ریاضی دوازدهم صفحه 105 - کار در کلاس
نوع اکسترممهای نسبی هر یک از توابع زیر را در نقاط مشخص شده تعیین کنید و جدولها را کامل کنید.
الف) $f(x) = | |x| - 2 |, x n [-5, 3]$
| نقطه | نوع اکسترمم نسبی | مقدار اکسترمم نسبی | مقدار مشتق |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $A$ | نه $max$ نسبی و نه $min$ نسبی | — | — |
| $B$ | $min$ نسبی | $0$ | $f'(-2)$ موجود نیست |
| $C$ | ... | $2$ | ... |
| $D$ | ... | ... | ... |
| $E$ | ... | — | — |
ب) $g(x) = -x^2 - 1, x n [-1, 2]$
| نقطه | نوع اکسترمم نسبی | مقدار اکسترمم نسبی | مقدار مشتق |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $A$ | نقطه اکسترمم نسبی نیست | — | — |
| $B$ | $max$ نسبی | ... | $f'(0)$ برابر صفر است |
| $C$ | ... | — | — |
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 105 - کار در کلاس
سلام به شما دانشآموزان عزیز. در این فعالیت میخواهیم مفهوم **اکسترممهای نسبی** (ماکزیمم و مینیمم نسبی) را روی نمودار بررسی کنیم.
یادتان باشد که یک نقطه زمانی **اکسترمم نسبی** است که در یک همسایگی آن، بیشترین یا کمترین مقدار را داشته باشد. نقاط ابتدا و انتهای بازه چون همسایگی کامل ندارند، نمیتوانند اکسترمم نسبی باشند.
### تحلیل قسمت الف: تابع قدر مطلقی
در این بخش، تابع $f(x) = | |x| - 2 |$ را در بازه $[-5, 3]$ بررسی میکنیم:
* **نقطه $A$ و $E$:** این نقاط **نقاط انتهایی بازه** هستند. طبق تعریف، اکسترمم نسبی در نقاط مرزی بازه تعریف نمیشود. بنابراین نه ماکزیمم نسبی هستند و نه مینیمم نسبی.
* **نقطه $B$:** در این نقطه نمودار به پایینترین سطح محلی رسیده است، پس یک **مینیمم نسبی** است. مقدار تابع در اینجا $0$ است و چون نمودار در این نقطه شکسته شده (گوشه)، **مشتق وجود ندارد**.
* **نقطه $C$:** نمودار در اینجا نسبت به اطرافش در بالاترین سطح قرار دارد، پس **ماکزیمم نسبی** است. مقدار آن $2$ است. چون در $x=0$ نمودار شکسته شده، **مشتق در $C$ موجود نیست**.
* **نقطه $D$:** مانند نقطه $B$، نمودار به کف رسیده است، پس **مینیمم نسبی** است. مقدار تابع در اینجا $0$ است و به دلیل وجود گوشه، **مشتق موجود نیست**.
| نقطه | نوع اکسترمم نسبی | مقدار اکسترمم نسبی | مقدار مشتق |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $A$ | نه $max$ نسبی و نه $min$ نسبی | — | — |
| $B$ | $min$ نسبی | $0$ | موجود نیست |
| $C$ | **$max$ نسبی** | $2$ | **موجود نیست** |
| $D$ | **$min$ نسبی** | **$0$** | **موجود نیست** |
| $E$ | **نه $max$ نسبی و نه $min$ نسبی** | — | — |
---
### تحلیل قسمت ب: تابع سهمی
تابع $g(x) = -x^2 - 1$ را در بازه $[-1, 2]$ تحلیل میکنیم:
* **نقطه $A$:** نقطه شروع بازه است، پس **اکسترمم نسبی نیست**.
* **نقطه $B$:** قله سهمی است و در یک همسایگی بالاترین مقدار را دارد، پس **ماکزیمم نسبی** است. مقدار تابع با جایگذاری $x=0$ در ضابطه برابر **$-1$** میشود. در این نقطه مماس افقی داریم، پس **مشتق برابر صفر** است.
* **نقطه $C$:** نقطه پایان بازه است، پس **اکسترمم نسبی نیست**.
| نقطه | نوع اکسترمم نسبی | مقدار اکسترمم نسبی | مقدار مشتق |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $A$ | نقطه اکسترمم نسبی نیست | — | — |
| $B$ | $max$ نسبی | **$-1$** | $f'(0) = 0$ |
| $C$ | **نقطه اکسترمم نسبی نیست** | — | — |
