پاسخ فعالیت صفحه 115 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 1 صفحه 115 حسابان دوازدهم سلام! این فعالیت برای درک عمیق **نقاط بحرانی (Critical Points)** و رابطه آن‌ها با **اکسترمم‌های نسبی** است. نقاط بحرانی شامل نقاطی است که $f'(x)=0$ یا $f'(x)$ وجود ندارد. 💡 --- ## 1. تحلیل نقاط نمودار | نقطه ($x$) | $f(x)$ | $f'(x)$ | نوع اکسترمم | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **a** | 5 | $f'_+(a) \neq 0$ | نقطه انتهایی | | **b** | 3 | $f'(b)=0$ | مینیمم نسبی (افقی) | | **c** | 6 | $\text{موجود نیست}$ | پرش ناپیوستگی (ناپیوسته) | | **d** | 11 | $f'_-(d)$ $\ne f'_+(d)$ (گوشه) | ماکزیمم نسبی | | **e** | 11 | $f'(e)=0$ | ماکزیمم نسبی (افقی) | | **f** | 9 | $f'(f)=0$ | مینیمم نسبی (افقی) | | **g** | 8 | $\text{موجود نیست}$ | ناپیوستگی (حفره) | | **h** | 5 | $\text{موجود نیست}$ | نقطه گوشه (مینیمم نسبی) | | **i** | 8 | $f'(i)=0$ | مینیمم نسبی (افقی) | | **j** | 12 | $f'(j)=0$ | ماکزیمم نسبی (افقی) | | **k** | 7 | $f'(k)=0$ | مینیمم نسبی (افقی) | | **l** | 11 | $f'(l)$ | نقطه انتهایی | --- ## پاسخ به سؤالات ### الف) تمام نقاط اکسترمم نسبی اکسترمم‌های نسبی در قله‌ها و دره‌ها رخ می‌دهند، چه مشتق صفر باشد چه نباشد: $$\mathbf{b, d, e, f, h, i, j, k}$$ ### ب) تمام نقاطی که مشتق در آن‌ها وجود ندارد این نقاط شامل **ناپیوستگی‌ها** و **نقطه گوشه‌ها** و **مماس‌های عمودی** است: $$\mathbf{c, d, g, h}$$ (در $c$ و $g$ ناپیوستگی، در $d$ و $h$ نقطه گوشه است. اگرچه $d$ به صورت گوشه تیز رسم نشده، اما شیب بلافاصله تغییر می‌کند.) ### پ) تمام نقاطی که مشتق برابر صفر است این نقاط همان نقاطی هستند که مماس افقی دارند: $$\mathbf{b, e, f, i, j, k}$$ ### ت) آیا در همه نقاط اکسترمم نسبی مشتق وجود دارد؟ **خیر.** ❌ **دلیل:** نقاط $d$ و $h$ اکسترمم نسبی هستند، اما در آن‌ها مشتق وجود ندارد (نقاط گوشه هستند). ### ث) در اکسترمم‌های نسبی که مشتق در آن‌ها وجود دارد، مقدار این مشتق چقدر است؟ اکسترمم‌های نسبی که مشتق در آن‌ها وجود دارد (نقاطی با مماس افقی)، نقاط $b, e, f, i, j, k$ هستند. **پاسخ:** مقدار مشتق در این نقاط **صفر** است ($f'(x) = 0$). ### ج) آیا امکان دارد در نقطه‌ای مشتق برابر صفر باشد ولی آن نقطه اکسترمم نسبی نباشد؟ **بله.** ✅ **دلیل:** این حالت در **نقاط عطف افقی** رخ می‌دهد. مشتق صفر است ($f'(c)=0$)، اما علامت مشتق در چپ و راست نقطه تغییر نمی‌کند. **مثال:** $f(x) = x^3$ در $x=0$. $f'(0) = 0$ ولی $x=0$ اکسترمم نیست. ### چ) آیا امکان دارد در نقطه‌ای مشتق وجود نداشته باشد ولی آن نقطه اکسترمم مطلق باشد؟ **بله.** ✅ **دلیل:** 1. **نقطه گوشه:** در این نمودار، نقطه $d$ یک ماکزیمم نسبی و مطلق است، اما مشتق در آن وجود ندارد. $y=11$. 2. **نقطه انتهایی:** نقطه $l$ یک ماکزیمم مطلق است، اما چون نقطه انتهایی است و مشتق دو طرفه ندارد، مشتق آن به طور کلی وجود ندارد. **مثال:** $f(x) = |x|$ در $x=0$. $f'(0)$ وجود ندارد، اما $x=0$ یک مینیمم مطلق است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 2 صفحه 115 حسابان دوازدهم هدف این فعالیت تأکید بر این است که وقتی تابع در یک نقطه اکسترمم نسبی مشتق‌پذیر است، خط مماس بر آن نقطه باید **افقی** باشد. 💡 --- ### 1. رسم نمودارهای اکسترمم با مشتق موجود این اکسترمم‌ها در **قله‌های هموار** و **دره‌های هموار** رخ می‌دهند. * **مثال الف (ماکزیمم نسبی):** $y = -x^2 + 4$ در $x=0$. * **مثال ب (مینیمم نسبی):** $y = x^2$ در $x=0$. * **مثال پ (ترکیبی):** $y = x^3 - 3x$ (در $x=-1$ ماکزیمم و در $x=1$ مینیمم دارد). ### 2. مقدار مشتق در این نقاط اکسترمم طبق **قضیه فرما (Fermat's Theorem)**: > اگر تابع $f$ در نقطه‌ای مانند $c$ دارای اکسترمم نسبی باشد و $f'(c)$ موجود باشد، آنگاه حتماً $\mathbf{f'(c) = 0}$ است. **پاسخ:** مقدار مشتق در نقاط اکسترمم نسبی که مشتق در آن‌ها وجود دارد، **برابر با صفر** است. (زیرا خط مماس در این نقاط باید افقی باشد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت 3 صفحه 115 حسابان دوازدهم این قسمت به تعیین درستی یا نادرستی قضایای مربوط به نقاط بحرانی و اکسترمم‌ها می‌پردازد. 💡 --- ### الف) اگر $f'(c)$ وجود نداشته باشد، آنگاه $x = c$ یک نقطه اکسترمم نسبی نیست. **نادرست.** ❌ * **دلیل:** همانطور که در نمودار فعالیت 1 دیدیم (نقاط $d$ و $h$)، نقاطی مانند **نقطه گوشه** و **مماس عمودی** وجود دارند که در آن‌ها مشتق موجود نیست، اما آن نقاط اکسترمم نسبی هستند. * **مثال نقض:** $f(x) = |x|$ در $x=0$. $f'(0)$ موجود نیست، اما $x=0$ یک مینیمم نسبی است. ### ب) اگر $f'(c) = 0$، آنگاه $x = c$ یک نقطه اکسترمم نسبی است. **نادرست.** ❌ * **دلیل:** مشتق برابر صفر، تنها نشان‌دهنده یک **نقطه بحرانی** است. این نقطه می‌تواند یک **نقطه عطف افقی** باشد که اکسترمم نسبی نیست (مثلاً $f(x) = x^3$ در $x=0$). ### پ) اگر $x = c$ طول یک نقطه اکسترمم نسبی باشد و $f'(c)$ موجود باشد، آنگاه $f'(c) = 0$. **درست.** ✅ * **دلیل:** این عبارت، **قضیه فرما (Fermat's Theorem)** است. این قضیه شرط لازم برای اکسترمم بودن در نقاط داخلی یک بازه مشتق‌پذیر را بیان می‌کند. اگر یک قله یا دره هموار باشد، خط مماس در آنجا حتماً باید افقی (شیب صفر) باشد.