پاسخ فعالیت صفحه 122 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 122 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت مقدمه‌ای برای **آزمون مشتق اول (First Derivative Test)** است که رابطه بین علامت مشتق و نوع اکسترمم (ماکزیمم یا مینیمم) را مشخص می‌کند. 💡 --- ### 1. تحلیل نمودار و علامت $f'$ (آزمون مشتق اول) در نقطه $x=c$، تابع یک **ماکزیمم نسبی (قله)** دارد. این یعنی: * **سمت چپ $c$ (بازه $(a, c)$):** تابع **صعودی** است. $$\text{قاعده:} \quad \text{اگر } f \text{ صعودی باشد، } \mathbf{f'(x) \geq 0} \text{ است.}$$ $$\mathbf{\text{علامت } f' \text{ در چپ } c: \text{مثبت یا صفر}}$$ * **سمت راست $c$ (بازه $(c, b)$):** تابع **نزولی** است. $$\text{قاعده:} \quad \text{اگر } f \text{ نزولی باشد، } \mathbf{f'(x) \leq 0} \text{ است.}$$ $$\mathbf{\text{علامت } f' \text{ در راست } c: \text{منفی یا صفر}}$$ **نتیجه:** برای یک ماکزیمم نسبی، علامت مشتق از **مثبت به منفی** تغییر می‌کند. | | $(a, c)$ (چپ $c$) | $(c, b)$ (راست $c$) | |:---:|:---:|:---:| | **$f'$** | **مثبت ($athbf{+}$)** | **منفی ($athbf{-}$)** |

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 122 حسابان دوازدهم این فعالیت به صورت مشابه، حالت **مینیمم نسبی (دره)** را در آزمون مشتق اول بررسی می‌کند. در اینجا، روند تغییر تابع برعکس حالت ماکزیمم است. 💡 --- ### 1. تحلیل نمودار و علامت $f'$ (مینیمم نسبی) در نقطه $x=c$，تابع یک **مینیمم نسبی (دره)** دارد. این یعنی: * **سمت چپ $c$ (بازه $(a, c)$):** تابع **نزولی** است. $$\text{قاعده:} \quad \text{اگر } f \text{ نزولی باشد، } \mathbf{f'(x) \leq 0} \text{ است.}$$ $$\mathbf{\text{علامت } f' \text{ در چپ } c: \text{منفی یا صفر}}$$ * **سمت راست $c$ (بازه $(c, b)$):** تابع **صعودی** است. $$\text{قاعده:} \quad \text{اگر } f \text{ صعودی باشد، } \mathbf{f'(x) \geq 0} \text{ است.}$$ $$\mathbf{\text{علامت } f' \text{ در راست } c: \text{مثبت یا صفر}}$$ **نتیجه:** برای یک مینیمم نسبی، علامت مشتق از **منفی به مثبت** تغییر می‌کند. | | $(a, c)$ (چپ $c$) | $(c, b)$ (راست $c$) | |:---:|:---:|:---:| | **$f'$** | **منفی ($athbf{-}$)** | **مثبت ($athbf{+}$)** |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 3 صفحه 122 حسابان دوازدهم این تمرین به بررسی یکی از موارد استثنایی در آزمون مشتق اول می‌پردازد: حالتی که $f'(c)=0$ باشد، اما لزوماً $c$ اکسترمم نسبی نباشد (نقطه عطف افقی). 💡 --- ### الف) بررسی علامت $f'$ در دو طرف $c$ #### 1. نمودار الف (Graph A: ماکزیمم نسبی) * **چپ $c$:** تابع **صعودی** است. $$athbf{f' > 0}$$ * **راست $c$:** تابع **نزولی** است. $$athbf{f' < 0}$$ #### 2. نمودار ب (Graph B: نقطه عطف افقی) * **چپ $c$:** تابع **صعودی** است. $$athbf{f' > 0}$$ * **راست $c$:** تابع **صعودی** است. $$athbf{f' > 0}$$ **نتیجه:** در نمودار ب، علامت $f'$ در دو طرف $c$ تغییر **نکرده** است. --- ### ب) تعیین نوع اکسترمم نسبی در $x=c$ #### 1. نمودار الف * **تغییر علامت $f'$:** از $athbf{+}$ به $athbf{-}$ تغییر کرده است. * **روند تابع:** صعود $ o$ افقی $ o$ نزول (قله) * **پاسخ:** $athbf{x=c}$ یک **ماکزیمم نسبی** است. #### 2. نمودار ب * **تغییر علامت $f'$:** علامت $f'$ در چپ و راست $c$ **تغییر نکرده** است (همچنان مثبت مانده است). * **روند تابع:** صعود $ o$ افقی $ o$ صعود * **پاسخ:** $athbf{x=c}$ **نقطه اکسترمم نسبی نیست**؛ بلکه یک **نقطه عطف افقی** است. | نمودار | علامت $f'$ در چپ $c$ | علامت $f'$ در راست $c$ | آیا $x=c$ اکسترمم است؟ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **الف** | $athbf{+}$ | $athbf{-}$ | **بله** (ماکزیمم نسبی) | | **ب** | $athbf{+}$ | $athbf{+}$ | **خیر** (نقطه عطف افقی) |