حل تمرین صفحه 99 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 99 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی مفهوم **پیوستگی (Continuity)** به عنوان یک **شرط لازم** برای **مشتق‌پذیری (Differentiability)** تمرکز دارد. تابعی که پیوسته باشد، لزوماً مشتق‌پذیر نیست. دلایل اصلی مشتق‌ناپذیری یک تابع پیوسته، وجود **نقطه گوشه (Corner)** یا **مماس عمودی (Vertical Tangent)** است. 💡 --- ### مثال 1: تابع شامل قدر مطلق (ایجاد نقطه گوشه) تابع قدر مطلق، پیوسته است اما در ریشه خود مشتق‌پذیر نیست (نقطه گوشه ایجاد می‌کند). اگر نقطه گوشه را به $x=2$ منتقل کنیم، این شرایط برقرار است: $$f(x) = |x - 2|$$ 1. **پیوستگی در $x=2$:** $\lim_{x \to 2} f(x) = |2 - 2| = 0$ و $f(2) = 0$. پس $\mathbf{f \text{ در } x=2 \text{ پیوسته است.}}$ 2. **عدم مشتق‌پذیری در $x=2$:** * مشتق راست: $f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x-2)-0}{x-2} = 1$ * مشتق چپ: $f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x-2)-0}{x-2} = -1$ * چون $1 \neq -1$ است، $\mathbf{f'(2) \text{ موجود نیست.}}$ --- ### مثال 2: تابع با ریشه سوم (ایجاد مماس عمودی) تابع ریشه سوم، پیوسته است اما مشتق آن در ریشه مخرج خود صفر می‌شود، که منجر به مماس عمودی می‌شود. $$g(x) = \sqrt[3]{x - 2}$$ 1. **پیوستگی در $x=2$:** $\lim_{x \to 2} g(x) = \sqrt[3]{2 - 2} = 0$ و $g(2) = 0$. پس $\mathbf{g \text{ در } x=2 \text{ پیوسته است.}}$ 2. **عدم مشتق‌پذیری در $x=2$:** * تابع مشتق: $g'(x) = \frac{1}{3} (x - 2)^{-2/3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{(x - 2)^2}}$ * حد مشتق: $g'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{3 \sqrt[3]{(x - 2)^2}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$ * چون حد مشتق نامتناهی است (مماس عمودی)، $\mathbf{g'(2) \text{ موجود نیست.}}$ --- **پاسخ نهایی:** * **تابع 1:** $f(x) = |x - 2|$ (نقطه گوشه در $x=2$) * **تابع 2:** $g(x) = \sqrt[3]{x - 2}$ (مماس عمودی در $x=2$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای اثبات عدم مشتق‌پذیری در یک نقطه، باید نشان دهیم که **مشتق راست ($f'_+$) با مشتق چپ ($f'_-)$ برابر نیست** یا حداقل یکی از آن‌ها موجود نیست. 💡 --- ### الف) $f(x) = \begin{cases} -x & x \leq 0 \\ x^2 & x > 0 \end{cases}$ در $A(0, 0)$ * **نقطه تماس:** $f(0) = 0$ #### 1. مشتق راست ($x \to 0^+$): $f(x) = x^2$ $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} x = 0$$ #### 2. مشتق چپ ($x \to 0^-$): $f(x) = -x$ $$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{(-x) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$$ **نتیجه:** چون $f'_+(0) = 0$ و $f'_-(0) = -1$ (نابرابر)، $\mathbf{f'(0) \text{ موجود نیست.}}$ (نقطه گوشه) --- ### ب) $f(x) = \begin{cases} 1 & x \leq 1 \\ \frac{1}{x} & x > 1 \end{cases}$ در $A(1, 1)$ * **نقطه تماس:** $f(1) = 1$ #### 1. مشتق راست ($x \to 1^+$): $f(x) = \frac{1}{x}$ $$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1 - x}{x}}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{-(x - 1)}{x(x - 1)} = \lim_{x \to 1^+} -\frac{1}{x} = -1$$ #### 2. مشتق چپ ($x \to 1^-$): $f(x) = 1$ $$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{0}{x - 1} = 0$$ **نتیجه:** چون $f'_+(1) = -1$ و $f'(1) = 0$ (نابرابر)، $\mathbf{f'(1) \text{ موجود نیست.}}$ (نقطه گوشه) --- ### پ) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & x \geq 0 \\ \frac{1}{x} & x < 0 \end{cases}$ در $A(4, 2)$ * **توجه:** نقطه مرزی تابع $x=0$ است، اما نقطه مورد نظر $x=4$ است. در $x=4$، تابع فقط با ضابطه $f(x) = \sqrt{x}$ تعریف شده است ($x \geq 0$). **این تابع در $x=4$ مشتق‌پذیر است.** $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$$ * **فرض مجدد:** با توجه به شکل، شاید منظور طراح بررسی مشتق‌پذیری در **نقطه مرزی** $x=0$ بوده است، نه $x=4$ (زیرا $x=4$ یک نقطه گوشه یا ناپیوسته نیست). **بررسی مشتق‌پذیری در $x=0$ (نقطه مرزی):** * **نقطه تماس:** $f(0) = 0$ #### 1. مشتق راست ($x \to 0^+$): $f(x) = \sqrt{x}$ $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$$ #### 2. مشتق چپ ($x \to 0^-$): $f(x) = \frac{1}{x}$ $$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{1}{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$$ **نتیجه در $x=0$:** اگرچه $f'_+(0) = f'_-(0) = +\infty$ است، چون حد مشتق متناهی نیست (مماس عمودی)، $\mathbf{f'(0) \text{ موجود نیست.}}$ **پاسخ نهایی:** * در حالت الف و ب، تابع در نقطه $A$ مشتق‌پذیر نیست، زیرا $f'_+ \neq f'_-$. * در حالت پ، تابع در $A(4, 2)$ مشتق‌پذیر است ($f'(4) = 1/4$). اما در نقطه مرزی $x=0$ مشتق‌پذیر نیست (مماس عمودی).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین به صورت جامع، رسم نمودار، بررسی مشتق‌پذیری در نقاط مرزی و در نهایت یافتن و رسم ضابطه مشتق را پوشش می‌دهد. 📐 --- ## الف) رسم نمودار تابع $f(x)$ 📈 1. **بازه $x < 0$ (خطی):** $y = 5x - 4$. نقطه انتهایی $(0, -4)$ (توخالی). 2. **بازه $0 \leq x \leq 3$ (سهمی):** $y = x^2$. * نقطه شروع: $(0, 0)$. * نقطه پایان: $(3, 9)$. 3. **بازه $x > 3$ (خطی):** $y = x + 6$. نقطه شروع $(3, 9)$ (توخالی). * **بررسی پیوستگی در $x=0$:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -4$ و $f(0) = 0$. (ناپیوسته) * **بررسی پیوستگی در $x=3$:** $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 9$ و $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3+6=9$. $f(3)=9$. (پیوسته) --- ## ب) دلیل عدم وجود $f'(0)$ و $f'(3)$ #### 1. چرا $f'(0)$ موجود نیست؟ * **تحلیل:** تابع در $x=0$ **ناپیوسته** است. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -4$ و $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. * **قاعده:** اگر تابعی در یک نقطه ناپیوسته باشد، مشتق آن در آن نقطه موجود نیست. * **پاسخ:** $\mathbf{f'(0) \text{ موجود نیست، زیرا تابع در } x=0 \text{ ناپیوسته است (گسستگی پرشی).}}$ #### 2. چرا $f'(3)$ موجود نیست؟ * **تحلیل:** تابع در $x=3$ پیوسته است ($f(3)=9$). باید مشتق‌های یک طرفه را بررسی کنیم: * **مشتق چپ (از $x^2$):** $f'(3) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{x-3} = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6$ * **مشتق راست (از $x+6$):** $f'+(3) = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x+6) - 9}{x-3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{x-3}{x-3} = 1$ * **قاعده:** چون $f'(3) = 6$ و $f'+(3) = 1$ (نابرابر)، مشتق کلی موجود نیست. * **پاسخ:** $\mathbf{f'(3) \text{ موجود نیست، زیرا مشتق چپ و راست برابر نیستند (نقطه گوشه).}}$ --- ## پ) ضابطه تابع مشتق $f'(x)$ مشتق را برای بازه‌های باز محاسبه می‌کنیم: 1. **بازه $x < 0$:** $f'(x) = \frac{d}{dx} (5x - 4) = 5$ 2. **بازه $0 < x < 3$:** $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) = 2x$ 3. **بازه $x > 3$:** $f'(x) = \frac{d}{dx} (x + 6) = 1$ $$\mathbf{f'(x) = \begin{cases} 5 & x < 0 \\ 2x & 0 < x < 3 \\ 1 & x > 3 \end{cases}}$$ --- ## ت) رسم نمودار تابع $f'(x)$ 📉 1. **بازه $x < 0$:** خط افقی $y = 5$ (توخالی در $x=0$). 2. **بازه $0 < x < 3$:** خط $y = 2x$. * از $(0, 0)$ (توخالی) تا $(3, 6)$ (توخالی). 3. **بازه $x > 3$:** خط افقی $y = 1$ (توخالی در $x=3$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای رسم نمودار $f(x)$ از روی ویژگی‌های مشتق $f'(x)$، باید به ارتباط زیر توجه کنیم: 💡 > **$f'(x)$ = شیب خط مماس = نرخ تغییر $f(x)$** --- ### الف) $f'(x)$ در یک نقطه برابر صفر شود * **معنی:** شیب خط مماس صفر باشد، یعنی خط مماس **افقی** است. این نقطه یک **ماکزیمم یا مینیمم محلی** است. * **نمودار پیشنهادی:** یک سهمی که رو به بالا باز می‌شود (مثل $f(x) = x^2$ در $x=0$). --- ### ب) $f'(2)$ برابر 3 شود * **معنی:** شیب خط مماس در نقطه $x=2$ برابر 3 باشد. تابع در این نقطه **صعودی** است. * **نمودار پیشنهادی:** هر تابعی که در $x=2$ شیب مثبت و تندی داشته باشد (مثل $f(x) = 3x$). --- ### پ) $f'(x)$ در تمام نقاط مثبت باشد * **معنی:** تابع در تمام دامنه‌اش **اکیداً صعودی** است (همیشه بالا می‌رود). * **نمودار پیشنهادی:** تابع ریشه سوم یا تابع $f(x) = x^3$. --- ### ت) $f'(x)$ در تمام نقاط یکسان باشد * **معنی:** شیب خط مماس در تمام نقاط ثابت است. تابع یک **خط راست** است. * **نمودار پیشنهادی:** یک خط راست با شیب غیر صفر (مثل $f(x) = 2x + 1$). --- ### ث) $f'(x)$ در تمام نقاط منفی باشد * **معنی:** تابع در تمام دامنه‌اش **اکیداً نزولی** است (همیشه پایین می‌آید). * **نمودار پیشنهادی:** تابع خطی با شیب منفی (مثل $f(x) = -x + 3$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا رابطه بین **موقعیت نقطه روی سهمی** و **مقدار شیب (مشتق)** آن را درک کنید. 💡 --- ## الف) مرتب‌سازی با استفاده از نمودار (تحلیل هندسی) راس سهمی $f(x) = x^2 + 2x + 3$ در $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(1)} = -1$ قرار دارد. 1. **$f'(-1)$:** نقطه راس است. شیب خط مماس در راس **صفر** است. (کوچکترین مقدار) 2. **$f'(0)$:** در سمت راست راس (ناحیه صعودی) قرار دارد. شیب **مثبت و کم**. 3. **$f'(2)$:** دورتر از راس در ناحیه صعودی قرار دارد. شیب **مثبت و تندتر**. 4. **$f'(3)$:** دورتر از راس در ناحیه صعودی قرار دارد. شیب **مثبت و تندترین**. * **ترتیب صعودی حدسی:** $$f'(-1) < f'(0) < f'(2) < f'(3)$$ --- ## ب) بررسی صحت ادعا با محاسبه مشتق ### گام 1: محاسبه تابع مشتق $$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 2x + 3) = 2x + 2$$ ### گام 2: محاسبه مقادیر مشتق * $f'(-1) = 2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0$ * $f'(0) = 2(0) + 2 = 2$ * $f'(2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$ * $f'(3) = 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8$ ### گام 3: مرتب‌سازی مقادیر $$0 < 2 < 6 < 8$$ * **ترتیب صحیح نهایی:** $$f'(-1) < f'(0) < f'(2) < f'(3)$$ **نتیجه:** ادعای ما **صحیح** بود. هرچه به سمت راست نمودار (ناحیه صعودی) پیش می‌رویم، مشتق (شیب) افزایش می‌یابد. --- ## پ) رسم تابع مشتق تابع مشتق $athbf{f'(x) = 2x + 2}$ یک خط راست است. 📏 * **عرض از مبدأ:** $f'(0) = 2$ * **ریشه (قطع محور $x$):** $f'(x) = 0 \implies 2x + 2 = 0 \implies x = -1$ * **شیب:** $m = 2$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای بررسی مشتق‌پذیری یک تابع چند ضابطه‌ای در نقطه مرزی $x=1$، ابتدا باید **پیوستگی** و سپس **برابری مشتق‌های یک طرفه** را بررسی کنیم. 💡 --- ## 1. بررسی پیوستگی در $x=1$ (شرط لازم) #### الف) حد چپ ($x \to 1^-$) $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x) = 2(1) = 2$$ #### ب) حد راست و مقدار تابع ($x \to 1^+$ و $x=1$) $$f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 3) = (1)^2 + 3 = 4$$ **نتیجه پیوستگی:** چون حد چپ (2) با حد راست (4) برابر نیستند ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$)، تابع در $x=1$ **ناپیوسته** است. ## 2. نتیجه‌گیری مشتق‌پذیری * **قاعده:** اگر تابعی در یک نقطه ناپیوسته باشد، مشتق‌پذیر نیست. **پاسخ نهایی:** $\mathbf{f(x) \text{ در } x=1 \text{ مشتق‌پذیر نیست، زیرا در این نقطه ناپیوسته است.}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای اینکه مشتق سه تابع مختلف با هم برابر باشد، آن توابع باید فقط در یک **عدد ثابت ($c$)** با هم تفاوت داشته باشند. این نتیجه مهم از این واقعیت می‌آید که **مشتق هر عدد ثابت برابر صفر است.** 💡 --- **تابع مشتق مورد نظر:** $\mathbf{f'(x) = 4x}$ برای رسیدن به این مشتق، تابع اصلی باید به صورت $f(x) = 2x^2 + c$ باشد. * **تابع اول ($c=0$):** $$f_1(x) = 2x^2 \implies f'_1(x) = 4x$$ * **تابع دوم ($c=1$):** $$f_2(x) = 2x^2 + 1 \implies f'_2(x) = 4x$$ * **تابع سوم ($c=-5$):** $$f_3(x) = 2x^2 - 5 \implies f'_3(x) = 4x$$ **پاسخ نهایی:** سه تابع مختلف که مشتق آن‌ها برابر است، عبارتند از: $$\mathbf{f_1(x) = 2x^2}$$ $$\mathbf{f_2(x) = 2x^2 + 1}$$ $$\mathbf{f_3(x) = 2x^2 - 5}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 8 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین بر روی مشتق‌پذیری توابع شامل قدر مطلق در **نقاطی که زیر عبارت قدر مطلق صفر می‌شود** ($x=2$ و $x=-2$) تمرکز دارد. این نقاط معمولاً **نقطه گوشه** هستند و مشتق‌پذیر نیستند. 📐 --- ## 1. تحلیل تابع و بازنویسی ضابطه ریشه‌های $x^2 - 4 = 0$، $x=2$ و $x=-2$ هستند. در همسایگی این نقاط، تابع به صورت زیر درمی‌آید: * **در $x=2$ (نقطه گوشه):** * $x > 2 \implies |x^2 - 4| = x^2 - 4$ * $x < 2 \implies |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ * **در $x=-2$ (نقطه گوشه):** * $x > -2 \implies |x^2 - 4| = 4 - x^2$ * $x < -2 \implies |x^2 - 4| = x^2 - 4$ --- ## 2. بررسی مشتق‌پذیری در $x = 2$ * **نقطه تماس:** $f(2) = |2^2 - 4| = 0$ #### الف) مشتق راست ($f'_+(2)$) $$\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x^2 - 4) - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$ $$f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} (x + 2) = 2 + 2 = 4$$ #### ب) مشتق چپ ($f'(2)$) $$\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(4 - x^2) - 0}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x^2 - 4)}{x - 2}$$ $$f'(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 2) = -(2 + 2) = -4$$ **نتیجه:** چون $f'_+(2) = 4$ و $f'(2) = -4$ (نابرابر)، $\mathbf{f'(2) \text{ موجود نیست.}}$ --- ## 3. بررسی مشتق‌پذیری در $x = -2$ * **نقطه تماس:** $f(-2) = |(-2)^2 - 4| = 0$ #### الف) مشتق راست ($f'_+(-2)$) $$\lim_{x \to -2^+} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \lim_{x \to -2^+} \frac{(4 - x^2) - 0}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \frac{(2 - x)(2 + x)}{x + 2}$$ $$f'_+(-2) = \lim_{x \to -2^+} (2 - x) = 2 - (-2) = 4$$ #### ب) مشتق چپ ($f'(-2)$) $$\lim_{x \to -2^-} \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{(x^2 - 4) - 0}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$$ $$f'(-2) = \lim_{x \to -2^-} (x - 2) = -2 - 2 = -4$$ **نتیجه:** چون $f'_+(-2) = 4$ و $f'(-2) = -4$ (نابرابر)، $\mathbf{f'(-2) \text{ موجود نیست.}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 9 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای یافتن مماس قائم، ابتدا باید تابع مشتق را محاسبه کنیم. مماس قائم در نقاطی رخ می‌دهد که حد مشتق (شیب مماس) به **$\pm \infty$** میل کند. 💡 --- ## 1. محاسبه مشتق تابع $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ ابتدا تابع را به صورت توانی می‌نویسیم: $$f(x) = x^{2/3}$$ با استفاده از قاعده مشتق توان: $$f'(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}$$ تابع مشتق را به صورت رادیکالی می‌نویسیم تا ریشه‌های مخرج آن مشخص شود: $$f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$$ ## 2. یافتن نقطه مماس قائم مماس قائم در نقطه‌ای به طول $a$ رخ می‌دهد که $\lim_{x \to a} f'(x) = \pm \infty$ باشد. این حالت زمانی رخ می‌دهد که مخرج تابع مشتق صفر شود: $$3 \sqrt[3]{x} = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0$$ حالا حد مشتق را در $x=0$ بررسی می‌کنیم: $$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$$ * **حد راست:** $\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = \frac{2}{0^+} = +\infty$ * **حد چپ:** $\lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = \frac{2}{0^-} = -\infty$ چون حدها نامتناهی هستند، تابع در $x=0$ دارای مماس عمودی است. **پاسخ نهایی:** * **مشتق تابع:** $\mathbf{f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}}$ * **نقطه مماس قائم:** تابع در **$x = 0$** دارای مماس قائم است. (نقطه $(0, 0)$ را به عنوان نقطه عطف عمودی در نظر می‌گیریم.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 10 صفحه 99 حسابان دوازدهم برای نظیر کردن نمودار تابع به نمودار مشتق، باید به رابطه بین **روند تابع** (صعودی/نزولی/ثابت) و **علامت مشتق** (مثبت/منفی/صفر) توجه کنیم. 💡 --- ## 1. تحلیل توابع اصلی ($f, g, h, t$) | تابع اصلی | روند/ویژگی | علامت و نوع مشتق ($f'$)| نمودار مشتق متناظر | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **$f$ (سهمی رو به پایین)** | صعودی در $x<0$، نزولی در $x>0$ | مشتق ابتدا مثبت، سپس منفی (خط نزولی) | **3** | | **$g$ (خط افقی)** | ثابت در همه جا | مشتق همیشه صفر (خط افقی بر $y=0$) | **4** | | **$h$ (سهمی رو به بالا)** | نزولی در $x<0$، صعودی در $x>0$ | مشتق ابتدا منفی، سپس مثبت (خط صعودی) | **1** | | **$t$ (خط نزولی)** | نزولی در همه جا | مشتق همیشه منفی و ثابت (خط افقی زیر $x$)| **2** | --- ## 2. تحلیل نمودارهای مشتق (پایین) * **مشتق 1 (خط صعودی):** $f'(x) = ax + b$, $a>0$. تابع اصلی $f$ یک سهمی رو به بالا بوده است. $athbf{\implies h}$ * **مشتق 2 (خط افقی منفی):** $f'(x) = -k$, $k>0$. تابع اصلی $f$ یک خط نزولی بوده است. $athbf{\implies t}$ * **مشتق 3 (خط نزولی):** $f'(x) = ax + b$, $a<0$. تابع اصلی $f$ یک سهمی رو به پایین بوده است. $athbf{\implies f}$ * **مشتق 4 (خط افقی صفر):** $f'(x) = 0$. تابع اصلی $f$ یک خط افقی (ثابت) بوده است. $athbf{\implies g}$ --- ## 3. نظیر کردن نهایی | تابع | نمودار مشتق | |:---:|:---:| | **$f$** | **3** | | **$g$** | **4** | | **$h$** | **1** | | **$t$** | **2** |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 11 صفحه 99 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین مهارت شما را در استخراج اطلاعات از **نمودارها** (مقادیر تابع و شیب خطوط) و استفاده از **قواعد مشتق** (ضرب و خارج قسمت) می‌سنجد. 💡 --- ## 1. استخراج اطلاعات از نمودارها ### الف) تابع $f(x)$ (شکل V-شکل) * **نقاط:** $f(1)=3, f(2)=4, f(3)=3$ * **شیب:** * $x < 2$: شیب مثبت. $$f'(1) = \frac{4 - 3}{2 - 1} = 1$$ * $x > 2$: شیب منفی. $$f'(3) = \frac{3 - 4}{3 - 2} = -1$$ * $\mathbf{x = 2}$ (نقطه گوشه): $f'(2)$ موجود نیست. ### ب) تابع $g(x)$ (خط راست) * **نقاط:** $g(1) = 3.5, g(2) = 3, g(3) = 2.5$ * **شیب (ثابت):** خط $g$ از $(0, 4)$ و $(4, 2)$ می‌گذرد. $$g'(x) = m_g = \frac{2 - 4}{4 - 0} = -\frac{2}{4} = -0.5$$ * **شیب در نقاط:** $g'(1) = -0.5, g'(2) = -0.5, g'(3) = -0.5$ --- ## 2. محاسبه مشتقات (بخش الف) $h(x) = f(x) g(x)$ قاعده حاصل ضرب: $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ #### الف) $h'(1)$ $$h'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = (1)(3.5) + (3)(-0.5) = 3.5 - 1.5 = 2$$ #### ب) $h'(2)$ چون $f'(2)$ موجود نیست، **مشتق $h'(2)$ موجود نیست.** #### پ) $h'(3)$ $$h'(3) = f'(3)g(3) + f(3)g'(3) = (-1)(2.5) + (3)(-0.5) = -2.5 - 1.5 = -4$$ --- ## 3. محاسبه مشتقات (بخش ب) $k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ قاعده خارج قسمت: $k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2}$ #### الف) $k'(1)$ $$k'(1) = \frac{f'(1)g(1) - f(1)g'(1)}{g^2} = \frac{(1)(3.5) - (3)(-0.5)}{(3.5)^2} = \frac{3.5 + 1.5}{12.25} = \frac{5}{12.25} = \frac{500}{1225}$$ $$\text{ساده‌سازی: } \frac{500}{1225} = \frac{100}{245} = \frac{20}{49}$$ #### ب) $k'(2)$ چون $f'(2)$ موجود نیست، **مشتق $k'(2)$ موجود نیست.** #### پ) $k'(3)$ $$k'(3) = \frac{f'(3)g(3) - f(3)g'(3)}{g^2} = \frac{(-1)(2.5) - (3)(-0.5)}{(2.5)^2} = \frac{-2.5 + 1.5}{6.25} = \frac{-1}{6.25}$$ $$\text{ساده‌سازی: } -\frac{1}{6.25} = -\frac{100}{625} = -\frac{4}{25} = -0.16$$ --- ## خلاصه نتایج نهایی | مقدار خواسته شده | بخش الف ($h'(x)$) | بخش ب ($k'(x)$) | |:---:|:---:|:---:| | $x=1$ | $\mathbf{2}$ | $\mathbf{\frac{20}{49}}$ | | $x=2$ | $\mathbf{\text{موجود نیست}}$ | $\mathbf{\text{موجود نیست}}$ | | $x=3$ | $\mathbf{-4}$ | $\mathbf{-\frac{4}{25}}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 12 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین کاربردی از **قاعده مشتق جمع** و **قاعده مشتق ضریب ثابت** است. 💡 **اطلاعات داده شده:** $$f'(1) = 3, \quad g'(1) = 5$$ --- ## 1. محاسبه $(f + g)'(1)$ (مشتق جمع) قاعده مشتق جمع: $$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$ $$(f + g)'(1) = f'(1) + g'(1) = 3 + 5 = 8$$ $$\mathbf{(f + g)'(1) = 8}$$ --- ## 2. محاسبه $(3f + 2g)'(1)$ (مشتق ترکیب خطی) قاعده مشتق ضریب ثابت و جمع: $$(3f + 2g)'(x) = (3f)'(x) + (2g)'(x) = 3f'(x) + 2g'(x)$$ $$(3f + 2g)'(1) = 3f'(1) + 2g'(1) = 3(3) + 2(5)$$ $$(3f + 2g)'(1) = 9 + 10 = 19$$ $$\mathbf{(3f + 2g)'(1) = 19}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 13 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین به بررسی مشتق‌پذیری در **نقطه مرزی** $x=0$ می‌پردازد. اگر مشتق چپ و راست موجود اما نابرابر باشند، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست. 📐 **تابع:** $$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \\ x & x > 0 \end{cases}$$ --- ## 1. بررسی پیوستگی (اختیاری اما لازم) * **حد چپ:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$ * **حد راست:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$ * **مقدار تابع:** $f(0) = 0^2 = 0$ چون حد چپ = حد راست = مقدار تابع است، $f$ در $x=0$ **پیوسته** است. (مشتق‌پذیری هنوز ممکن است.) --- ## 2. محاسبه مشتق راست $f'_+(0)$ از ضابطه $f(x) = x$ (وقتی $x \to 0^+$) استفاده می‌کنیم: $$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$$ $$\mathbf{f'_+(0) = 1 \quad (\text{موجود است.})}$$ --- ## 3. محاسبه مشتق چپ $f'_-(0)$ از ضابطه $f(x) = x^2$ (وقتی $x \to 0^-$) استفاده می‌کنیم: $$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^-} x = 0$$ $$\mathbf{f'_-(0) = 0 \quad (\text{موجود است.})}$$ --- ## 4. نتیجه‌گیری نهایی چون $f'_+(0) = 1$ و $f'(0) = 0$، و این دو مقدار **با هم برابر نیستند** ($1 \neq 0$): $$\mathbf{\text{مشتق } f'(0) \text{ موجود نیست.}}$$ **(توضیح هندسی):** نمودار در $x=0$ یک **نقطه گوشه** (با شیب‌های 0 و 1) ایجاد می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 14 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین مجموعه‌ای از قواعد مشتق‌گیری (ضرب، خارج قسمت و زنجیره‌ای) است. 💡 --- ## الف) $f(x) = (3x^2 - 4)(2x - 5)^2$ قاعده حاصل ضرب: $u = 3x^2 - 4$ و $v = (2x - 5)^2$. 1. **مشتق اجزا:** $$u' = 6x$$ $$v' = 2(2x - 5)^1 \cdot (2) = 4(2x - 5)$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = u'v + uv' = (6x)(2x - 5)^2 + (3x^2 - 4)4$$ 3. **فاکتورگیری از $(2x - 5)$:** $$f'(x) = (2x - 5) \left[ 6x(2x - 5) + 4(3x^2 - 4) \right]$$ $$f'(x) = (2x - 5) [12x^2 - 30x + 12x^2 - 16]$$ $$f'(x) = (2x - 5) (24x^2 - 30x - 16)$$ $$\mathbf{f'(x) = (2x - 5) (24x^2 - 30x - 16)}$$ --- ## ب) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 1}{-3x + 2}$ قاعده خارج قسمت: $u = x^2 - 3x + 1$ و $v = -3x + 2$. 1. **مشتق اجزا:** $$u' = 2x - 3$$ $$v' = -3$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = \frac{(2x - 3)(-3x + 2) - (x^2 - 3x + 1)(-3)}{(-3x + 2)^2}$$ 3. **ساده‌سازی صورت:** $$\text{صورت} = (-6x^2 + 4x + 9x - 6) - (-3x^2 + 9x - 3)$$ $$\text{صورت} = -6x^2 + 13x - 6 + 3x^2 - 9x + 3$$ $$\text{صورت} = -3x^2 + 4x - 3$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{-3x^2 + 4x - 3}{(-3x + 2)^2}}$$ --- ## پ) $f(x) = (\sqrt{3x} + 2)(x^3 + 1)$ قاعده حاصل ضرب: $u = \sqrt{3x} + 2 = (3x)^{1/2} + 2$ و $v = x^3 + 1$. 1. **مشتق اجزا (با قاعده زنجیره‌ای برای $u$):** $$u' = \frac{1}{2} (3x)^{-1/2} \cdot (3) + 0 = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$$ $$v' = 3x^2$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = u'v + uv' = \left(\frac{3}{2\sqrt{3x}}\right) (x^3 + 1) + (\sqrt{3x} + 2)(3x^2)$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{3(x^3 + 1)}{2\sqrt{3x}} + 3x^2(\sqrt{3x} + 2)}$$ --- ## ت) $f(x) = \frac{9x - 2}{\sqrt{x}}$ تابع را به فرم توان دار می‌نویسیم: $f(x) = (9x - 2) x^{-1/2} = 9x^{1/2} - 2x^{-1/2}$. 1. **اعمال قاعده مشتق توان (سریع‌ترین راه):** $$f'(x) = 9\left(\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}\right) - 2\left(-\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1}\right)$$ $$f'(x) = \frac{9}{2} x^{-1/2} + x^{-3/2}$$ 2. **نوشتن به فرم رادیکالی:** $$f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{9}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x\sqrt{x}}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 15 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین شامل مشتق‌گیری توابع مثلثاتی است. استفاده از **اتحادهای مثلثاتی** قبل از مشتق‌گیری می‌تواند محاسبات را بسیار ساده کند. 📐 --- ## الف) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$ **نکته کلیدی:** از اتحاد اصلی مثلثات استفاده کنید: $\mathbf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$. $$f(x) = 1$$ مشتق هر عدد ثابت صفر است: $$\mathbf{f'(x) = 0}$$ --- ## ب) $f(x) = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$ قاعده خارج قسمت: $u = 1 - \sin x$ و $v = 1 + \sin x$. 1. **مشتق اجزا:** $$u' = -\cos x$$ $$v' = \cos x$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = \frac{(-\cos x)(1 + \sin x) - (1 - \sin x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2}$$ 3. **فاکتورگیری از $(-\cos x)$ از صورت:** $$\text{صورت} = -\cos x \left[ (1 + \sin x) + (1 - \sin x) \right]$$ $$\text{صورت} = -\cos x [1 + \sin x + 1 - \sin x]$$ $$\text{صورت} = -\cos x [2] = -2\cos x$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{-2\cos x}{(1 + \sin x)^2}}$$ --- ## پ) $f(x) = \tan^2 x - 2\cos x$ قاعده زنجیره‌ای و جمع: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^2 x) - \frac{d}{dx}(2\cos x)$. 1. **مشتق $\tan^2 x$ (قاعده زنجیره‌ای):** $$\frac{d}{dx} (\tan x)^2 = 2 \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = 2 \tan x (1 + \tan^2 x) = 2 \tan x \sec^2 x$$ 2. **مشتق $-2\cos x$:** $$\frac{d}{dx} (-2\cos x) = -2(-\sin x) = 2\sin x$$ 3. **جمع مشتقات:** $$\mathbf{f'(x) = 2 \tan x \sec^2 x + 2\sin x}$$ --- ## ت) $f(x) = \sin x \cos 2x$ قاعده حاصل ضرب: $u = \sin x$ و $v = \cos 2x$. 1. **مشتق اجزا (با قاعده زنجیره‌ای برای $v$):** $$u' = \cos x$$ $$v' = -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2\sin 2x$$ 2. **اعمال قاعده:** $$f'(x) = (\cos x)(\cos 2x) + (\sin x)(-2\sin 2x)$$ $$\mathbf{f'(x) = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x}$$ --- **توجه (اختیاری):** می‌توان $f'(x)$ را با استفاده از اتحاد $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ ساده‌تر کرد: $$f'(x) = \cos x \cos 2x - 2\sin x (2\sin x \cos x)$$ $$f'(x) = \cos x \cos 2x - 4\sin^2 x \cos x$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 16 صفحه 99 حسابان دوازدهم این تمرین به محاسبه **مشتق مرتبه دوم ($f''$)** نیاز دارد. ابتدا تابع را با استفاده از اتحاد مثلثاتی ساده می‌کنیم تا مشتق‌گیری آسان‌تر شود. 💡 **تابع:** $$f(x) = \sin^2 x - \cos 2x$$ --- ## 1. ساده‌سازی تابع (اختیاری اما توصیه شده) از اتحاد $\mathbf{\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x}$ استفاده می‌کنیم. پس $\mathbf{\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}}$. $$f(x) = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) - \cos 2x$$ $$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x - \cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x$$ $$\mathbf{f(x) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x}$$ ## 2. محاسبه مشتق اول ($f'(x)$) $$\text{مشتق } \cos u \text{ برابر است با } -\sin u \cdot u'$$ $$f'(x) = 0 - \frac{3}{2} \left( -\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) \right)$$ $$f'(x) = -\frac{3}{2} \left( -\sin(2x) \cdot 2 \right) = 3\sin 2x$$ $$\mathbf{f'(x) = 3\sin 2x}$$ ## 3. محاسبه مشتق دوم ($f''(x)$) $$\text{مشتق } \sin u \text{ برابر است با } \cos u \cdot u'$$ $$f''(x) = 3 \left( \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) \right)$$ $$f''(x) = 3 \left( \cos(2x) \cdot 2 \right) = 6\cos 2x$$ $$\mathbf{f''(x) = 6\cos 2x}$$ --- ## الف) محاسبه $f''(\frac{\pi}{6})$ $$f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 6 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$$ مقدار $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. $$f''\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \left(\frac{1}{2}\right) = 3$$ $$\mathbf{f''(\frac{\pi}{6}) = 3}$$ --- ## ب) محاسبه $f''(\frac{\pi}{2}) - f'(\frac{\pi}{2})$ #### 1. محاسبه $f''(\frac{\pi}{2})$ $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 6 \cos (\pi)$$ مقدار $\cos \pi = -1$. $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 (-1) = -6$$ #### 2. محاسبه $f'(\frac{\pi}{2})$ $$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 3 \sin (\pi)$$ مقدار $\sin \pi = 0$. $$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 (0) = 0$$ #### 3. تفریق نهایی $$f''\left(\frac{\pi}{2}\right) - f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -6 - 0 = -6$$ $$\mathbf{f''(\frac{\pi}{2}) - f'(\frac{\pi}{2}) = -6}$$