ می‌رسد که بیشترین مقدار کل است. * **مینیمم مطلق:** پایین‌ترین مقدار تابع در کل دامنه است. در نقطه $x = 7$، مقدار تابع صفر است که کمترین مقدار در کل بازه می‌باشد. پس در $x = 7$ مینیمم مطلق داریم. * **اکسترمم‌های نسبی:** نقاطی هستند که در یک همسایگی کوچک پیرامون خود، بیشترین یا کمترین باشند. * در $x = 2$ یک دره محلی داریم، پس **مینیمم نسبی** است. * در $x = 3$ تابع به یک قله می‌رسد، پس **ماکزیمم نسبی** است. * در بازه $(4, 6)$ تابع ثابت است ($y = 2.5$). طبق تعریف، تمام نقاط این بازه هم ماکزیمم نسبی و هم مینیمم نسبی محسوب می‌شوند. ### تحلیل نقاط بحرانی: نقاط بحرانی نقاطی از دامنه هستند که در آن‌ها مشتق برابر صفر است یا وجود ندارد. * $x = 1$ و $x = 9$: نقاط ابتدایی و انتهایی بازه **بحرانی** هستند. * $x = 2$: مشتق صفر است (مماس افقی)، پس **بحرانی** است. * $x = 3$: نقطه گوشه‌ای است و مشتق وجود ندارد، پس **بحرانی** است. * $x = 4$ و $x = 6$: نقاط ناپیوستگی هستند و مشتق وجود ندارد، پس **بحرانی** هستند. * $x = 5$: چون تابع ثابت است، مشتق صفر بوده و نقطه **بحرانی** است. * $x = 7$: نقطه گوشه‌ای است و مشتق وجود ندارد، پس **بحرانی** است. | طول نقطه | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $max$ مطلق | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\checkmark$ | | $min$ مطلق | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\times$ | | $max$ نسبی | $\times$ | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | $\times$ | | $min$ نسبی | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\times$ | | نقطه بحرانی | $\checkmark$ | $\checkmark$ | $\checkmark$ | $\checkmark$ | $\checkmark$ | $\checkmark$ | $\checkmark$ | $\times$ | $\checkmark$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 110 - تمرین ۲ برای حل این تمرین، ابتدا رفتار هر تابع را در بازه داده شده بررسی می‌کنیم: ### الف) $t(x) = x^3$ در بازه $[-2, 1]$ این تابع همواره صعودی است. * **ماکزیمم مطلق:** چون تابع صعودی است، بیشترین مقدار در انتهای بازه رخ می‌دهد. $t(1) = 1^3 = 1$. * **مینیمم مطلق:** کمترین مقدار در ابتدای بازه است. $t(-2) = (-2)^3 = -8$. * **اکسترمم نسبی:** این تابع در این بازه هیچ قله یا دره محلی ندارد، بنابراین **اکسترمم نسبی ندارد**. (نقاط مرزی اکسترمم نسبی نیستند). ### ب) $g(x) = -x^2$ در بازه $[-2, 3]$ این یک سهمی رو به پایین است که راس آن در مبدأ مختصات قرار دارد. * **ماکزیمم مطلق و نسبی:** در نقطه $x = 0$، تابع به بالاترین مقدار خود یعنی $g(0) = 0$ می‌رسد. این نقطه هم **ماکزیمم مطلق** است و هم چون در درون بازه است، **ماکزیمم نسبی** است. * **مینیمم مطلق:** با مقایسه مقادیر در مرزها: $g(-2) = -4$ و $g(3) = -9$. پس مینیمم مطلق در $x = 3$ برابر **$-9$** است. * **مینیمم نسبی:** ندارد. ### پ) $u(x) = \frac{1}{x}$ دامنه این تابع $\mathbb{R} - \{0\}$ است. * در کل دامنه، این تابع به سمت $+\infty$ و $-\infty$ میل می‌کند، بنابراین **ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق ندارد**. * چون در هیچ نقطه‌ای تغییر جهت (از صعودی به نزولی یا برعکس) نداریم، تابع **اکسترمم نسبی نیز ندارد**.