حل تمرین صفحه 125 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 125 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین شما را مجبور می‌کند تا انواع مختلف نقاط **بحرانی** و اکسترمم را به یاد بیاورید و یک نمودار جامع بسازید. 🧠 --- ## تحلیل شرایط و رسم نمودار ### 1. ماکزیمم نسبی با $f'(x) = 0$ (قله هموار) * **تفسیر:** در نقطه‌ای مانند $athbf{A(a, f(a))}$، باید تابع هموار باشد و شیب مماس افقی (مثلاً $f(x) = -x^2$). ### 2. مینیمم نسبی پیوسته با مشتق ناموجود (دره گوشه‌ای) * **تفسیر:** در نقطه‌ای مانند $athbf{B(b, f(b))}$، باید نمودار دارای **نقطه گوشه** باشد (مثلاً $f(x) = |x|$). ### 3. ماکزیمم نسبی ناپیوسته * **تفسیر:** در نقطه‌ای مانند $athbf{C(c, f(c))}$، باید یک **ناپیوستگی پرشی** یا **حفره** وجود داشته باشد. مقدار $f(c)$ باید از تمام مقادیر نزدیک خود در آن همسایگی بزرگتر باشد (مثلاً یک نقطه توپر در بالا، در نزدیکی یک حفره). ### 4. اکسترمم نسبی نباشد ولی $f'(x) = 0$ (نقطه عطف افقی) * **تفسیر:** در نقطه‌ای مانند $athbf{D(d, f(d))}$، باید تابع هموار باشد و شیب افقی باشد، اما جهت یکنوایی در دو طرف نقطه تغییر نکند (مثلاً $f(x) = x^3$). --- ## نمودار پیشنهادی (شامل تمام موارد) **تابع پیشنهادی (با نقاط فرضی):** * **A (ماکزیمم نسبی، $f'=0$):** $x=1$ (قله هموار) * **B (مینیمم نسبی، $f'$ ناموجود):** $x=3$ (دره گوشه‌ای) * **C (ماکزیمم نسبی ناپیوسته):** $x=5$ (نقطه توپر $f(5)=3$, $\lim_{x \to 5} f(x) = 1$) * **D (عطف افقی، $f'=0$):** $x=7$ (شیب افقی ولی صعود ادامه دارد)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 125 حسابان دوازدهم این تمرین به تفاوت‌های دقیق در **تعاریف یکنوایی (Monotonicity)** می‌پردازد: **اکید (Strict)** در مقابل **غیر اکید** (که شامل بخش ثابت است). 💡 --- ### الف) صعودی است اما صعودی اکید نیست * **تفسیر:** $f$ صعودی است یعنی $f'(x) \geq 0$. اما صعودی اکید نیست یعنی باید در بخشی از بازه **ثابت** باشد ($f'(x) = 0$). * **نمودار پیشنهادی:** نموداری که در بازه $[a, b]$ ابتدا صعودی بوده و سپس در بازه‌ای مانند $[c, d]$ (که $a < c < d < b$) یک خط افقی شود. .] --- ### ب) نزولی است اما نزولی اکید نیست * **تفسیر:** $f$ نزولی است یعنی $f'(x) \leq 0$. اما نزولی اکید نیست یعنی باید در بخشی از بازه **ثابت** باشد ($f'(x) = 0$). * **نمودار پیشنهادی:** نموداری که در بازه $[a, b]$ ابتدا نزولی بوده و سپس در بازه‌ای مانند $[c, d]$ (که $a < c < d < b$) یک خط افقی شود. .] --- ### پ) هم صعودی و هم نزولی است * **تفسیر:** $f$ صعودی است یعنی $f'(x) \geq 0$. $f$ نزولی است یعنی $f'(x) \leq 0$. تنها حالتی که هر دو شرط برقرار باشند، این است که **$f'(x) = 0$** باشد. * **نمودار پیشنهادی:** یک **تابع ثابت** (خط افقی) در تمام بازه $[a, b]$. .]

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 125 حسابان دوازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا مثال‌هایی از توابع ارائه دهید که برخی از قضایای اصلی مشتق‌پذیری و پیوستگی را نقض می‌کنند. 💡 --- ### الف) اکیداً نزولی است اما در برخی نقاط آن بازه پیوسته نیست * **تفسیر:** تابع باید همیشه رو به پایین باشد، اما در یک یا چند نقطه **پرش (Jump Discontinuity)** داشته باشد. * **نمودار پیشنهادی:** یک تابع چندضابطه‌ای که در هر قطعه نزولی است، اما در نقطه مرزی ناپیوسته است. $$f(x) = \begin{cases} -x + 3 & x < 1 \\ -x + 1 & x \geq 1 \end{cases} \quad \text{در بازه } \mathbb{R}$$ --- ### ب) اکیداً صعودی و پیوسته است اما در برخی نقاط آن بازه مشتق‌پذیر نیست * **تفسیر:** تابع باید همیشه رو به بالا باشد و هیچ پرشی نداشته باشد، اما دارای **نقطه گوشه** باشد. * **نمودار پیشنهادی:** یک تابع قدر مطلق صعودی. $$f(x) = x + |x - 2| \quad \text{در بازه } \mathbb{R} \text{ (نقطه گوشه در } x=2 \text{)}$$ --- ### پ) اکیداً نزولی و مشتق‌پذیر است اما مشتق آن در برخی نقاط منفی نباشد * **تفسیر:** تابع باید همیشه رو به پایین باشد و هموار باشد. اکیداً نزولی بودن یعنی $f'(x) \leq 0$ باشد. مشتق آن در برخی نقاط منفی نباشد، یعنی در آن نقاط باید **$f'(x) = 0$** باشد. (نقطه عطف افقی نزولی) * **نمودار پیشنهادی:** یک تابع درجه سوم با شیب منفی که یک **نقطه عطف افقی** دارد. $$f(x) = -x^3 \quad \text{در بازه } \mathbb{R} \text{ (نقطه عطف افقی در } x=0 \text{)}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 125 حسابان دوازدهم سلام! این یک تمرین چالش برانگیز است که شما را مجبور می‌کند تا دامنه و مقدار تابع را با دقت کنترل کنید. 💡 **شرایط مورد نیاز:** 1. **$f$ ماکزیمم مطلق داشته باشد:** باید یک نقطه $(x_{\max}, y_{\max})$ در دامنه $f$ وجود داشته باشد که $y_{\max}$ بزرگترین مقدار $f$ باشد. 2. **$|f|$ ماکزیمم مطلق نداشته باشد:** بزرگترین مقدار $|f|$ باید به سمت $+\infty$ میل کند یا به یک مقدار نزدیک شود که در دامنه $|f|$ وجود نداشته باشد. --- ## تابع پیشنهادی برای این کار، باید قسمت‌های منفی $f$ را به سمت $-\infty$ ببریم، تا پس از قدر مطلق‌گیری، قسمت‌های مثبت $|f|$ به سمت $+\infty$ بروند. * **تابع:** $$f(x) = \begin{cases} -x + 3 & x \leq 1 \\ \frac{1}{x - 1} & x > 1 \end{cases} \quad \text{در دامنه } \mathbb{R} - \{1\}$$ ### تحلیل $f(x)$ * **ماکزیمم مطلق $f$:** $f(1) = 2$ (نقطه انتهایی در ضابطه اول). در قسمت $x>1$، تابع به $-\infty$ می‌رود. پس $athbf{y_{\max}(f) = 2}$. ### تحلیل $|f(x)|$ * $$|f(x)| = \begin{cases} |-x + 3| & x \leq 1 \\ |\frac{1}{x - 1}| & x > 1 \end{cases}$$ * در $x > 1$ (سمت راست مجانب)، $\frac{1}{x-1} > 0$ است، پس: $$|f(x)| = \frac{1}{x - 1}$$ * **رفتار $|f|$:** $$im_{x \to 1^+} |f(x)| = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty$$ چون $|f(x)|$ در نزدیکی $x=1$ به $+\infty$ میل می‌کند، $athbf{|f| \text{ ماکزیمم مطلق ندارد.}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 125 حسابان دوازدهم برای اینکه یک تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد، باید دو شرط زیر برقرار باشد: 💡 1. **نقطه روی منحنی باشد:** $f(1) = 2$. 2. **شرط اکسترمم (نقطه بحرانی):** شیب مماس صفر باشد، $f'(1) = 0$. --- **تابع:** $$f(x) = x^3 + ax + b$$ ### 1. اعمال شرط نقطه تماس ($f(1) = 2$) با جایگذاری $x=1$ و $f(x)=2$ در تابع اصلی: $$f(1) = (1)^3 + a(1) + b = 2$$ $$1 + a + b = 2$$ $$\text{معادله 1: } \mathbf{a + b = 1}$$ ### 2. اعمال شرط مشتق صفر ($f'(1) = 0$) ابتدا مشتق تابع را محاسبه می‌کنیم: $$f'(x) = 3x^2 + a$$ با جایگذاری $x=1$ و $f'(x)=0$: $$f'(1) = 3(1)^2 + a = 0$$ $$3 + a = 0$$ $$\mathbf{a = -3}$$ ### 3. یافتن $b$ مقدار $a = -3$ را در معادله (1) جایگزین می‌کنیم: $$a + b = 1$$ $$-3 + b = 1$$ $$\mathbf{b = 4}$$ ### 4. بررسی نهایی (آیا مینیمم است؟) * **تابع نهایی:** $f(x) = x^3 - 3x + 4$. * **مشتق دوم (آزمون مشتق دوم):** $f''(x) = 6x$. * **علامت در $x=1$:** $f''(1) = 6(1) = 6 > 0$. چون مشتق دوم مثبت است، $x=1$ یک **مینیمم نسبی** است. (شرط سؤال برقرار است.) **پاسخ نهایی:** ضرایب $\mathbf{a = -3}$ و $\mathbf{b = 4}$ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 8 صفحه 125 حسابان دوازدهم این تمرین نیازمند ترسیم تابعی است که از **سه نقطه خاص عبور کند** و در یک نقطه دیگر **قله (ماکزیمم نسبی)** داشته باشد. ✍️ --- ## تحلیل شرایط و رسم نمودار **نقاط عبور:** * $A(-1, 5)$ * $B(2, -2)$ * $C(0, 0)$ **نقطه ماکزیمم نسبی:** * $D(1, 1)$ (قله) ### 1. بررسی روند برای اینکه $(1, 1)$ ماکزیمم نسبی باشد، باید در $x=1$ شیب خط مماس افقی باشد ($f'(1) = 0$) و تابع در اطراف آن از صعودی به نزولی تغییر کند. * **از $C(0, 0)$ به $D(1, 1)$:** تابع باید **صعودی** باشد (از $y=0$ به $y=1$ می‌رود). * **از $D(1, 1)$ به $B(2, -2)$:** تابع باید **نزولی** باشد (از $y=1$ به $y=-2$ می‌رود). * **سمت چپ $C(0, 0)$:** تابع از $A(-1, 5)$ به $C(0, 0)$ می‌رود. تابع باید **نزولی** باشد (از $y=5$ به $y=0$ می‌رود). * **سمت راست $B(2, -2)$:** تابع باید ادامه پیدا کند. ### 2. ترسیم نمودار 1. رسم نقطه $A(-1, 5)$ و سپس نزول به $C(0, 0)$. 2. رسم صعود از $C(0, 0)$ به $D(1, 1)$. 3. رسم نزول از $D(1, 1)$ به $B(2, -2)$. **نکته:** چون نقاط $A$ و $C$ و $B$ در مسیر نزولی و صعودی هستند، شیب خط مماس در آن‌ها نباید صفر باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 9 صفحه 125 حسابان دوازدهم سلام! این یک مسئله **بهینه‌سازی** است. هدف، یافتن ابعاد اولیه مستطیل ($x, y$) است که حجم جعبه ساخته شده را حداکثر کند. 📦 --- ## 1. تعریف تابع حجم **اطلاعات داده شده:** * $\text{مساحت اولیه: } xy = 100 \implies y = \frac{100}{x}$ * $\text{ارتفاع جعبه: } h = 2$ **ابعاد جعبه (مکعب مستطیل) پس از برش:** * $\text{طول جدید: } L = x - 2h = x - 2(2) = x - 4$ * $\text{عرض جدید: } W = y - 2h = y - 2(2) = y - 4$ * $\text{ارتفاع جدید: } H = h = 2$ **تابع حجم ($V$) بر حسب $x$:** $$V(x) = L \cdot W \cdot H = (x - 4)(y - 4)(2)$$ با جایگذاری $y = \frac{100}{x}$: $$V(x) = 2 (x - 4) \left( \frac{100}{x} - 4 \right)$$ $$V(x) = 2 \left( 100 - 4x - \frac{400}{x} + 16 \right)$$ $$\mathbf{V(x) = 224 - 8x - \frac{800}{x}}$$ ### 2. تعیین دامنه برای اینکه ابعاد جعبه مثبت باشند: * $x - 4 > 0 \implies x > 4$ * $y - 4 > 0 \implies \frac{100}{x} > 4 \implies 100 > 4x \implies x < 25$ **دامنه:** $x \in (4, 25)$ ### 3. یافتن نقطه بحرانی (مشتق‌گیری) برای یافتن بیشترین مقدار، مشتق $V'(x)$ را صفر قرار می‌دهیم: $$V'(x) = \frac{d}{dx} \left( 224 - 8x - 800 x^{-1} \right)$$ $$V'(x) = 0 - 8 - 800 (-1 x^{-2}) = -8 + \frac{800}{x^2}$$ **قرار دادن مشتق برابر صفر:** $$V'(x) = 0 \implies -8 + \frac{800}{x^2} = 0$$ $$\frac{800}{x^2} = 8 \implies 8x^2 = 800 \implies x^2 = 100$$ $$x = \pm 10$$ چون $x$ باید در دامنه $(4, 25)$ باشد، **$x = 10$** تنها نقطه بحرانی است. ### 4. بررسی نوع اکسترمم (آزمون مشتق دوم) $$V''(x) = \frac{d}{dx} (-8 + 800 x^{-2}) = 800 (-2 x^{-3}) = -\frac{1600}{x^3}$$ * **مقدار در $x=10$:** $$V''(10) = -\frac{1600}{1000} = -1.6$$ چون $V''(10) < 0$ است، در $x=10$ تابع دارای **ماکزیمم** است. ### 5. محاسبه $x$ و $y$ * **$x$:** $athbf{10 \text{ cm}}$ * **$y$:** $$y = \frac{100}{x} = \frac{100}{10} = 10 \text{ cm}$$ **پاسخ نهایی:** مقادیر $\mathbf{x = 10 \text{ cm}}$ و $\mathbf{y = 10 \text{ cm}}$ حجم مکعب را بیشترین مقدار ممکن (144 سانتی‌متر مکعب) می‌کنند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 10 صفحه 125 حسابان دوازدهم این یک مسئله **بهینه‌سازی هندسی** است. برای حل، باید مساحت مستطیل را بر حسب یک متغیر (مانند $x$ یا $\theta$) تعریف کنیم و سپس آن را با استفاده از مشتق، حداکثر کنیم. 📐 --- ## 1. تعریف تابع مساحت * **فرض:** مرکز نیم‌دایره در مبدأ $(0, 0)$ و قاعده مستطیل بر محور $x$ قرار دارد. * **شعاع نیم‌دایره ($R$):** $$R = 4$$ * **ابعاد مستطیل:** * $\text{طول مستطیل: } L = 2x$ (به دلیل تقارن حول محور $y$) * $\text{عرض مستطیل: } W = y$ **نقطه $(x, y)$** یک گوشه مستطیل، روی نیم‌دایره قرار دارد. پس در معادله دایره صدق می‌کند: $$x^2 + y^2 = R^2 = 4^2 = 16$$ $$y = \sqrt{16 - x^2}$$ **تابع مساحت ($A$) بر حسب $x$:** $$A(x) = L \cdot W = (2x) y = 2x \sqrt{16 - x^2}$$ ### 2. تعیین دامنه برای اینکه مستطیل واقعی باشد، $x$ و $y$ باید مثبت باشند: * $x > 0$ و $y > 0 mplies 16 - x^2 > 0 mplies x^2 < 16 mplies 0 < x < 4$ **دامنه:** $x \in (0, 4)$ ### 3. یافتن نقطه بحرانی (مشتق‌گیری) از **قاعده حاصل ضرب** استفاده می‌کنیم ($u=2x$ و $v=\sqrt{16-x^2}$): $$A'(x) = u'v + uv' = (2) \sqrt{16 - x^2} + (2x) \left( \frac{1}{2\sqrt{16 - x^2}} \cdot (-2x) \right)$$ $$A'(x) = 2 \sqrt{16 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{16 - x^2}}$$ **قرار دادن مشتق برابر صفر:** $$A'(x) = 0 \implies 2 \sqrt{16 - x^2} = \frac{2x^2}{\sqrt{16 - x^2}}$$ $$2 (16 - x^2) = 2x^2$$ $$32 - 2x^2 = 2x^2$$ $$32 = 4x^2 \implies x^2 = 8$$ $$x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \quad (\text{چون } x \in (0, 4) \text{ است.})$$ ### 4. محاسبه طول و عرض مستطیل * **عرض مستطیل ($W = y$):** $$y = \sqrt{16 - x^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$$ * **طول مستطیل ($L = 2x$):** $$L = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \text{ cm}$$ ### 5. بررسی نهایی چون در دامنه $(0, 4)$ تنها یک نقطه بحرانی وجود دارد، این نقطه حتماً ماکزیمم مطلق مساحت است. **پاسخ نهایی:** طول مستطیل $\mathbf{4\sqrt{2} \text{ cm}}$ و عرض مستطیل $\mathbf{2\sqrt{2} \text{ cm}}$ است. (حداکثر مساحت 16 سانتی‌متر مربع است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 11 صفحه 126 حسابان دوازدهم سلام! برای تعیین بازه‌های صعودی و نزولی یک تابع، باید **علامت مشتق اول ($f'(x)$)** را بررسی کنیم. 💡 * **$f'(x) > 0 \implies$ صعودی** * **$f'(x) < 0 \implies$ نزولی** --- ## الف) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7$ ### 1. محاسبه مشتق و یافتن نقاط بحرانی $$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$$ نقاط بحرانی را با قرار دادن $f'(x) = 0$ پیدا می‌کنیم: $$6x^2 - 6x - 12 = 0 \quad \xrightarrow{\text{تقسیم بر } 6} \quad x^2 - x - 2 = 0$$ $$(x - 2)(x + 1) = 0$$ $$\text{نقاط بحرانی:} \quad x = 2 \quad \text{و} \quad x = -1$$ ### 2. تعیین علامت مشتق $f'(x)$ یک سهمی رو به بالا است که ریشه‌های آن $-1$ و $2$ هستند. پس: | بازه | $(-\infty, -1)$ | $-1$ | $(-1, 2)$ | $2$ | $(2, +\infty)$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{علامت } f'(x)$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | | $\text{روند } f(x)$ | $\nearrow$ (صعودی) | $\text{ماکزیمم}$ | $\searrow$ (نزولی) | $\text{مینیمم}$ | $\nearrow$ (صعودی) | ### 3. نتیجه‌گیری بازه‌های یکنوایی * **بازه‌های صعودی:** $$athbf{(-\infty, -1] \text{ و } [2, +\infty)}$$ * **بازه‌های نزولی:** $$athbf{[-1, 2]}$$ --- ## ب) $f(x) = \frac{x}{x - 2}$ ### 1. محاسبه مشتق و یافتن نقاط بحرانی از قاعده خارج قسمت استفاده می‌کنیم ($u = x, u' = 1$ و $v = x - 2, v' = 1$): $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(1)(x - 2) - (x)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x}{(x - 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-2}{(x - 2)^2}$$ نقاط بحرانی: * **$f'(x) = 0$:** صورت برابر $-2$ است و هرگز صفر نمی‌شود. * **$f'(x)$ ناموجود:** در ریشه مخرج ($x=2$) مشتق ناموجود است. $$\text{نقطه مرزی دامنه:} \quad x = 2 \quad (\text{مجانب قائم})$$ ### 2. تعیین علامت مشتق * **صورت:** $-2$ (همیشه منفی) * **مخرج:** $(x - 2)^2$ (همیشه مثبت به ازای $x \neq 2$) $$\text{علامت } f'(x) = \frac{\text{منفی}}{\text{مثبت}} = \mathbf{\text{منفی}}$$ ### 3. نتیجه‌گیری بازه‌های یکنوایی چون $f'(x)$ در کل دامنه (به جز $x=2$) منفی است، تابع در هر بازه از دامنه‌اش **نزولی** است. * **دامنه:** $D_f = \mathbb{R} - \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ * **بازه‌های صعودی:** $$athbf{\text{ندارد}}$$ * **بازه‌های نزولی:** $$athbf{(-\infty, 2) \text{ و } (2, +\infty)}$$ (توجه: تابع در کل دامنه $\mathbb{R} - \{2\}$ نزولی نیست، بلکه فقط در هر کدام از بازه‌های تشکیل‌دهنده دامنه‌اش نزولی است.)