حل تمرین صفحه 144 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 144 حسابان دوازدهم سلام! برای رسم نمودار و تحلیل رفتار توابع، باید مراحل جامع **رسم منحنی** شامل دامنه، مجانب‌ها، نقاط بحرانی، اکسترمم‌ها، تقعر و نقاط عطف را طی کنیم. 🚀 --- ## الف) $f(x) = 2x^4 - 4x + 1$ ### 1. دامنه، مجانب‌ها: $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ (ندارد) ### 2. نقاط بحرانی ($f'(x)=0$) $$f'(x) = 8x^3 - 4 = 0 \implies x^3 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$\mathbf{x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}} \approx 0.79$$ ### 3. اکسترمم (آزمون مشتق اول) * $f'(x)$ از منفی به مثبت تغییر می‌کند (از روی $8x^3 - 4$) در $x \approx 0.79$. * $$f(\sqrt[3]{\frac{1}{2}}) = 2(\frac{1}{2})\sqrt[3]{\frac{1}{2}} - 4\sqrt[3]{\frac{1}{2}} + 1 = 1 - 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx -1.38$$ * **نتیجه:** $\mathbf{\text{مینیمم مطلق در } x \approx 0.79}$ ### 4. جدول رفتار | بازه | $(-\infty, 0.79)$ | $0.79$ | $(0.79, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | | $\text{روند } f$ | $\searrow$ (نزولی) | $\text{مینیمم}$ | $\nearrow$ (صعودی) | --- ## ب) $f(x) = x^3 - 5x + 5$ ### 1. دامنه، مجانب‌ها: $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ (ندارد) ### 2. نقاط بحرانی ($f'(x)=0$) $$f'(x) = 3x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = \frac{5}{3}$$ $$\mathbf{x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}} \approx \pm 1.29$$ ### 3. اکسترمم (آزمون مشتق اول) * **ماکزیمم:** $x = -\sqrt{\frac{5}{3}}$. $f(\approx -1.29) \approx 8.79$ * **مینیمم:** $x = \sqrt{\frac{5}{3}}$. $f(\approx 1.29) \approx 1.21$ ### 4. جدول رفتار | بازه | $(-\infty, -1.29)$ | $-1.29$ | $(-1.29, 1.29)$ | $1.29$ | $(1.29, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | | $\text{روند } f$ | $\nearrow$ | $\text{ماکزیمم}$ | $\searrow$ | $\text{مینیمم}$ | $\nearrow$ | --- ## پ) $f(x) = -x(x + 2)^2$ ### 1. دامنه، مجانب‌ها: $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ (ندارد) ### 2. نقاط بحرانی ($f'(x)=0$) $$f(x) = -x(x^2 + 4x + 4) = -x^3 - 4x^2 - 4x$$ $$f'(x) = -3x^2 - 8x - 4 = 0$$ $$\text{ریشه‌ها:} \quad 3x^2 + 8x + 4 = 0 \implies x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(4)}}{6} = \frac{-8 \pm 4}{6}$$ $$\mathbf{x = -2} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = -\frac{2}{3}}$$ ### 3. اکسترمم (آزمون مشتق اول) * **ماکزیمم:** $x = -2$ و $x = -\frac{2}{3}$. چون ضریب $x^2$ در $f'$ منفی است، نمودار $f'$ رو به پایین است. * $f'(-2) = 0$ (اما $f'$ از منفی به منفی تغییر نمی‌کند، بلکه صفر است. در واقع $x=-2$ یک نقطه بحرانی است، ولی چون از سمت چپ $-2$ منفی و از سمت راست $-2$ همچنان منفی است، $athbf{x=-2}$ $\mathbf{\text{نقطه عطف}}$ است). * $x = -2/3$: $f'(-2/3)$ از مثبت به منفی تغییر می‌کند. $f(-2/3) = -(-2/3)(-2/3+2)^2 \approx 1.185$ * **نتیجه:** $\mathbf{\text{ماکزیمم نسبی در } x = -\frac{2}{3}}$ ### 4. جدول رفتار | بازه | $(-\infty, -2)$ | $-2$ | $(-2, -2/3)$ | $-2/3$ | $(-2/3, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | | $\text{روند } f$ | $\searrow$ | $\text{عطف افقی}$ | $\nearrow$ | $\text{ماکزیمم}$ | $\searrow$ | --- ## ت) $f(x) = \frac{2x - 1}{x - 2}$ ### 1. دامنه، مجانب‌ها * $\mathbf{D_f = \mathbb{R} - \{2\}}$ * $\mathbf{\text{مجانب قائم:} } x = 2$ ($N(2) = 3 \neq 0$) * $\mathbf{\text{مجانب افقی:} } y = \frac{2}{1} = 2$ ### 2. نقاط بحرانی و اکسترمم $$f'(x) = \frac{2(x - 2) - (2x - 1)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x + 1}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2}$$ * $f'(x)$ هرگز صفر نمی‌شود و همیشه منفی است. * **نتیجه:** $\mathbf{\text{اکسترمم نسبی ندارد.}}$ ### 3. جدول رفتار | بازه | $(-\infty, 2)$ | $2$ | $(2, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'$ | $\mathbf{-}$ | $\text{ناموجود}$ | $\mathbf{-}$ | | $\text{روند } f$ | $\searrow$ | $\text{مجانب}$ | $\searrow$ | --- ## ث) $f(x) = \frac{-x}{x + 3}$ ### 1. دامنه، مجانب‌ها * $\mathbf{D_f = \mathbb{R} - \{-3\}}$ * $\mathbf{\text{مجانب قائم:} } x = -3$ ($N(-3) = 3 \neq 0$) * $\mathbf{\text{مجانب افقی:} } y = \frac{-1}{1} = -1$ ### 2. نقاط بحرانی و اکسترمم $$f'(x) = \frac{(-1)(x + 3) - (-x)(1)}{(x + 3)^2} = \frac{-x - 3 + x}{(x + 3)^2} = \frac{-3}{(x + 3)^2}$$ * $f'(x)$ هرگز صفر نمی‌شود و همیشه منفی است. * **نتیجه:** $\mathbf{\text{اکسترمم نسبی ندارد.}}$ ### 3. جدول رفتار | بازه | $(-\infty, -3)$ | $-3$ | $(-3, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'$ | $\mathbf{-}$ | $\text{ناموجود}$ | $\mathbf{-}$ | | $\text{روند } f$ | $\searrow$ | $\text{مجانب}$ | $\searrow$ | --- ## ج) $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$ ### 1. دامنه، مجانب‌ها: $\mathbf{D_f = \mathbb{R}}$ (ندارد) ### 2. نقاط بحرانی ($f'(x)=0$) $$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0$$ $$\text{تقسیم بر } 6: \quad x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0$$ $$\mathbf{x = 1} \quad \text{و} \quad \mathbf{x = 2}$$ ### 3. اکسترمم (آزمون مشتق اول) * **ماکزیمم:** $x = 1$. $f(1) = 2(1) - 9(1) + 12(1) + 1 = 6$ * **مینیمم:** $x = 2$. $f(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) + 1 = 16 - 36 + 24 + 1 = 5$ ### 4. جدول رفتار | بازه | $(-\infty, 1)$ | $1$ | $(1, 2)$ | $2$ | $(2, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | | $\text{روند } f$ | $\nearrow$ | $\text{ماکزیمم}$ | $\searrow$ | $\text{مینیمم}$ | $\nearrow$ | $

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 144 حسابان دوازدهم سلام! برای تشخیص نمودار صحیح، باید **نقاط کلیدی** تابع $f(x) = x^3 + x - 2$ را تحلیل کنیم: ریشه، یکنوایی و اکسترمم‌ها. 💡 --- ## 1. تحلیل یکنوایی و اکسترمم‌ها ### الف) مشتق اول ($f'(x)$) $$f'(x) = 3x^2 + 1$$ ### ب) نقاط بحرانی $$f'(x) = 0 \implies 3x^2 + 1 = 0 \implies 3x^2 = -1$$ * **نتیجه:** مشتق ریشه حقیقی ندارد ($f'(x)$ همواره مثبت است). * **روند:** تابع $f(x)$ در تمام $\mathbb{R}$ **صعودی اکید** است و اکسترمم نسبی ندارد. ## 2. تحلیل رفتار نهایی و نقاط عبور ### الف) رفتار نهایی (End Behavior) $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad \text{و} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$ * **نتیجه:** نمودار باید از پایین چپ شروع شده و به بالا راست ختم شود. ### ب) یافتن ریشه‌ها $$f(x) = 0 \implies x^3 + x - 2 = 0$$ * با حدس زدن ریشه، می‌بینیم که $x=1$ یک ریشه است: $f(1) = 1^3 + 1 - 2 = 0$. * **نتیجه:** نمودار باید از نقطه $athbf{(1, 0)}$ عبور کند. ### پ) یافتن عرض از مبدأ * $\text{عرض از مبدأ: } f(0) = 0^3 + 0 - 2 = -2$. * **نتیجه:** نمودار باید از نقطه $athbf{(0, -2)}$ عبور کند. ## 3. مقایسه با نمودارها * **نمودار (الف):** از $(0, -2)$ و $(1, 0)$ عبور می‌کند و همواره صعودی است. **(مطابقت کامل)** * **نمودار (ب):** از $(0, -2)$ عبور می‌کند اما دارای ماکزیمم و مینیمم است (صعودی نیست). (نادرست) * **نمودار (پ):** از $(0, -2)$ عبور نمی‌کند. (نادرست) * **نمودار (ت):** دارای ماکزیمم و مینیمم است (صعودی نیست). (نادرست) **پاسخ نهایی:** $\mathbf{\text{نمودار (الف)}}$ مربوط به تابع $f(x) = x^3 + x - 2$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 144 حسابان دوازدهم سلام! محل تقاطع مجانب‌های یک تابع گویا، با مجانب قائم ($x_{\text{VA}}$) و مجانب افقی ($y_{\text{HA}}$) آن تعیین می‌شود. از این اطلاعات، به همراه نقطه عبور، برای یافتن ضرایب $athbf{a, b, c, d}$ استفاده می‌کنیم. 💡 **تابع:** $$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$$ **محل تقاطع مجانب‌ها:** $(1, 2) \implies x_{\text{VA}} = 1, y_{\text{HA}} = 2$ **نقطه عبور:** $(-1, 0)$ --- ## 1. استفاده از مجانب قائم ($x_{\text{VA}} = 1$) مجانب قائم در ریشه مخرج رخ می‌دهد: $$cx + d = 0 \implies c(1) + d = 0 \implies \mathbf{d = -c}$$ $$\text{تابع جدید: } f(x) = \frac{ax + b}{cx - c} = \frac{ax + b}{c(x - 1)}$$ ## 2. استفاده از مجانب افقی ($y_{\text{HA}} = 2$) مجانب افقی، نسبت ضرایب بزرگترین توان‌ها است (درجه صورت = درجه مخرج): $$y_{\text{HA}} = \frac{a}{c}$$ $$2 = \frac{a}{c} \implies \mathbf{a = 2c}$$ $$\text{تابع جدید: } f(x) = \frac{2cx + b}{c(x - 1)}$$ ## 3. استفاده از نقطه عبور $(-1, 0)$ با جایگذاری $x = -1$ و $f(x) = 0$ در تابع: $$f(-1) = 0 \implies \frac{2c(-1) + b}{c(-1 - 1)} = 0$$ $$\frac{-2c + b}{-2c} = 0$$ چون کسر صفر شده است، **صورت باید صفر باشد** و مخرج ناصفر ($c \neq 0$): $$-2c + b = 0 \implies \mathbf{b = 2c}$$ ## 4. نوشتن ضابطه نهایی حالا ضرایب $a, b, d$ را بر حسب $c$ در ضابطه اصلی جایگزین می‌کنیم: $$\text{ضابطه: } f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{(2c)x + (2c)}{cx + (-c)}$$ $$\text{فاکتورگیری از } c: f(x) = \frac{c(2x + 2)}{c(x - 1)}$$ با حذف $c$ (به شرط $c \neq 0$): $$\mathbf{f(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}}$$ **پاسخ نهایی:** ضابطه تابع $\mathbf{f(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}}$ است.