حل تمرین صفحه 108 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 109 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی محاسبه و تفسیر **آهنگ متوسط تغییر (Average Rate of Change)** متمرکز است. آهنگ متوسط تغییر در یک بازه زمانی، برابر است با شیب خط قاطع بین نقاط ابتدا و انتهای بازه. 🌡️ $$\text{آهنگ متوسط تغییر} = \frac{\Delta T}{\Delta h} = \frac{T(h_2) - T(h_1)}{h_2 - h_1}$$ --- ### الف) آهنگ متوسط تغییر از ساعت 8 تا 12 * $\text{نقطه شروع: } h_1 = 8 \implies T(8) = 11$ * $\text{نقطه پایان: } h_2 = 12 \implies T(12) = 19$ $$\text{آهنگ متوسط (8 تا 12)} = \frac{T(12) - T(8)}{12 - 8} = \frac{19 - 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ **پاسخ الف:** آهنگ متوسط تغییر درجه حرارت **$2 \text{ درجه سانتی‌گراد بر ساعت}$** است. --- ### ب) آهنگ متوسط تغییر از ساعت 12 تا 18 * $\text{نقطه شروع: } h_1 = 12 \implies T(12) = 19$ * $\text{نقطه پایان: } h_2 = 18 \implies T(18) = 9$ $$\text{آهنگ متوسط (12 تا 18)} = \frac{T(18) - T(12)}{18 - 12} = \frac{9 - 19}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \approx -1.67$$ **پاسخ ب:** آهنگ متوسط تغییر درجه حرارت **$-\frac{5}{3} \approx -1.67 \text{ درجه سانتی‌گراد بر ساعت}$** است. --- ### پ) تفسیر پاسخ‌ها 1. **تفسیر قسمت الف ($+2$)**: * **مفهوم:** بین ساعت 8 صبح تا 12 ظهر، درجه حرارت به طور متوسط در هر ساعت **2 درجه سانتی‌گراد افزایش** یافته است. (این دوره، دوره گرم شدن هوا بوده است.) 2. **تفسیر قسمت ب ($-\frac{5}{3}$)**: * **مفهوم:** بین ساعت 12 ظهر تا 18 عصر، درجه حرارت به طور متوسط در هر ساعت **حدود 1.67 درجه سانتی‌گراد کاهش** یافته است. (این دوره، دوره خنک شدن هوا بوده است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 109 حسابان دوازدهم این تمرین به تحلیل مفهوم نرخ تغییر (سرعت گسترش بیماری) بر روی یک منحنی رشد لجستیک (S-شکل) می‌پردازد. 🦠 --- ### الف) شیب‌های خطوط $d$ و $l$ چه چیزهایی را نشان می‌دهند؟ * **خط $d$ (خط قاطع):** خط $d$ دو نقطه روی منحنی (مثلاً $(t_1, f(t_1))$ و $(t_2, f(t_2))$) را به هم وصل می‌کند. * **پاسخ:** شیب خط $d$ نشان‌دهنده **آهنگ متوسط تغییر** (Average Rate of Change) کسر جمعیت آلوده در بازه زمانی $\mathbf{[t_1, t_2]}$ است. (مثلاً متوسط سرعت گسترش بیماری بین هفته 1 تا 4). * **خط $l$ (خط مماس):** خط $l$ بر منحنی در یک نقطه مماس است (مثلاً در $t=4$). * **پاسخ:** شیب خط $l$ نشان‌دهنده **آهنگ لحظه‌ای تغییر** (Instantaneous Rate of Change) یا **سرعت گسترش آلودگی** در $\mathbf{t=4}$ است. (سرعت دقیق گسترش بیماری در هفته 4). --- ### ب) گسترش آلودگی در $t=1, t=2, \text{یا } t=3$ بیشتر است؟ **سرعت گسترش آلودگی** معادل با **آهنگ لحظه‌ای تغییر** یا **شیب خط مماس** در آن لحظه است. با نگاه به منحنی در بازه $t=1$ تا $t=3$: * **t=1:** منحنی شیب نسبتاً کمی دارد. * **t=2:** منحنی شیب بیشتری دارد. * **t=3:** منحنی شیب بسیار تندتری دارد. چون در این بازه (از 1 تا 3) منحنی با تندی بیشتری صعود می‌کند، شیب خط مماس نیز با افزایش $t$ افزایش می‌یابد. $$\text{شیب در } t=1 < \text{شیب در } t=2 < \text{شیب در } t=3$$ **پاسخ ب:** گسترش آلودگی در زمان $\mathbf{t=3 \text{ هفته}}$ بیشتر است (شیب مماس تندترین است). --- ### پ) قسمت ب را برای $t=4, t=5, \text{و } t=6$ بررسی کنید. با نگاه به منحنی در بازه $t=4$ تا $t=6$: * **t=4:** منحنی به نقطه عطف (بیشترین تندی) رسیده است. شیب آن تند است. * **t=5:** منحنی شروع به خوابیده‌تر شدن می‌کند. شیب آن کاهش می‌یابد. * **t=6:** منحنی تقریباً به حد نهایی خود نزدیک شده است. شیب آن بسیار کم است. چون در این بازه، منحنی شروع به کاهشی شدن تندی رشد می‌کند، شیب خط مماس با افزایش $t$ **کاهش** می‌یابد. $$\text{شیب در } t=4 > \text{شیب در } t=5 > \text{شیب در } t=6$$ **پاسخ پ:** گسترش آلودگی در زمان $\mathbf{t=4 \text{ هفته}}$ بیشتر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 109 حسابان دوازدهم این تمرین به تحلیل مفهوم **بازده نزولی** در بازاریابی و اقتصاد از طریق محاسبه **آهنگ متوسط تغییر** می‌پردازد. 📈 --- ### الف) محاسبه آهنگ متوسط تغییر (آ.م.ت) $$\text{آ.م.ت} = \frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{N(t_2) - N(t_1)}{t_2 - t_1}$$ 1. **از $t=1$ تا $t=2$:** $(1, 300)$ و $(2, 480)$ $$\text{آ.م.ت} = \frac{480 - 300}{2 - 1} = \frac{180}{1} = 180$$ * **تفسیر:** به ازای هر میلیون تومان هزینه، 180 واحد فروش افزایش یافته است. 2. **از $t=2$ تا $t=3$:** $(2, 480)$ و $(3, 600)$ $$\text{آ.م.ت} = \frac{600 - 480}{3 - 2} = \frac{120}{1} = 120$$ * **تفسیر:** به ازای هر میلیون تومان هزینه، 120 واحد فروش افزایش یافته است. 3. **از $t=3$ تا $t=4$:** $(3, 600)$ و $(4, 700)$ $$\text{آ.م.ت} = \frac{700 - 600}{4 - 3} = \frac{100}{1} = 100$$ * **تفسیر:** به ازای هر میلیون تومان هزینه، 100 واحد فروش افزایش یافته است. | بازه ($t$) | آ.م.ت (واحد بر میلیون) | |:---:|:---:| | $[1, 2]$ | **180** | | $[2, 3]$ | **120** | | $[3, 4]$ | **100** | --- ### ب) دلیل کاهش آهنگ تغییرات (بازده نزولی) آهنگ متوسط تغییر (شیب خط قاطع) با افزایش هزینه **کاهش** می‌یابد ($180 \to 120 \to 100$). این یعنی منحنی **مقعر به پایین (Concave Down)** است. * **پاسخ ب:** این کاهش نشان‌دهنده پدیده **بازده نزولی (Diminishing Returns)** در اقتصاد و بازاریابی است. به این معنی که: > در ابتدا، تبلیغات بسیار مؤثر است (بازده بالا). اما پس از یک آستانه، افزایش مداوم هزینه تبلیغات، تأثیر کمتری بر افزایش فروش خواهد داشت. به عبارت دیگر، پول بیشتری خرج می‌شود، اما تعداد واحدهای اضافی فروخته شده، کمتر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 109 حسابان دوازدهم این سوال، یک کاربرد مستقیم از **قضیه مقدار میانگین (Mean Value Theorem)** در مشتق است که می‌گوید در یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر، حداقل یک لحظه وجود دارد که سرعت لحظه‌ای (شیب مماس) با سرعت متوسط (شیب قاطع) برابر باشد. 🚗 **تابع مکان:** $$f(t) = t^2 - t + 10$$ **بازه:** $$[0, 5]$$ --- ### 1. محاسبه سرعت متوسط در بازه $[0, 5]$ $$\text{سرعت متوسط} = \frac{f(5) - f(0)}{5 - 0}$$ * $\mathbf{f(5)} = (5)^2 - 5 + 10 = 25 - 5 + 10 = 30$ * $\mathbf{f(0)} = (0)^2 - 0 + 10 = 10$ $$\text{سرعت متوسط} = \frac{30 - 10}{5} = \frac{20}{5} = 4$$ ### 2. محاسبه سرعت لحظه‌ای (مشتق) **سرعت لحظه‌ای** برابر است با مشتق تابع مکان نسبت به زمان ($f'(t)$): $$f'(t) = \frac{d}{dt} (t^2 - t + 10) = 2t - 1$$ ### 3. برابر قرار دادن سرعت لحظه‌ای و متوسط ما به دنبال لحظه‌ای ($t$) هستیم که سرعت لحظه‌ای برابر سرعت متوسط باشد: $$\text{سرعت لحظه‌ای} = \text{سرعت متوسط}$$ $$2t - 1 = 4$$ $$2t = 5$$ $$t = \frac{5}{2} = 2.5$$ **پاسخ نهایی:** در لحظه **$t = 2.5 \text{ ثانیه}$**، سرعت لحظه‌ای متحرک با سرعت متوسط آن در بازه $[0, 5]$ برابر است. (این لحظه در بازه $[0, 5]$ قرار دارد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 109 حسابان دوازدهم **سرعت توپ در لحظه $t=0.5$** همان **آهنگ لحظه‌ای تغییر** یا **مشتق** $f'(0.5)$ است. چون ضابطه تابع را نداریم، می‌توانیم از **آهنگ متوسط تغییر** در بازه‌های بسیار کوچک اطراف $t=0.5$ استفاده کنیم تا مشتق را تخمین بزنیم. 🏀 --- ### 1. تخمین سرعت لحظه‌ای در $t=0.5$ بهترین تخمین برای $f'(0.5)$، آهنگ متوسط تغییر در بازه‌ای است که $t=0.5$ را در مرکز خود دارد. از بازه $[0.4, 0.6]$ استفاده می‌کنیم: $$\text{آهنگ متوسط (تخمین)} = \frac{f(0.6) - f(0.4)}{0.6 - 0.4}$$ * **مقادیر از جدول:** $f(0.6) = 18.4$ و $f(0.4) = 16.3$ $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{18.4 - 16.3}{0.2} = \frac{2.1}{0.2} = 10.5 \text{ m/s}$$ ### 2. تخمین‌های دیگر (برای اطمینان) * **تخمین از چپ (بازه $[0.3, 0.5]$):** $$\frac{f(0.5) - f(0.3)}{0.5 - 0.3} = \frac{17.2 - 15.1}{0.2} = \frac{2.1}{0.2} = 10.5 \text{ m/s}$$ ### 3. مقایسه با گزینه‌ها مقدار تخمین زده شده ما حدود **$10.5 \text{ m/s}$** است. هیچ یک از گزینه‌ها دقیقاً $10.5$ نیست، اما گزینه‌ای که به این مقدار نزدیک است، **گزینه پ** است. * الف) $1.23$ (بسیار کوچک) * ب) $14.91$ (بسیار بزرگ) * پ) **$11.51$** (نزدیک‌ترین مقدار) * ت) $16.03$ (بسیار بزرگ) **نتیجه‌گیری:** احتمالاً تابع اصلی قد دارای شیب کمی بیشتر از 10.5 در $t=0.5$ بوده است، یا باید یکی از بازه‌های دیگر را امتحان کنیم. ### تخمین با استفاده از بازه $[0.0, 0.5]$: $$\frac{17.2 - 11}{0.5 - 0} = \frac{6.2}{0.5} = 12.4 \text{ m/s}$$ با توجه به گزینه‌ها و نزدیک بودن $11.51 \text{ m/s}$ به تخمین‌ها، این محتمل‌ترین پاسخ است. **پاسخ نهایی:** $\mathbf{11.51 \text{ m/s}}$ (گزینه پ)، زیرا این مقدار نزدیک‌ترین تخمین به نرخ تغییر لحظه‌ای است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 109 حسابان دوازدهم این تمرین به ارزیابی درک مفاهیم مشتق و آهنگ تغییر می‌پردازد. 🧐 --- ### الف) آهنگ تغییر متوسط $f$ در $[a, b]$، همیشه کمتر از شیب آن منحنی در $a$ است. * **توضیح:** این گزاره **نادرست** است. این تنها برای توابعی که **مقعر به پایین (Concave Down)** هستند، درست است. برای یک تابع مقعر به بالا (مانند $y = x^2$)، شیب خط قاطع ($m_{AB}$) از شیب خط مماس در نقطه شروع ($f'(a)$) **بیشتر** است. * **مثال نقض:** $f(x) = x^2$ در $[1, 2]$. $f'(1)=2$ و $m_{\text{متوسط}} = \frac{4-1}{2-1} = 3$. در اینجا $3 > 2$. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ --- ### ب) اگر تابعی صعودی باشد، آهنگ تغییر متوسط آن، همواره صعودی است. * **توضیح:** این گزاره **نادرست** است و نوعی بازی با کلمات است. * اگر تابعی **صعودی** باشد، یعنی $f(x_2) \geq f(x_1)$ به ازای $x_2 > x_1$. این به این معنی است که **آهنگ متوسط تغییر آن همواره مثبت یا صفر** است. * «آهنگ متوسط آن، همواره **صعودی** است» (افزایشی) یعنی مقدار آهنگ متوسط خود، در بازه‌های بعدی افزایش می‌یابد. این فقط برای توابع مقعر به بالا (مثل $y=x^2$) درست است. در توابع مقعر به پایین (مانند منحنی رشد)، آهنگ متوسط **نزولی** است. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ --- ### پ) تابعی وجود ندارد که برای آن هم $f(a)=0$ و هم $f'(a)=0$ باشد. * **توضیح:** این گزاره **نادرست** است. توابعی وجود دارند که در یک نقطه، هم مقدار تابع (ریشه) و هم شیب مماس (نقطه اکسترمم) صفر است. * **مثال نقض:** تابع $athbf{f(x) = x^2}$ در $athbf{a=0}$. * $f(0) = 0^2 = 0$ * $f'(x) = 2x \implies f'(0) = 0$ * **نتیجه:** **نادرست** ❌ --- **خلاصه:** هر سه عبارت داده شده، نادرست هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 109 حسابان دوازدهم این تمرین بر روی محاسبه تغییرات کل (تغییر مطلق) و نرخ لحظه‌ای تغییر (مشتق) تمرکز دارد. 🦠 **تابع جرم:** $$m(t) = \sqrt{t} + 2t^3$$ --- ### الف) افزایش جرم در بازه $[3, 4]$ **افزایش جرم** (تغییر مطلق) برابر است با $m(4) - m(3)$. 1. **محاسبه $m(4)$:** $$m(4) = \sqrt{4} + 2(4^3) = 2 + 2(64) = 2 + 128 = 130 \text{ گرم}$$ 2. **محاسبه $m(3)$:** $$m(3) = \sqrt{3} + 2(3^3) = \sqrt{3} + 2(27) = \sqrt{3} + 54 \text{ گرم}$$ 3. **محاسبه افزایش جرم:** $$\Delta m = m(4) - m(3) = 130 - (54 + \sqrt{3}) = 76 - \sqrt{3}$$ ($\sqrt{3} \approx 1.732$) $$\Delta m \approx 76 - 1.732 = 74.268 \text{ گرم}$$ **پاسخ الف:** جرم توده باکتری تقریباً $\mathbf{74.27 \text{ گرم}}$ افزایش می‌یابد. --- ### ب) آهنگ رشد جرم در لحظه $t=3$ **آهنگ رشد لحظه‌ای** برابر است با مشتق تابع جرم در لحظه $t=3$ ($m'(3)$). 1. **محاسبه تابع مشتق ($m'(t)$):** $$m(t) = t^{1/2} + 2t^3$$ $$m'(t) = \frac{1}{2} t^{1/2 - 1} + 2(3t^{3-1}) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + 6t^2$$ 2. **محاسبه $m'(3)$:** $$m'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} + 6(3^2) = \frac{1}{2\sqrt{3}} + 54$$ 3. **ساده‌سازی (اختیاری):** $$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx \frac{1.732}{6} \approx 0.289$$ $$m'(3) \approx 0.289 + 54 = 54.289$$ **پاسخ ب:** آهنگ رشد جرم توده باکتری در لحظه $t=3$ برابر $\mathbf{\frac{1}{2\sqrt{3}} + 54 \text{ گرم بر ساعت}}$ است (تقریباً $\mathbf{54.29 \text{ گرم بر ساعت}}$). --- ### نکته تکمیلی (در صورت سؤال از آهنگ متوسط) * **آهنگ متوسط** در این بازه: $\frac{76 - \sqrt{3}}{1} \approx 74.27 \text{ گرم بر ساعت}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 8 صفحه 109 حسابان دوازدهم این تمرین شامل محاسبه آهنگ تغییر متوسط و لحظه‌ای (مشتق) برای یک تابع مدل‌سازی شده است که حجم مایع خروجی از یک ظرف را نشان می‌دهد. 💧 **تابع حجم:** $$V(t) = 40 \left(1 - \frac{t}{100}\right)^2$$ --- ### الف) آهنگ تغییر متوسط در $[0, 10]$ $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{V(10) - V(0)}{10 - 0}$$ 1. **محاسبه $V(10)$:** $$V(10) = 40 \left(1 - \frac{10}{100}\right)^2 = 40 (1 - 0.1)^2 = 40 (0.9)^2 = 40 (0.81) = 32.4 \text{ لیتر}$$ 2. **محاسبه $V(0)$:** $$V(0) = 40 \left(1 - \frac{0}{100}\right)^2 = 40 (1)^2 = 40 \text{ لیتر}$$ (حجم اولیه) 3. **محاسبه آهنگ متوسط:** $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{32.4 - 40}{10} = \frac{-7.6}{10} = -0.76$$ **پاسخ الف:** آهنگ تغییر متوسط حجم مایع در بازه $[0, 10]$ برابر $\mathbf{-0.76 \text{ لیتر بر ثانیه}}$ است. (علامت منفی نشان‌دهنده کاهش حجم است.) --- ### ب) آهنگ لحظه‌ای برابر آهنگ متوسط در $[0, 100]$ ما باید لحظه‌ای ($t_0$) را پیدا کنیم که $V'(t_0)$ برابر آهنگ متوسط $V$ در بازه $[0, 100]$ باشد. #### 1. محاسبه آهنگ متوسط در $[0, 100]$ * **محاسبه $V(100)$:** $$V(100) = 40 \left(1 - \frac{100}{100}\right)^2 = 40 (0)^2 = 0 \text{ لیتر}$$ (ظرف خالی شده) * **آهنگ متوسط:** $$\text{آهنگ متوسط} = \frac{V(100) - V(0)}{100 - 0} = \frac{0 - 40}{100} = -0.4$$ #### 2. محاسبه آهنگ لحظه‌ای ($V'(t)$) از **قاعده زنجیره‌ای** برای مشتق استفاده می‌کنیم: $V = 40 u^2$ که $u = 1 - 0.01t$. * **مشتق $V$:** $$V'(t) = 40 \cdot 2 u^1 \cdot u' = 80 \left(1 - \frac{t}{100}\right) \cdot \left(-\frac{1}{100}\right)$$ $$V'(t) = -\frac{80}{100} \left(1 - \frac{t}{100}\right) = -0.8 \left(1 - 0.01t\right)$$ #### 3. برابر قرار دادن آهنگ لحظه‌ای و متوسط $$V'(t_0) = -0.4$$ $$-0.8 \left(1 - 0.01t_0\right) = -0.4$$ $$\text{تقسیم بر } -0.8: \quad 1 - 0.01t_0 = \frac{-0.4}{-0.8} = 0.5$$ $$0.01t_0 = 1 - 0.5 = 0.5$$ $$t_0 = \frac{0.5}{0.01} = 50$$ **پاسخ ب:** در زمان **$t = 50 \text{ ثانیه}$**، آهنگ تغییر لحظه‌ای حجم برابر آهنگ تغییر متوسط آن در بازه $[0, 100]$ می‌شود.