حل تمرین صفحه 99 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 99 ریاضی دوازدهم آهنگ تغییر متوسط (میانگین نرخ تغییر) در بازه $[h_1, h_2]$ برابر است با: $$\text{AVC} = \frac{T(h_2) - T(h_1)}{h_2 - h_1}$$ ### الف) آهنگ تغییر متوسط از ساعت ۸ تا ۱۲ $h_1 = 8 \implies T(8) = 11$ $h_2 = 12 \implies T(12) = 19$ $$\text{AVC}_{[8, 12]} = \frac{T(12) - T(8)}{12 - 8} = \frac{19 - 11}{4} = \frac{8}{4} = \mathbf{2}$$ ### ب) آهنگ تغییر متوسط از ساعت ۱۲ تا ۱۸ $h_1 = 12 \implies T(12) = 19$ $h_2 = 18 \implies T(18) = 9$ $$\text{AVC}_{[12, 18]} = \frac{T(18) - T(12)}{18 - 12} = \frac{9 - 19}{6} = \frac{-10}{6} = \mathbf{-\frac{5}{3} \approx -1.67}$$ ### پ) تفسیر پاسخ‌ها 1. **تفسیر (الف):** آهنگ تغییر متوسط $2$ درجه بر ساعت. $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ در فاصله زمانی } \text{ساعت } 8 \text{ تا } 12 \text{، دما به طور متوسط } \mathbf{2 \text{ درجه سانتی‌گراد در هر ساعت افزایش یافته است.}}$$ 2. **تفسیر (ب):** آهنگ تغییر متوسط $-1.67$ درجه بر ساعت. $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ در فاصله زمانی } \text{ساعت } 12 \text{ تا } 18 \text{، دما به طور متوسط } \mathbf{1.67 \text{ درجه سانتی‌گراد در هر ساعت کاهش یافته است.}}$$

حل تمرین 2 صفحه 99 ریاضی دوازدهم ### الف) شیب‌های خطوط $l$ و $d$ چه چیزهایی را نشان می‌دهند؟ 1. **خط $d$ (خط قاطع):** خطی است که دو نقطه روی منحنی را به هم متصل می‌کند. شیب این خط، **آهنگ تغییر متوسط (میانگین نرخ تغییر)** کسر جمعیت آلوده را در فاصله زمانی بین دو نقطه قطع شده، نشان می‌دهد. 2. **خط $l$ (خط مماس):** خطی است که در یک نقطه بر منحنی مماس شده است. شیب این خط، **آهنگ تغییر لحظه‌ای (لحظه‌ای نرخ تغییر)** کسر جمعیت آلوده را در نقطه تماس، نشان می‌دهد. $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ شیب } \mathbf{d} \text{ آهنگ تغییر } \mathbf{\text{متوسط}} \text{ و شیب } \mathbf{l} \text{ آهنگ تغییر } \mathbf{\text{لحظه‌ای}} \text{ گسترش آلودگی است.}$$ ### ب) گسترش آلودگی در کدام یک از زمان‌های $t=1, t=2$ یا $t=3$ بیشتر است؟ نرخ گسترش آلودگی همان آهنگ تغییر لحظه‌ای است، که برابر با شیب خط مماس بر منحنی در آن زمان است. با مشاهده نمودار (منحنی صعودی): * **در $t=1$:** شیب مماس کوچک است (شروع رشد). * **در $t=2$:** شیب مماس کمی بیشتر از $t=1$ است. * **در $t=3$:** شیب مماس به بیشترین مقدار می‌رسد (نقطه عطف/تغییر شکل منحنی). $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ گسترش آلودگی در } \mathbf{t=3} \text{ (نزدیک به نقطه عطف) بیشتر است، زیرا شیب منحنی در این نقطه بیشینه است.}$$ ### پ) بررسی قسمت ب برای $t=4, t=5$ و $t=6$ با ادامه حرکت روی منحنی از $t=3$ به بعد، منحنی همچنان صعودی است اما با تندی کمتری صعود می‌کند (شکل آن به سمت بالا مقعر است و شیب آن رو به کاهش است). * **در $t=4, t=5, t=6$:** شیب خطوط مماس به تدریج **کاهش** می‌یابد. $$\mathbf{\text{مقایسه:}} \text{ نرخ گسترش آلودگی (شیب) در } \mathbf{t=4} \text{ بیشترین است}$$ \text{ و سپس به ترتیب در } t=5 \text{ و } t=6 \text{ کاهش می‌یابد.}$$

حل تمرین 4 صفحه 99 ریاضی دوازدهم **قضیه مقدار میانگین برای مشتق (Mean Value Theorem)**: در این مسئله، به دنبال لحظه‌ای ($t=c$) هستیم که سرعت لحظه‌ای ($f'(c)$) برابر با سرعت متوسط ($\text{AVC}$) در بازه $[0, 5]$ باشد. ### 1. محاسبه سرعت متوسط (AVC) $$\text{AVC}_{[0, 5]} = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0}$$ * $f(5) = 5^2 - 5 + 10 = 25 - 5 + 10 = 30$ * $f(0) = 0^2 - 0 + 10 = 10$ $$\text{AVC}_{[0, 5]} = \frac{30 - 10}{5} = \frac{20}{5} = 4$$ $$\mathbf{\text{سرعت متوسط: } 4 \text{ متر بر ثانیه}}$$ ### 2. محاسبه سرعت لحظه‌ای ($f'(t)$) سرعت لحظه‌ای برابر با مشتق تابع مکان است: $$f'(t) = \frac{d}{dt} (t^2 - t + 10) = 2t - 1$$ ### 3. برابر قرار دادن سرعت لحظه‌ای و سرعت متوسط $f'(t) = \text{AVC}_{[0, 5]}$ $$2t - 1 = 4$$ $$2t = 5$$ $$t = \frac{5}{2} = 2.5$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ در لحظه } \mathbf{t = 2.5 \text{ ثانیه}} \text{، سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر است. (چون } 2.5 \in [0, 5] \text{)}}$$

حل تمرین 5 صفحه 99 ریاضی دوازدهم سرعت توپ در لحظه $t=0.3$ ثانیه، همان **آهنگ تغییر لحظه‌ای** ($f'(0.3)$) است. برای تخمین این مقدار از روی جدول، باید آهنگ تغییر متوسط را در یک بازه بسیار کوچک اطراف $t=0.3$ محاسبه کنیم. بهترین تخمین، میانگین آهنگ تغییر در دو بازه متقارن اطراف $t=0.3$ است، یا محاسبه آهنگ متوسط در کوچکترین بازه شامل $t=0.3$. ### 1. محاسبه آهنگ متوسط در بازه $[0.2, 0.4]$ (بهترین تخمین) $$t_1 = 0.2 \implies f(0.2) = 13.8$$ $$t_2 = 0.4 \implies f(0.4) = 16.3$$ $$\text{AVC}_{[0.2, 0.4]} = \frac{f(0.4) - f(0.2)}{0.4 - 0.2} = \frac{16.3 - 13.8}{0.2} = \frac{2.5}{0.2} = 12.5 \text{ m/s}$$ ### 2. محاسبه آهنگ متوسط در بازه $[0.3, 0.4]$ (تخمین راست) $$\text{AVC}_{[0.3, 0.4]} = \frac{f(0.4) - f(0.3)}{0.4 - 0.3} = \frac{16.3 - 15.1}{0.1} = \frac{1.2}{0.1} = 12 \text{ m/s}$$ ### 3. محاسبه آهنگ متوسط در بازه $[0.3, 0.5]$ $$\text{AVC}_{[0.3, 0.5]} = \frac{f(0.5) - f(0.3)}{0.5 - 0.3} = \frac{17.4 - 15.1}{0.2} = \frac{2.3}{0.2} = 11.5 \text{ m/s}$$ ### 4. نتیجه‌گیری مقدار $f'(0.3)$ باید نزدیک به $12.5 \text{ m/s}$ باشد. هیچ‌کدام از گزینه‌ها دقیقاً $12.5 \text{ m/s}$ نیستند. با این حال، $11.5 \text{ m/s}$ (گزینه پ) و $14.91 \text{ m/s}$ (گزینه ب) نزدیک‌ترین مقادیر هستند. **بررسی گزینه‌ها:** * $11.5 \text{ m/s}$ (گزینه پ) دقیقاً برابر با آهنگ متوسط در بازه $[0.3, 0.5]$ است. * $14.91 \text{ m/s}$ از $12.5 \text{ m/s}$ بسیار دور است. $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ تنها گزینه معقول، } \mathbf{11.5 \text{ m/s} \text{ (پ)}}$$ \text{ است.}$$

حل تمرین 6 صفحه 99 ریاضی دوازدهم ### الف) آهنگ تغییر متوسط تابعی مانند $f$ در بازه $[0, 1]$، همیشه کمتر از شیب آن منحنی در نقطه $1$ است. **نادرست.** این گزاره تنها در صورتی درست است که تابع در این بازه **محدب (Convex)** باشد. * **مثال نقض:** تابع $f(x) = x^2$ در $[0, 1]$. * $\text{AVC}_{[0, 1]} = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{1 - 0}{1} = 1$. * $\text{شیب در } x=1: f'(x) = 2x \implies f'(1) = 2$. * $1 < 2$ (در این مثال برقرار است). * **مثال نقض (تابع مقعر):** در یک تابع مقعر (مانند $-x^2$)، شیب مماس در انتهای بازه کوچکتر از آهنگ متوسط است. * $\text{AVC}_{[0, 1]} = -1$. * $\text{شیب در } x=1: f'(x) = -2x \implies f'(1) = -2$. * $-1 \not< -2$. $$\mathbf{\text{پاسخ: نادرست}}$$ --- ### ب) اگر تابعی صعودی باشد، آهنگ تغییر متوسط آن، همواره صعودی است. **درست.** تعریف تابع صعودی: برای هر $x_1 < x_2$، داریم $f(x_1) \le f(x_2)$. آهنگ تغییر متوسط در هر بازه $[a, b]$ عبارت است از $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. چون $f(b) \ge f(a)$، پس $f(b) - f(a) \ge 0$. و چون $b > a$، مخرج $b - a > 0$. در نتیجه، $\text{AVC} = \frac{\text{مثبت یا صفر}}{\text{مثبت}} \ge 0$. **آهنگ تغییر متوسط همواره نامنفی است (صعودی).** $$\mathbf{\text{پاسخ: درست}}$$ --- ### پ) تابعی وجود ندارد که برای آن هم $f(a) = 0$ و هم $f'(a) = 0$. **نادرست.** به راحتی می‌توان تابعی مثال زد که هم ریشه داشته باشد و هم در همان نقطه، مماس افقی داشته باشد (یک نقطه اکسترمم روی محور $x$). * **مثال نقض:** تابع $f(x) = x^2$. * $\mathbf{f(0) = 0}$ (ریشه دارد). * $\mathbf{f'(0) = 0}$ (رأس روی محور $x$ است، مماس افقی دارد). $$\mathbf{\text{پاسخ: نادرست}}$$

حل تمرین 7 صفحه 99 ریاضی دوازدهم تابع جرم: $m(t) = \sqrt{t + 2t^3}$. ### الف) افزایش جرم در بازه $[3, 4]$ افزایش جرم در بازه زمانی $[t_1, t_2]$ برابر با $m(t_2) - m(t_1)$ است. (توجه: در صورت سؤال بازه به صورت $[4, 3]$ نوشته شده است که به معنای بازه $[3, 4]$ است.) 1. **جرم در $t=4$:** $$m(4) = \sqrt{4 + 2(4)^3} = \sqrt{4 + 2(64)} = \sqrt{4 + 128} = \sqrt{132}$$ 2. **جرم در $t=3$:** $$m(3) = \sqrt{3 + 2(3)^3} = \sqrt{3 + 2(27)} = \sqrt{3 + 54} = \sqrt{57}$$ 3. **افزایش جرم:** $$\text{افزایش جرم} = m(4) - m(3) = \sqrt{132} - \sqrt{57}$$ $$\sqrt{132} \approx 11.49 \quad , \quad \sqrt{57} \approx 7.55$$ $$\mathbf{\text{افزایش جرم} \approx 11.49 - 7.55 = 3.94 \text{ گرم}}$$ --- ### ب) آهنگ رشد جرم در لحظه $t=3$ آهنگ رشد جرم در لحظه $t=3$ همان **مشتق** $m'(3)$ است. 1. **محاسبه مشتق $m'(t)$:** از قاعده مشتق رادیکال $\left( \sqrt{u} \right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ استفاده می‌کنیم، که $u = t + 2t^3$ و $u' = 1 + 6t^2$. $$m'(t) = \frac{1 + 6t^2}{2\sqrt{t + 2t^3}}$$ 2. **محاسبه $m'(3)$:** $$m'(3) = \frac{1 + 6(3)^2}{2\sqrt{3 + 2(3)^3}} = \frac{1 + 6(9)}{2\sqrt{3 + 54}} = \frac{55}{2\sqrt{57}}$$ $$\mathbf{m'(3) = \frac{55}{2\sqrt{57}} \approx 3.65 \text{ گرم بر ساعت}}$$

حل تمرین 8 صفحه 99 ریاضی دوازدهم تابع حجم: $V(t) = 40\left( 1 - \frac{t}{10} \right)^2$. ### الف) آهنگ تغییر متوسط حجم در بازه $[0, 1]$ $$\text{AVC}_{[0, 1]} = \frac{V(1) - V(0)}{1 - 0}$$ 1. **محاسبه $V(1)$:** $V(1) = 40\left( 1 - \frac{1}{10} \right)^2 = 40\left( \frac{9}{10} \right)^2 = 40 \cdot \frac{81}{100} = \frac{3240}{100} = 32.4$ 2. **محاسبه $V(0)$:** $V(0) = 40\left( 1 - 0 \right)^2 = 40 \cdot 1 = 40$ 3. **آهنگ متوسط:** $$\text{AVC}_{[0, 1]} = \frac{32.4 - 40}{1} = \mathbf{-7.6 \text{ لیتر بر ثانیه}}$$ $$\mathbf{\text{تفسیر:}} \text{ حجم مایع در ثانیه اول به طور متوسط } 7.6 \text{ لیتر بر ثانیه کاهش یافته است.}$$ --- ### ب) برابری آهنگ لحظه‌ای با آهنگ متوسط در $[0, 10]$ به دنبال لحظه $t=c$ هستیم که $V'(c) = \text{AVC}_{[0, 10]}$ باشد. 1. **محاسبه آهنگ تغییر متوسط در $[0, 10]$:** * $V(10) = 40\left( 1 - \frac{10}{10} \right)^2 = 40(0)^2 = 0$ * $\text{AVC}_{[0, 10]} = \frac{V(10) - V(0)}{10 - 0} = \frac{0 - 40}{10} = -4$ $$\mathbf{\text{آهنگ تغییر متوسط: } -4 \text{ لیتر بر ثانیه}}$$ 2. **محاسبه آهنگ تغییر لحظه‌ای ($V'(t)$):** از قاعده زنجیره‌ای $V(t) = 40 u^2$ استفاده می‌کنیم، که $u = 1 - \frac{t}{10}$ و $u' = -\frac{1}{10}$. $$V'(t) = 40 \cdot 2u \cdot u' = 80 \left( 1 - \frac{t}{10} ight) \left( -\frac{1}{10} \right)$$ $$V'(t) = -8 \left( 1 - \frac{t}{10} ight) = -8 + \frac{8t}{10} = -8 + 0.8t$$ 3. **برابر قرار دادن:** $$V'(t) = \text{AVC}_{[0, 10]}$$ $$-8 + 0.8t = -4$$ $$0.8t = 4$$ $$t = \frac{4}{0.8} = \frac{40}{8} = 5$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ در لحظه } \mathbf{t = 5 \text{ ثانیه}} \text{، آهنگ تغییر لحظه‌ای حجم با آهنگ تغییر متوسط در بازه } [0, 10] \text{ برابر است.}$$