حل تمرین صفحه 136 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 136 حسابان دوازدهم سلام! **نقطه عطف** نقطه‌ای است که در آن، جهت تقعر تغییر می‌کند **و** تابع در آن نقطه دارای خط مماس است (مشتق اول موجود و متناهی است). برای اینکه تقعر تغییر کند اما نقطه عطف نباشد، باید شرط دوم نقض شود (مشتق اول وجود نداشته باشد یا تابع پیوسته نباشد). 💡 --- ## تحلیل شرایط و رسم نمودار **شرط مورد نیاز:** جهت تقعر در $x=a$ تغییر کند (مثلاً رو به بالا $\to$ رو به پایین)، اما $x=a$ نقطه عطف نباشد. **تنها راه حل:** در $x=a$ تابع باید **ناپیوسته** باشد یا دارای **مماس عمودی** یا **نقطه گوشه** باشد. ### مثال پیشنهادی (ناپیوستگی) یک تابع چند ضابطه‌ای که در $x=a$ ناپیوسته است: $$f(x) = \begin{cases} x^3 & x < 0 \\ x^2 + 1 & x \geq 0 \end{cases}$$ * **تغییر تقعر:** * $x < 0$: $f''(x) = 6x < 0$ (رو به پایین) * $x > 0$: $f''(x) = 2 > 0$ (رو به بالا) * تقعر در $x=0$ تغییر می‌کند. * **عدم عطف:** تابع در $x=0$ ناپیوسته است ($im_{x \to 0^-} f(x) = 0$ و $f(0) = 1$). پس مشتق اول موجود نیست. **نتیجه:** $athbf{x=0}$ نقطه عطف نیست.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 136 حسابان دوازدهم برای بررسی **تقعر** و یافتن **نقطه عطف**، باید **مشتق دوم ($f''$)** تابع را محاسبه و علامت آن را بررسی کنیم. نقطه عطف، ریشه $f''$ است که علامت $f''$ در اطراف آن تغییر کند. 💡 --- ### الف) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$ 1. **مشتق اول:** $$f'(x) = -x^2 - 2x - 3$$ 2. **مشتق دوم:** $$f''(x) = -2x - 2$$ 3. **ریشه $f''$ (نقطه مشکوک به عطف):** $$f''(x) = 0 \implies -2x - 2 = 0 \implies x = -1$$ 4. **بررسی علامت $f''$:** * اگر $x > -1$، آنگاه $f''(x)$ منفی است (مثلاً $f''(0) = -2$). * اگر $x < -1$، آنگاه $f''(x)$ مثبت است (مثلاً $f''(-2) = 2$). * **جهت تقعر:** * در $(-\infty, -1)$: $\mathbf{f'' > 0}$، تقعر **رو به بالا**. * در $(-1, +\infty)$: $\mathbf{f'' < 0}$، تقعر **رو به پایین**. 5. **نقطه عطف:** چون $f''(x)$ علامت خود را در $x=-1$ تغییر می‌دهد و تابع پیوسته است، $x=-1$ طول نقطه عطف است. $$f(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 4 = \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = 6 + \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$$ $$\mathbf{\text{نقطه عطف: } \left(-1, \frac{19}{3}\right)}$$ --- ### ب) $f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 1. **دامنه:** $D_f = \mathbb{R} - \{1\}$. 2. **مشتق اول:** $$f'(x) = \frac{(1)(x - 1) - (x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}$$ 3. **مشتق دوم:** $$f'(x) = -2 (x - 1)^{-2}$$ $$f''(x) = -2 (-2) (x - 1)^{-3} \cdot (1) = \frac{4}{(x - 1)^3}$$ 4. **ریشه $f''$:** $f''(x) = 0$ (صورت 4 است)، پس $f''$ هرگز صفر نمی‌شود. 5. **بررسی علامت $f''$:** * اگر $x > 1$، آنگاه مخرج مثبت است، پس $\mathbf{f'' > 0}$ (رو به بالا). * اگر $x < 1$، آنگاه مخرج منفی است، پس $\mathbf{f'' < 0}$ (رو به پایین). * **جهت تقعر:** * در $(-\infty, 1)$: تقعر **رو به پایین**. * در $(1, +\infty)$: تقعر **رو به بالا**. * **نقطه عطف:** در $x=1$ تقعر تغییر می‌کند، اما $x=1$ خارج از دامنه است و تابع در آنجا ناپیوسته است (مجانب قائم). $$\mathbf{\text{نقطه عطف: ندارد}}$$ --- ### پ) $f(x) = \sqrt[3]{x} + 1$ 1. **دامنه:** $D_f = \mathbb{R}$. 2. **مشتق اول:** $$f(x) = x^{1/3} + 1 \implies f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}$$ 3. **مشتق دوم:** $$f''(x) = \frac{1}{3} \left(-\frac{2}{3} x^{-5/3}\right) = -\frac{2}{9} x^{-5/3} = -\frac{2}{9 \sqrt[3]{x^5}}$$ 4. **ریشه $f''$:** $f''$ هرگز صفر نمی‌شود (صورت $-2$ است). اما در $x=0$ مشتق دوم ناموجود است. ($x=0$ نقطه مشکوک به عطف). 5. **بررسی علامت $f''$:** * اگر $x > 0$، آنگاه $\sqrt[3]{x^5} > 0$. پس $\mathbf{f'' < 0}$ (رو به پایین). * اگر $x < 0$، آنگاه $\sqrt[3]{x^5} < 0$. پس $\mathbf{f'' > 0}$ (رو به بالا). * **نقطه عطف:** چون $f$ در $x=0$ پیوسته است و جهت تقعر تغییر می‌کند، $x=0$ طول نقطه عطف است. $$f(0) = \sqrt[3]{0} + 1 = 1$$ $$\mathbf{\text{نقطه عطف: } (0, 1)}$$ (این نقطه یک مماس عمودی نیز دارد، اما همچنان نقطه عطف است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 136 حسابان دوازدهم یک تابع درجه 3 عمومی به صورت $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ است. نقطه عطف در نقطه‌ای رخ می‌دهد که $athbf{f''(x) = 0}$ باشد. برای سادگی، از فرم جابجا شده $f(x) = a(x - h)^3 + k$ استفاده می‌کنیم که نقطه عطف آن $(h, k)$ است. 💡 --- ### الف) نقطه عطف $(0, 0)$ * **تابع عطف در مبدأ:** $f(x) = x^3$. * **بررسی:** $f(0) = 0$. $f'(x) = 3x^2 \implies f''(x) = 6x$. $f''(0) = 0$. علامت $f''$ در 0 تغییر می‌کند. $$\mathbf{f(x) = x^3}$$ --- ### ب) نقطه عطف $(1, 0)$ * **جابجایی افقی:** نقطه عطف یک واحد به راست رفته است. $h=1, k=0$. * **تابع:** $$f(x) = (x - 1)^3 + 0 = (x - 1)^3$$ * **بررسی:** $f(1) = 0$. $f''(x) = 6(x-1)$. $f''(1) = 0$. $$\mathbf{f(x) = (x - 1)^3}$$ --- ### پ) نقطه عطف $(0, 1)$ * **جابجایی عمودی:** نقطه عطف یک واحد به بالا رفته است. $h=0, k=1$. * **تابع:** $$f(x) = x^3 + 1$$ * **بررسی:** $f(0) = 1$. $f''(x) = 6x$. $f''(0) = 0$. $$\mathbf{f(x) = x^3 + 1}$$ --- ### ت) نقطه عطف $(2, 2)$ * **جابجایی عمومی:** نقطه عطف 2 واحد به راست و 2 واحد به بالا رفته است. $h=2, k=2$. * **تابع:** $$f(x) = (x - 2)^3 + 2$$ * **بررسی:** $f(2) = 2$. $f''(x) = 6(x-2)$. $f''(2) = 0$. $$\mathbf{f(x) = (x - 2)^3 + 2}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 136 حسابان دوازدهم این یک مسئله جبری است که از ویژگی‌های **مقدار تابع** و **مشتق دوم (نقطه عطف)** برای یافتن ضرایب مجهول استفاده می‌کند. 💡 **تابع:** $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ (شاید منظور $d$ بوده است، چون 4 مجهول وجود دارد و 4 شرط! اما در صورت سوال $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ داده شده است که $d=0$). **با فرض اینکه تابع اصلی $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ باشد:** --- ### 1. اعمال شرط $f(0) = 1$ $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 1 \implies \mathbf{d = 1}$$ $$\text{تابع اصلاح شده: } f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1$$ ### 2. اعمال شرط $f(1) = 2$ $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + 1 = 2$$ $$a + b + c + 1 = 2$$ $$\text{معادله 1: } \mathbf{a + b + c = 1}$$ ### 3. اعمال شرط نقطه عطف $x = \frac{1}{3}$ (استفاده از $f''(x) = 0$) ابتدا مشتق اول و دوم را محاسبه می‌کنیم: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ نقطه عطف در $x = \frac{1}{3}$ رخ می‌دهد، پس $f''(\frac{1}{3}) = 0$: $$f''\left(\frac{1}{3}\right) = 6a\left(\frac{1}{3}\right) + 2b = 0$$ $$2a + 2b = 0 \implies 2a = -2b$$ $$\text{معادله 2: } \mathbf{a = -b}$$ ### 4. حل دستگاه معادلات مقدار $a = -b$ را در معادله (1) جایگزین می‌کنیم: $$a + b + c = 1$$ $$(-b) + b + c = 1$$ $$\mathbf{c = 1}$$ ### 5. نتیجه‌گیری چون فقط 3 شرط برای 4 مجهول (a, b, c, d) داده شده بود، ضرایب $a$ و $b$ به هم وابسته هستند و بی‌نهایت جواب وجود دارد. **با فرض اینکه مجهول دیگری وجود نداشته باشد، نتایج زیر به دست می‌آید:** * **$c = 1$** * **$d = 1$** * **$a = -b$** (یک رابطه بین $a$ و $b$) **پاسخ نهایی:** $$athbf{c = 1} \quad \text{و} \quad \mathbf{d = 1} \quad \text{و} \quad \mathbf{a = -b}$$ (می‌توانیم $a$ را دلخواه و ناصفر انتخاب کنیم، مثلاً $a=1$ و $b=-1$ تا تابع درجه 3 باشد.) $$\text{مثلاً: } f(x) = x^3 - x^2 + x + 1$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 136 حسابان دوازدهم این تمرین نیز یک مسئله جبری برای یافتن ضرایب تابع درجه سوم است، با استفاده از اطلاعات نقطه عطف و نقاط اکسترمم (شیب صفر). 💡 **تابع:** $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$ **اطلاعات از صورت سوال و نمودار:** 1. **نقطه عطف $(0, 0)$:** $$f(0) = 0 \quad \text{و} \quad f''(0) = 0$$ 2. **اکسترمم نسبی در $x = -2$ و $x = 2$:** $$f'(-2) = 0 \quad \text{و} \quad f'(2) = 0$$ ### 1. یافتن $c$ (شرط $f(0) = 0$) $$f(0) = (0)^3 + a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies \mathbf{c = 0}$$ $$\text{تابع: } f(x) = x^3 + ax^2 + bx$$ ### 2. یافتن $a$ (شرط $f''(0) = 0$) ابتدا مشتق اول و دوم را محاسبه می‌کنیم: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f''(x) = 6x + 2a$$ نقطه عطف در $x = 0$ رخ می‌دهد، پس $f''(0) = 0$: $$f''(0) = 6(0) + 2a = 0 \implies 2a = 0 \implies \mathbf{a = 0}$$ $$\text{تابع: } f(x) = x^3 + bx$$ ### 3. یافتن $b$ (شرط $f'(2) = 0$) چون $x=-2$ و $x=2$ نقاط اکسترمم هستند، $f'(2)$ باید صفر باشد (می‌توان از $f'(-2)$ هم استفاده کرد): $$f'(x) = 3x^2 + b$$ $$f'(2) = 3(2)^2 + b = 0$$ $$12 + b = 0 \implies \mathbf{b = -12}$$ ### 4. بررسی نهایی **تابع نهایی:** $$f(x) = x^3 - 12x$$ * $\text{عطف در } (0, 0)$: * $f(0) = 0$. ($c=0$) * $f''(x) = 6x \implies f''(0) = 0$. ($a=0$) * $\text{اکسترمم در } x=\pm 2$: * $f'(x) = 3x^2 - 12$. $f'(\pm 2) = 3(4) - 12 = 0$. ($b=-12$) **پاسخ نهایی:** ضرایب $\mathbf{a = 0}$ و $\mathbf{b = -12}$ و $\mathbf{c = 0}$ هستند.