ادامه حل تمرین صفحه 99 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 9 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای یافتن مماس قائم، ابتدا باید تابع مشتق را محاسبه کنیم. مماس قائم در نقاطی رخ می‌دهد که حد مشتق (شیب مماس) به **$\pm \infty$** میل کند. 💡 --- ## 1. محاسبه مشتق تابع $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ ابتدا تابع را به صورت توانی می‌نویسیم: $$f(x) = x^{2/3}$$ با استفاده از قاعده مشتق توان: $$f'(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$$ تابع مشتق را به صورت رادیکالی می‌نویسیم تا ریشه‌های مخرج آن مشخص شود: $$f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$$ ## 2. یافتن نقطه مماس قائم مماس قائم در نقطه‌ای به طول $a$ رخ می‌دهد که $\lim_{x \to a} f'(x) = \pm \infty$ باشد. این حالت زمانی رخ می‌دهد که مخرج تابع مشتق صفر شود: $$3 \sqrt[3]{x} = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0$$ حالا حد مشتق را در $x=0$ بررسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$$ * **حد راست:** $\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = \frac{2}{0^+} = +\infty$ * **حد چپ:** $\lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = \frac{2}{0^-} = -\infty$ چون حدها نامتناهی هستند، تابع در $x=0$ دارای مماس عمودی است. **پاسخ نهایی:** * **مشتق تابع:** $\mathbf{f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}}$ * **نقطه مماس قائم:** تابع در **$x = 0$** دارای مماس قائم است. (نقطه $(0, 0)$ را به عنوان نقطه عطف عمودی در نظر می‌گیریم.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 10 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای نظیر کردن نمودار تابع به نمودار مشتق، باید به رابطه بین **روند تابع** (صعودی/نزولی/ثابت) و **علامت مشتق** (مثبت/منفی/صفر) توجه کنیم. 💡 --- ## 1. تحلیل توابع اصلی ($f, g, h, t$) | تابع اصلی | روند/ویژگی | علامت و نوع مشتق ($f'$)| نمودار مشتق متناظر | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **$f$ (سهمی رو به پایین)** | صعودی در $x<0$، نزولی در $x>0$ | مشتق ابتدا مثبت، سپس منفی (خط نزولی) | **3** | | **$g$ (خط افقی)** | ثابت در همه جا | مشتق همیشه صفر (خط افقی بر $y=0$) | **4** | | **$h$ (سهمی رو به بالا)** | نزولی در $x<0$، صعودی در $x>0$ | مشتق ابتدا منفی، سپس مثبت (خط صعودی) | **1** | | **$t$ (خط نزولی)** | نزولی در همه جا | مشتق همیشه منفی و ثابت (خط افقی زیر $x$)| **2** | --- ## 2. تحلیل نمودارهای مشتق (پایین) * **مشتق 1 (خط صعودی):** $f'(x) = ax + b$, $a>0$. تابع اصلی $f$ یک سهمی رو به بالا بوده است. $athbf{\implies h}$ * **مشتق 2 (خط افقی منفی):** $f'(x) = -k$, $k>0$. تابع اصلی $f$ یک خط نزولی بوده است. $athbf{\implies t}$ * **مشتق 3 (خط نزولی):** $f'(x) = ax + b$, $a<0$. تابع اصلی $f$ یک سهمی رو به پایین بوده است. $athbf{\implies f}$ * **مشتق 4 (خط افقی صفر):** $f'(x) = 0$. تابع اصلی $f$ یک خط افقی (ثابت) بوده است. $athbf{\implies g}$ --- ## 3. نظیر کردن نهایی | تابع | نمودار مشتق | |:---:|:---:| | **$f$** | **3** | | **$g$** | **4** | | **$h$** | **1** | | **$t$** | **2** |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 11 صفحه 99 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین مهارت شما را در استخراج اطلاعات از **نمودارها** (مقادیر تابع و شیب خطوط) و استفاده از **قواعد مشتق** (ضرب و خارج قسمت) می‌سنجد. 💡 --- ## 1. استخراج اطلاعات از نمودارها ### الف) تابع $f(x)$ (شکل V-شکل) * **نقاط:** $f(1)=3, f(2)=4, f(3)=3$ * **شیب:** * $x < 2$: شیب مثبت. $$f'(1) = \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1$$ * $x > 2$: شیب منفی. $$f'(3) = \frac{3 - 4}{3 - 2} = -1$$ * $\mathbf{x = 2}$ (نقطه گوشه): $f'(2)$ موجود نیست. ### ب) تابع $g(x)$ (خط راست) * **نقاط:** $g(1) = 3.5, g(2) = 3, g(3) = 2.5$ * **شیب (ثابت):** خط $g$ از $(0, 4)$ و $(4, 2)$ می‌گذرد. $$g'(x) = m_g = \frac{2 - 4}{4 - 0} = -\frac{2}{4} = -0.5$$ * **شیب در نقاط:** $g'(1) = -0.5, g'(2) = -0.5, g'(3) = -0.5$ --- ## 2. محاسبه مشتقات (بخش الف) $h(x) = f(x) g(x)$ قاعده حاصل ضرب: $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ #### الف) $h'(1)$ $$h'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = (1)(3.5) + (3)(-0.5) = 3.5 - 1.5 = 2$$ #### ب) $h'(2)$ چون $f'(2)$ موجود نیست، **مشتق $h'(2)$ موجود نیست.** #### پ) $h'(3)$ $$h'(3) = f'(3)g(3) + f(3)g'(3) = (-1)(2.5) + (3)(-0.5) = -2.5 - 1.5 = -4$$ --- ## 3. محاسبه مشتقات (بخش ب) $k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ قاعده خارج قسمت: $k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2}$ #### الف) $k'(1)$ $$k'(1) = \frac{f'(1)g(1) - f(1)g'(1)}{g^2} = \frac{(1)(3.5) - (3)(-0.5)}{(3.5)^2} = \frac{3.5 + 1.5}{12.25} = \frac{5}{12.25} = \frac{500}{1225}$$ $$\text{ساده‌سازی: } \frac{500}{1225} = \frac{100}{245} = \frac{20}{49}$$ #### ب) $k'(2)$ چون $f'(2)$ موجود نیست، **مشتق $k'(2)$ موجود نیست.** #### پ) $k'(3)$ $$k'(3) = \frac{f'(3)g(3) - f(3)g'(3)}{g^2} = \frac{(-1)(2.5) - (3)(-0.5)}{(2.5)^2} = \frac{-2.5 + 1.5}{6.25} = \frac{-1}{6.25}$$ $$\text{ساده‌سازی: } -\frac{1}{6.25} = -\frac{100}{625} = -\frac{4}{25} = -0.16$$ --- ## خلاصه نتایج نهایی | مقدار خواسته شده | بخش الف ($h'(x)$) | بخش ب ($k'(x)$) | |:---:|:---:|:---:| | $x=1$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{\frac{20}{49}}$ | | $x=2$ | $\mathbf{\text{موجود نیست}}$ | $\mathbf{\text{موجود نیست}}$ | | $x=3$ | $\mathbf{-4}$ | $\mathbf{-\frac{4}{25}}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 12 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین کاربردی از **قاعده مشتق جمع** و **قاعده مشتق ضریب ثابت** است. 💡 **اطلاعات داده شده:** $$f'(1) = 3, \quad g'(1) = 5$$ --- ## 1. محاسبه $(f + g)'(1)$ (مشتق جمع) قاعده مشتق جمع: $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$ $$(f + g)'(1) = f'(1) + g'(1) = 3 + 5 = 8$$ $$\mathbf{(f + g)'(1) = 8}$$ --- ## 2. محاسبه $(3f + 2g)'(1)$ (مشتق ترکیب خطی) قاعده مشتق ضریب ثابت و جمع: $$(3f + 2g)'(x) = (3f)'(x) + (2g)'(x) = 3f'(x) + 2g'(x)$$ $$(3f + 2g)'(1) = 3f'(1) + 2g'(1) = 3(3) + 2(5)$$ $$(3f + 2g)'(1) = 9 + 10 = 19$$ $$\mathbf{(3f + 2g)'(1) = 19}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 13 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین به بررسی مشتق‌پذیری در **نقطه مرزی** $x=0$ می‌پردازد. اگر مشتق چپ و راست موجود اما نابرابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست. 📐 **تابع:** $$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \\ x & x > 0 \end{cases}$$ --- ## 1. بررسی پیوستگی (اختیاری اما لازم) * **حد چپ:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$ * **حد راست:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$ * **مقدار تابع:** $f(0) = 0^2 = 0$ چون حد چپ = حد راست = مقدار تابع است، $f$ در $x=0$ **پیوسته** است. (مشتق‌پذیری هنوز ممکن است.) --- ## 2. محاسبه مشتق راست $f'_+(0)$ از ضابطه $f(x) = x$ (وقتی $x \to 0^+$) استفاده می‌کنیم: $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$$ $$\mathbf{f'_+(0) = 1 \quad (\text{موجود است.})}$$ --- ## 3. محاسبه مشتق چپ $f'_-(0)$ از ضابطه $f(x) = x^2$ (وقتی $x \to 0^-$) استفاده می‌کنیم: $$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^-} x = 0$$ $$\mathbf{f'_-(0) = 0 \quad (\text{موجود است.})}$$ --- ## 4. نتیجه‌گیری نهایی چون $f'_+(0) = 1$ و $f'(0) = 0$، و این دو مقدار **با هم برابر نیستند** ($1 \neq 0$): $$\mathbf{\text{مشتق } f'(0) \text{ موجود نیست.}}$$ **(توضیح هندسی):** نمودار در $x=0$ یک **نقطه گوشه** (با شیب‌های 0 و 1) ایجاد می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 14 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین مجموعه‌ای از قواعد مشتق‌گیری (ضرب، خارج قسمت و زنجیره‌ای) است. 💡 --- ## الف) $f(x) = (3x^2 - 4)(2x - 5)^2$ قاعده حاصل ضرب: $u = 3x^2 - 4$ و $v = (2x - 5)^2$. 1. **مشتق اجزا:** $$u' = 6x$$ $$v' = 2(2x - 5)^1 \cdot (2) = 4(2x - 5)$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = u'v + uv' = (6x)(2x - 5)^2 + (3x^2 - 4)4$$ 3. **فاکتورگیری از $(2x - 5)$:** $$f'(x) = (2x - 5) \left[ 6x(2x - 5) + 4(3x^2 - 4) \right]$$ $$f'(x) = (2x - 5) [12x^2 - 30x + 12x^2 - 16]$$ $$f'(x) = (2x - 5) (24x^2 - 30x - 16)$$ $$\mathbf{f'(x) = (2x - 5) (24x^2 - 30x - 16)}$$ --- ## ب) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{-3x + 2}$ قاعده خارج قسمت: $u = x^2 - 3x + 1$ و $v = -3x + 2$. 1. **مشتق اجزا:** $$u' = 2x - 3$$ $$v' = -3$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = \frac{(2x - 3)(-3x + 2) - (x^2 - 3x + 1)(-3)}{(-3x + 2)^2}$$ 3. **ساده‌سازی صورت:** $$\text{صورت} = (-6x^2 + 4x + 9x - 6) - (-3x^2 + 9x - 3)$$ $$\text{صورت} = -6x^2 + 13x - 6 + 3x^2 - 9x + 3$$ $$\text{صورت} = -3x^2 + 4x - 3$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{-3x^2 + 4x - 3}{(-3x + 2)^2}}$$ --- ## پ) $f(x) = (\sqrt{3x} + 2)(x^3 + 1)$ قاعده حاصل ضرب: $u = \sqrt{3x} + 2 = (3x)^{1/2} + 2$ و $v = x^3 + 1$. 1. **مشتق اجزا (با قاعده زنجیره‌ای برای $u$):** $$u' = \frac{1}{2} (3x)^{-1/2} \cdot (3) + 0 = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$$ $$v' = 3x^2$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = u'v + uv' = \left(\frac{3}{2\sqrt{3x}}\right) (x^3 + 1) + (\sqrt{3x} + 2)(3x^2)$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{3(x^3 + 1)}{2\sqrt{3x}} + 3x^2(\sqrt{3x} + 2)}$$ --- ## ت) $f(x) = \frac{9x - 2}{\sqrt{x}}$ تابع را به فرم توان دار می‌نویسیم: $f(x) = (9x - 2) x^{-1/2} = 9x^{1/2} - 2x^{-1/2}$. 1. **اعمال قاعده مشتق توان (سریع‌ترین راه):** $$f'(x) = 9\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}\right) - 2\left(-\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1}\right)$$ $$f'(x) = \frac{9}{2} x^{-1/2} + x^{-3/2}$$ 2. **نوشتن به فرم رادیکالی:** $$f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 15 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین شامل مشتق‌گیری توابع مثلثاتی است. استفاده از **اتحادهای مثلثاتی** قبل از مشتق‌گیری می‌تواند محاسبات را بسیار ساده کند. 📐 --- ## الف) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ **نکته کلیدی:** از اتحاد اصلی مثلثات استفاده کنید: $\mathbf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$. $$f(x) = 1$$ مشتق هر عدد ثابت صفر است: $$\mathbf{f'(x) = 0}$$ --- ## ب) $f(x) = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$ قاعده خارج قسمت: $u = 1 - \sin x$ و $v = 1 + \sin x$. 1. **مشتق اجزا:** $$u' = -\cos x$$ $$v' = \cos x$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = \frac{(-\cos x)(1 + \sin x) - (1 - \sin x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2}$$ 3. **فاکتورگیری از $(-\cos x)$ از صورت:** $$\text{صورت} = -\cos x \left[ (1 + \sin x) + (1 - \sin x) \right]$$ $$\text{صورت} = -\cos x [1 + \sin x + 1 - \sin x]$$ $$\text{صورت} = -\cos x [2] = -2\cos x$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{-2\cos x}{(1 + \sin x)^2}}$$ --- ## پ) $f(x) = \tan^2 x - 2\cos x$ قاعده زنجیره‌ای و جمع: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^2 x) - \frac{d}{dx}(2\cos x)$. 1. **مشتق $\tan^2 x$ (قاعده زنجیره‌ای):** $$\frac{d}{dx} (\tan x)^2 = 2 \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = 2 \tan x (1 + \tan^2 x) = 2 \tan x \sec^2 x$$ 2. **مشتق $-2\cos x$:** $$\frac{d}{dx} (-2\cos x) = -2(-\sin x) = 2\sin x$$ 3. **جمع مشتقات:** $$\mathbf{f'(x) = 2 \tan x \sec^2 x + 2\sin x}$$ --- ## ت) $f(x) = \sin x \cos 2x$ قاعده حاصل ضرب: $u = \sin x$ و $v = \cos 2x$. 1. **مشتق اجزا (با قاعده زنجیره‌ای برای $v$):** $$u' = \cos x$$ $$v' = -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2\sin 2x$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = (\cos x)(\cos 2x) + (\sin x)(-2\sin 2x)$$ $$\mathbf{f'(x) = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x}$$ --- **توجه (اختیاری):** می‌توان $f'(x)$ را با استفاده از اتحاد $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ ساده‌تر کرد: $$f'(x) = \cos x \cos 2x - 2\sin x (2\sin x \cos x)$$ $$f'(x) = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 16 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین به محاسبه **مشتق مرتبه دوم ($f''$)** نیاز دارد. ابتدا تابع را با استفاده از اتحاد مثلثاتی ساده می‌کنیم تا مشتق‌گیری آسان‌تر شود. 💡 **تابع:** $$f(x) = \sin^2 x - \cos 2x$$ --- ## 1. ساده‌سازی تابع (اختیاری اما توصیه شده) از اتحاد $\mathbf{\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x}$ استفاده می‌کنیم. پس $\mathbf{\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}}$. $$f(x) = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) - \cos 2x$$ $$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x - \cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x$$ $$\mathbf{f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x}$$ ## 2. محاسبه مشتق اول ($f'(x)$) $$\text{مشتق } \cos u \text{ برابر است با } -\sin u \cdot u'$$ $$f'(x) = 0 - \frac{3}{2} \left( -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) \right)$$ $$f'(x) = -\frac{3}{2} \left( -\sin(2x) \cdot 2 \right) = 3\sin 2x$$ $$\mathbf{f'(x) = 3\sin 2x}$$ ## 3. محاسبه مشتق دوم ($f''(x)$) $$\text{مشتق } \sin u \text{ برابر است با } \cos u \cdot u'$$ $$f''(x) = 3 \left( \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) \right)$$ $$f''(x) = 3 \left( \cos(2x) \cdot 2 \right) = 6\cos 2x$$ $$\mathbf{f''(x) = 6\cos 2x}$$ --- ## الف) محاسبه $f''(\frac{\pi}{6})$ $$f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 6 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$$ مقدار $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. $$f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \left(\frac{1}{2}\right) = 3$$ $$\mathbf{f''(\frac{\pi}{6}) = 3}$$ --- ## ب) محاسبه $f''(\frac{\pi}{2}) - f'(\frac{\pi}{2})$ #### 1. محاسبه $f''(\frac{\pi}{2})$ $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos (\pi)$$ مقدار $\cos \pi = -1$. $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 (-1) = -6$$ #### 2. محاسبه $f'(\frac{\pi}{2})$ $$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin (\pi)$$ مقدار $\sin \pi = 0$. $$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 (0) = 0$$ #### 3. تفریق نهایی $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) - f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -6 - 0 = -6$$ $$\mathbf{f''(\frac{\pi}{2}) - f'(\frac{\pi}{2}) = -6}$$